利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型

1、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型及解題技巧技巧精髓1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。2、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。一、利用題目所給函數(shù)證明【例1】 已知函數(shù)，求證：當(dāng)時，恒有分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)，從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明。【綠色通道】 當(dāng)時，即在上為增函數(shù) 當(dāng)時，即在上為減函數(shù)故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間于是函數(shù)在上的最大值為，因此，當(dāng)時，即

2、 （右面得證），現(xiàn)證左面，令， 當(dāng) ，即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上的最小值為，當(dāng)時，即，綜上可知，當(dāng) 【警示啟迪】如果是函數(shù)在區(qū)間上的最大（?。┲担瑒t有（或），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過就可得證2、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明【例2】已知函數(shù) 求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方；分析：函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方問題，即，只需證明在區(qū)間上，恒有成立，設(shè)，考慮到要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋寒?dāng)時，這只要證明： 在區(qū)間是增函數(shù)即可?！揪G色通道】設(shè)，即，則=當(dāng)時，=從而在上為增函數(shù)，當(dāng)時 ，即，故在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方?！揪締⒌稀勘绢}首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個函數(shù)（可

3、以移項，使右邊為零，將移項后的左式設(shè)為函數(shù)），并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設(shè)做一做，深刻體會其中的思想方法。3、換元后作差構(gòu)造函數(shù)證明【例3】（2007年，山東卷）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式 都成立. 分析：本題是山東卷的第（II）問，從所證結(jié)構(gòu)出發(fā)，只需令，則問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時，恒有成立，現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可達到證明。【綠色通道】令，則在上恒正，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，時，恒有 即，對任意正整數(shù)n，取【警示啟迪】我們知道，當(dāng)在上單調(diào)遞增，則時，有如果，要證明當(dāng)時，那么，只要令，就可以利用的單調(diào)增性來推導(dǎo)也就是說，在可導(dǎo)的前提下，只要證明

4、即可4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例4】若函數(shù)y=在R上可導(dǎo)且滿足不等式x>恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：a>b【綠色通道】由已知 x+>0 構(gòu)造函數(shù) ， 則 x+>0， 從而在R上為增函數(shù)。 即 a>b【警示啟迪】由條件移項后，容易想到是一個積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可完成證明。若題目中的條件改為，則移項后，要想到是一個商的導(dǎo)數(shù)的分子，平時解題多注意總結(jié)?！舅季S挑戰(zhàn)】 1、（2007年，安徽卷） 設(shè)求證：當(dāng)時，恒有，2、（2007年，安徽卷）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)其中a>0，且， 求證：3、已知函數(shù)，求證：對任意的正數(shù)、， 恒有4、（2007年，陜西卷）是定義在（0，+）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足0，對任意正數(shù)a、b，若a < b，則必有 （ ）（A）af (b)bf (a)（B）bf (a)af (b)（C）af (a)f (b)（D）bf (b)f (a)【答案咨詢】1、提示：，當(dāng)，時，不難證明 ，即在內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)時， ，當(dāng)時，恒有2、提示：設(shè)則 = ， 當(dāng)時， 故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，于是函數(shù) 在上的最小值是，故當(dāng)時，有，即3、提示：函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，即在上為減函數(shù) 當(dāng)