八年級(jí)第一學(xué)期 數(shù)學(xué)

1、八年級(jí)第一學(xué)期 數(shù)學(xué)第十六章 二次根式第一節(jié) 二次根式的概念和性質(zhì)16.1 二次根式1. 代數(shù)式叫做二次根式，讀作“根號(hào)”，其中是被開(kāi)方數(shù)。 有意義的條件是02. e.g. ，當(dāng)實(shí)數(shù)滿足什么條件時(shí)，此式有意義？ 解：由，得 當(dāng)時(shí)，有意義。 e.g. ，當(dāng)實(shí)數(shù)滿足什么條件時(shí)，此式有意義？ 解：由，且0，得 當(dāng)時(shí)，有意義。3. 二次根式性質(zhì)1： 二次根式性質(zhì)2： （0） 二次根式性質(zhì)3： （0，0） 二次根式性質(zhì)4： （0，0）4. 在二次根式的運(yùn)算或變換中，可以據(jù)此從左到右或從右到左進(jìn)行轉(zhuǎn)化。5. （0，0） （0，0） 很重要！6. 把二次根式里被開(kāi)方數(shù)所含的完全平方因式移到根號(hào)外，或者化去被

2、開(kāi)方數(shù)的分母的過(guò)程，稱為“化簡(jiǎn)二次根式”。 通常把形如的式子也叫做二次根式。16.2 最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式1. 化簡(jiǎn)后的二次根式里： （1）被開(kāi)方數(shù)中各因式的指數(shù)都是1 （2）被開(kāi)方數(shù)不含分母*被開(kāi)方數(shù)中的因式是指因式分解和素因數(shù)分解后的因式和因數(shù)被開(kāi)方數(shù)同時(shí)符合上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式。2. 幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式。3. 多項(xiàng)式中，遇到同類項(xiàng)就可以合并。類似的，同類二次根式也可以合并。第二節(jié) 二次根式的運(yùn)算16.3 二次根式的運(yùn)算1. 先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把同類二次根式分別合并。2. 前提運(yùn)算

3、被開(kāi)方數(shù)根指數(shù)兩個(gè)二次根式相乘相乘不變相除相除 二次根式相乘或相除的結(jié)果，必須化為最簡(jiǎn)。3. 把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化。4. 兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式互為有理化因式。 一個(gè)含有二次根式的代數(shù)式的有理化因式不唯一。5. 分母有理化的方法，一般都是把分子和分母都乘以同一個(gè)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式（分母的有理化因式），使分母不含根號(hào)。6. 實(shí)數(shù)的運(yùn)算律、運(yùn)算性質(zhì)以及運(yùn)算順序規(guī)定，在二次根式運(yùn)算中都適用。7. 注意：化簡(jiǎn)或計(jì)算含字母的二次根式時(shí)，記得先寫(xiě)字母定義域，使得二次根式有意義。拓展、研究1. 無(wú)理數(shù)的大小比較：第十七章

4、一元二次方程第一節(jié) 一元二次方程的概念17.1 一元二次方程的概念1. 只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。2. 任何一個(gè)關(guān)于的一元二次方程都可以化成 這種形式簡(jiǎn)稱一元二次方程的一般式。其中叫做二次項(xiàng)，是二次項(xiàng)系數(shù)；叫做一次項(xiàng)，是一次項(xiàng)系數(shù)；叫做常數(shù)項(xiàng)。確定一元二次方程中的各項(xiàng)與各項(xiàng)系數(shù)，都是對(duì)一般是而言的。的取值：有根為0： 有根為1： 有根為-1：3. 只含有一個(gè)未知數(shù)的方程，它的解又叫做方程的根。第二節(jié) 一元二次方程的解法17.2 一元二次方程的解法1. 特殊的一元二次方程的解法 （開(kāi)平方法，因式分解法）1. 1） 2）解： 解： 原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。 像這樣

5、解一元二次方程的方法叫做開(kāi)平方法。2. 一般來(lái)說(shuō)，解形如的一元二次方程，其步驟是：（1） 通過(guò)移項(xiàng)，兩邊同除以，把原方程變形為（2） 根據(jù)平方根的意義，可知 、符號(hào)情況與0相比方程的根、異號(hào) ，、同號(hào)方程無(wú)實(shí)數(shù)根3. 小： 大：4. 通過(guò)開(kāi)平方把解一元二次方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題，其數(shù)學(xué)思想是“化歸”，基本策略是“降次”。5. 如果一元二次方程有實(shí)數(shù)根，那么一定有2個(gè)根。6. 通過(guò)因式分解，把一元二次方程化成兩個(gè)一次因式的積等于零的形式，從而把解一元二次方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題，像這樣解一元二次方程的方法叫做因式分解法。7. 當(dāng)一個(gè)一元二次方程的一邊是零，而另一邊的二次

6、式易于分解成兩個(gè)一次因式時(shí)，可用因式分解法來(lái)解這個(gè)一元二次方程。 2. 一般的一元二次方程 （配方法）1.（配方） 當(dāng)時(shí)，再利用開(kāi)平方法解方程； 當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。2. 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，常數(shù)項(xiàng)配成一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。3. 一元二次方程的求根公式 （公式法） 注意、的符號(hào)1. 一元二次方程，當(dāng)時(shí)，它有兩個(gè)實(shí)數(shù)根： ， 這就是一元二次方程的求根公式。 在求根公式中，如果，那么，即方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根。3. 在解一元二次方程式，只要把方程化為一般式如果，把、的值帶入求根公式，就可以求得方程的實(shí)數(shù)根；如果，那么原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。這一種解一元二次方程的方法稱為公式法。17.3 一元二次方程根的判

7、別式1. 我們把叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號(hào)“”來(lái)表示，記作2. 利用根的判別式，不必解方程，就可以判斷一個(gè)一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根，以及有實(shí)數(shù)根是兩根是否相等。3. 一元二次方程， 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根反過(guò)來(lái)說(shuō)，也是正確的。 注：在一元二次方程的前提下，討論4. 第三節(jié) 一元二次方程的應(yīng)用17.4 一元二次方程的應(yīng)用1. 驗(yàn)根時(shí)，可用根與系數(shù)的關(guān)系：第十八章 正比例函數(shù)和反比例函數(shù)第一節(jié) 正比例函數(shù)18.1 函數(shù)的概念1. 在問(wèn)題研究過(guò)程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量；保持?jǐn)?shù)值不變的量叫做常量（或常數(shù)）。2. 在某個(gè)變化

8、過(guò)程中有兩個(gè)變量，設(shè)為和，如果在變量的允許取值范圍內(nèi)，變量隨著的變化而變化，它們之間存在確定的依賴關(guān)系，那么變量叫做變量的函數(shù)，叫做自變量。3. 如變量是變量的函數(shù)，是自變量。其中隨著的變化而變化的依賴關(guān)系，是由“”表達(dá)出來(lái)的。 這種表達(dá)兩個(gè)變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)式子稱為函數(shù)解析式。4. 例題：判斷兩個(gè)變量之間是否存在依賴關(guān)系？其中一個(gè)變量是否為另一個(gè)變量的函數(shù)？解：在某個(gè)變化過(guò)程中 取值范圍 變量隨著變量的變化而變化 由，當(dāng)取一個(gè)定值時(shí)，的值也隨之確定 可見(jiàn)，變量與變量之間存在確定的依賴關(guān)系 是的函數(shù) 是這個(gè)函數(shù)的解析式5. 函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。6. 每一個(gè)函數(shù)

9、都有定義域。對(duì)于用解析式表示的函數(shù)，如果不加說(shuō)明，那么這個(gè)函數(shù)的定義域是能使這個(gè)函數(shù)解析是有意義的所有實(shí)數(shù)。7. 如果變量是自變量的函數(shù)。那么對(duì)于在定義域內(nèi)取定的一個(gè)值，變量的對(duì)應(yīng)值叫做當(dāng)時(shí)的函數(shù)值。8. 為了深入研究函數(shù)，我們把語(yǔ)句“是的函數(shù)”用記號(hào)來(lái)表示。括號(hào)內(nèi)的字母表示自變量，括號(hào)外的字母表示隨著的變化而變化的規(guī)律。9. 函數(shù)記號(hào)中括號(hào)外的字母不同，如，等，表示隨著變化而變化的規(guī)律不同。10. 在函數(shù)用記號(hào)表示時(shí)，表示當(dāng)時(shí)的函數(shù)值。18.2 正比例函數(shù)1. 如果兩個(gè)變量的每一組對(duì)應(yīng)值的比值是一個(gè)常數(shù)（這個(gè)常數(shù)不等于零），那么就說(shuō)這兩個(gè)變量成正比例。用數(shù)學(xué)式子表示兩個(gè)變量、成正比例，就是，

10、或表示為。2. 解析式形如（常數(shù)）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中常數(shù)叫做比例系數(shù)。3. 在求證比例函數(shù)的解析式時(shí)，先設(shè)解析式為，其中系數(shù)待定；再利用已知條件確定的值。這樣的方法稱為待定系數(shù)法。4. 畫(huà)函數(shù)圖像的步驟可以歸納為： （1）列表；（2）描點(diǎn)；（3）連線 由畫(huà)圖操作過(guò)程可知，所畫(huà)直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)解析式；同時(shí)，以這個(gè)解析式所確定的與的任意一組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)都在所畫(huà)的直線上，我們就說(shuō)“這條直線是函數(shù)的圖像”，并把它表示為“直線”。一般的，正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)的一條直線。我們把正比例函數(shù)的圖像叫做直線5. 過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線。6. 正比例函數(shù)有如下性質(zhì)： （1）當(dāng)0

11、時(shí)，正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)一、三象限；自變量的值逐漸增大時(shí)，的值也隨著逐漸增大。 （2）當(dāng)0時(shí)，正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)二、四象限；自變量的值逐漸增大時(shí)，的值也隨著逐漸減小。7. 性質(zhì)（1）和性質(zhì)（2）的逆命題也是正確的，可以直接利用。8. 當(dāng)函數(shù)有定義域時(shí)，注意函數(shù)圖像為射線（e.g.）或線段（e.g.）第二節(jié) 反比例函數(shù)18.3 反比例函數(shù)1. 如果兩個(gè)變量的每一組對(duì)應(yīng)值的乘積是一個(gè)不等于零的常數(shù)，那么就說(shuō)這兩個(gè)變量成反比例。 用數(shù)學(xué)式子表示兩個(gè)變量，成反比例，就是，或表示為2. 解析式形如的函數(shù)叫做反比例函數(shù)。其中也叫做比例系數(shù)。 反比例函數(shù)的定義域是不等于零的一切實(shí)數(shù)。 反比例函數(shù)由系數(shù)確定

12、。為不為零的常數(shù)。3. 反比例函數(shù)的圖像叫做雙曲線，它有兩支。兩支曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。4. 畫(huà)函數(shù)圖像時(shí)，用光滑的曲線（包括直線）把各坐標(biāo)點(diǎn)連結(jié)。5. 反比例函數(shù)有如下性質(zhì)：（1） 當(dāng)0時(shí)，函數(shù)圖像的兩支分別在第一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，當(dāng)自變量的值逐漸增大時(shí)，的值隨著逐漸減小。（2） 當(dāng)0時(shí)，函數(shù)圖像的兩支分別在二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)，當(dāng)自變量的值逐漸增大時(shí)，的值隨著逐漸增大。（3） 圖像的兩支都無(wú)限接近于軸和軸，但不會(huì)與軸和軸相交。（原因：1.不與軸相交：當(dāng)與軸相交時(shí)，但中，；2.不與軸相交：當(dāng)與軸相交時(shí)，但中，若 說(shuō)明，但）6. 性質(zhì)（1）和性質(zhì)（2）的逆命題也是正確的，可以直接運(yùn)用。第

13、三節(jié) 函數(shù)的表示法18.4 函數(shù)的表示法 （解析法、列表法、圖像法）1. 把兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系用表格來(lái)表達(dá)，這種表示函數(shù)的方法叫做列表法。2. 把兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系用圖像來(lái)表示，這種表示函數(shù)的方法叫做圖像法。3. 把兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系用數(shù)學(xué)式子來(lái)表達(dá)，這種表示函數(shù)的方法叫做解析法。第十九章 幾何證明前300年由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得整理編寫(xiě)的Elements在公元1607年由明代科學(xué)家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇和譯為幾何原本。第一節(jié) 幾何證明19.1 命題和證明1. 演繹證明是指：從已知的概念、條件出發(fā)，依據(jù)已被確認(rèn)的事實(shí)和公認(rèn)的邏輯規(guī)則，推導(dǎo)出某結(jié)論為正確的過(guò)程。演繹證明簡(jiǎn)稱證明。

14、2. 能界定某個(gè)對(duì)象含義的句子叫做定義。3. 判斷一件事情的句子叫做命題。 判斷為正確的命題叫做真命題；判斷為錯(cuò)誤的命題叫做假命題。4. 命題的題設(shè)和結(jié)論 如果 那么5.人們從長(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的真命題叫做公理，它們可以作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)。6. 有些命題是從公理或其他真命題出發(fā)，用推理方法證明為正確的，并進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理。7. 8. 證明真命題過(guò)程：e.g.（1）根據(jù)題意作出圖形，并在圖上標(biāo)出必要的字母或符號(hào)。（2）根據(jù)題設(shè)和結(jié)論，結(jié)合圖形，寫(xiě)出“已知”和“求證” 已知：如圖，,直線分別與、相交于點(diǎn)、，、分別平分與 求證：（3）經(jīng)過(guò)分析，找出

15、由已知推出結(jié)論的途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程 證明：（已知） =（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 又平分（已知） （角平分線的定義） 同理， 得（等式性質(zhì)） （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）9. 證明一個(gè)命題是假命題，有一個(gè)反例就夠了。19.2 證明舉例 注意方法，運(yùn)用要靈活，思路要寬第二節(jié) 線段的垂直平分線與角的平分線19.3 逆命題和逆定理1. 在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做它的互逆命題。 如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題叫做它的逆命題。2. 如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明也是定理，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)叫

16、做另一個(gè)的逆定理。3. 所有的定理都有逆命題，但不是所有的定理都有逆定理。19.4 線段的垂直平分線1. 線段垂直平分線的定理：線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。2. 逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。3. 線段的垂直平分線可以看作是和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合。19.5 角的平分線1. 定理：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。2. 逆定理：在一個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。3. 角的平分線可以看作是在這個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）到角兩邊距離相等的點(diǎn)的集合。19.6 軌跡1. 點(diǎn)按照某個(gè)

17、條件運(yùn)動(dòng)形成的圖形，我們就說(shuō)它是符合某些條件的點(diǎn)的軌跡。2. 和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線。3. 在一個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線。4到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以這個(gè)頂點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓。5. 所做軌跡條件：（1）圖形上的每一點(diǎn)都滿足某個(gè)條件。 （2）滿足條件的點(diǎn)都在圖形上。6. 利用軌跡相交進(jìn)行作圖的方法叫做交軌法。第三節(jié) 直角三角形19.7 直角三角形全等的判定1. 定理：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等。（簡(jiǎn)記為“”）無(wú)逆定理 19.8 直角三角形的性質(zhì)1. 定理1：直角三角形的兩個(gè)內(nèi)角互余。2. 定理2：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。（用三角形全等證明）3. 從定理直接推出來(lái)的定理叫做推論。4. 推論1：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的叫等于30°。5. e.g.若等腰三角形的高等于腰長(zhǎng)的一半，那么等腰三角形頂角度數(shù)為 30°或150° 。 1° 2°19.9 勾股定理1. 定理：在直角三角形中，斜邊大于直角邊。2. 勾股定