非線性數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱

1、公選課程非線性分析之對(duì)稱與復(fù)雜復(fù)習(xí)提綱1、1904年，瑞典數(shù)學(xué)家馮·科赫(H·V·Koch)構(gòu)造了著名的魔線：取單位長度線段E0，將其等分為三段，中間的一段用邊長為E0的的等邊三角形的兩邊代替得到E1，它包含四條線段，對(duì)E1的每條線段重復(fù)同樣的操作后得E2，對(duì)E2的每條線段重復(fù)同樣的操作后得E3，繼續(xù)重復(fù)同樣的操作無窮次時(shí)所得的曲線F稱為科赫曲線（圖1）. 由上可知，科赫曲線是對(duì)E0“”反復(fù)實(shí)施變換“”形成的，我們稱E0“”為初始元，“”為生成元（或分形元）.圖1題1. 1890年，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾（G.Peano）構(gòu)造了著名的皮亞諾曲線，這條曲線最終能填滿整個(gè)

2、平面區(qū)域. 圖2是它構(gòu)作的頭幾級(jí)，則它的初始元是（ ），生成元是（ ）.(a) (b) (c) (d)圖2解：據(jù)觀察，皮亞諾曲線是對(duì)直線段（a）不斷施以同一種變換構(gòu)成的，所以初始元為（a）；在構(gòu)作的每一步都是將原圖中所有線段三等分，以中間一段為一邊向線段兩旁各作一正方形，所以生成元為（b）題2 . 19151916年，波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基(W.Sierpinski)將三分康托爾集的構(gòu)造思想推廣到二維平面，構(gòu)造出謝爾賓斯基 “墊片”：設(shè)E0是邊長為1的等邊三角形區(qū)域，將它均分成四個(gè)小等邊三角形，去掉中間一個(gè)得E1，對(duì)E1的每個(gè)小等邊三角形進(jìn)行相同的操作得E2，這樣的操作不斷繼續(xù)下去直到無窮，所得

3、圖形F稱為謝爾賓斯基“墊片”（圖3）.它被用作超導(dǎo)現(xiàn)象和非晶態(tài)物質(zhì)的模型. 圖3試指出謝爾賓斯基“墊片”的初始元（ E0 ）和生成元（E1 ）. 題3. 試指出謝爾賓斯基 “地毯”的初始元（ E0 ）和生成元（ E1 ）.圖4題4. 若一分形以單位長線段為初始元，以“”為生成元（其五條小線段的長均為單位線段長的），你能作出此分形構(gòu)作過程中的一、二、三、四步嗎？題5. 在謝爾賓斯基地毯的生成（圖4）中，每次挖掉的是正方形區(qū)域的內(nèi)心而留下了它的邊，n為實(shí)施次數(shù)，（1）用n表示新正方形的個(gè)數(shù).（2）用n表示新正方形的邊長.題6. 分形維數(shù)的計(jì)算公式為，請(qǐng)參照一下康托爾集的維數(shù)計(jì)算方法計(jì)算科赫曲線（見圖1）的維數(shù)。題7. 一個(gè)圖形繞著某個(gè)定點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)一個(gè)的角度后能與自身重合，這樣的圖形稱作旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。旋轉(zhuǎn)時(shí)達(dá)到自相重合的最小角稱為元角。請(qǐng)問下圖的元角是多少？并說明理由。 題8. 什么是黃金比例？有哪些東西符合這種比例？（舉3-4個(gè)例子說明）題