動態(tài)復(fù)制期權(quán)及其交易成本初探

1、動態(tài)復(fù)制期權(quán)及其交易成本初探廣發(fā)期貨投資研究部: 楊威近一年來，我國期貨市場波動風(fēng)險加大，作為市場的參與者，為了規(guī)避風(fēng)險，更需要具有非對稱收益的期權(quán)產(chǎn)品，然而在我國還未推出期貨期權(quán)的情況下，投資者如何構(gòu)建自己的保險組合策略、“繞道購買”期權(quán)產(chǎn)品呢？本文將從經(jīng)典的B-S公式及其推導(dǎo)原理出發(fā)，運(yùn)用MonteCarlo技術(shù)展示看漲與看跌期權(quán)的復(fù)制全過程，并探討了存在交易費(fèi)用（成交金額的一定比例）下，期權(quán)復(fù)制中各項(xiàng)費(fèi)用的分布情況，通過比較分析 ，得出復(fù)制深度實(shí)值看漲期權(quán)的成本相對較小而且穩(wěn)定性也較高的結(jié)論。一、相關(guān)研究簡述1973 年，F(xiàn)ischer Black 和Myron Scholes(1973

2、)發(fā)表了期權(quán)定價和公司財務(wù)一文，在一系列嚴(yán)格的假設(shè)條件下，通過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和論證，提出了后來被稱為“Black-Scholes 模型”(下稱B-S模型)的期權(quán)定價模型，成為期權(quán)定價理論研究中的開創(chuàng)性成果。Black 和Scholes假設(shè)標(biāo)的股票價格服從幾何布朗運(yùn)動，且其波動率是一個常數(shù)。在無套利的條件下，利用動態(tài)復(fù)制（Dynamic Replication）的方法，推導(dǎo)出基于不付紅利股票的歐式看漲期權(quán)價格必須滿足的微分方程。通過解此微分方程，得出歐式看漲期權(quán)價格的顯式解，稱為B-S 公式。該公式現(xiàn)已成了市場參與者所普遍使用的一個定價工具，推動了衍生產(chǎn)品市場的深入發(fā)展。但是在現(xiàn)實(shí)世界中，進(jìn)行實(shí)

3、時動態(tài)復(fù)制是不現(xiàn)實(shí)的，因而許多學(xué)者分別從離散時間和交易費(fèi)用方面來復(fù)制期權(quán)從而研究期權(quán)的定價。Boyle和 Emanuel(1980)對于不考慮交易成本的短時間段進(jìn)行間斷性避險的誤差分布進(jìn)行的檢驗(yàn)表明，忽略泰勒展開式的某些高階項(xiàng)，避險誤差的期望值為零，且避險誤差分布服從自由度為1的卡方分布。Leland(1985)提出采用一種修正的波動率來解決交易成本帶來的避險誤差問題。Kamal和Derman(1999)對分布的方差的研究表明方差與期權(quán)的Vega成比例。Toft(1996 ) 繼Leland開創(chuàng)性地對B-S模型進(jìn)行修正以運(yùn)用于存在交易成本下的期權(quán)定價之后，計算了對沖誤差的期望值并給出了顯式解。

4、Kabanov和Safarian(1997)給出了存在比例交易成本的對沖誤差的范圍，并認(rèn)為Leland的避險策略僅是一種推測。Yonggan Zhao和Ziemba(2003)指出，Leland論文中存在數(shù)學(xué)證明上的漏洞，并用模擬結(jié)果證明Leland模型存在問題，他們借鑒Leland的想法也對B-S模型的波動率進(jìn)行修正，但使用的是內(nèi)生的使絕對平均誤差最小化的修正波動率來進(jìn)行定價與避險。Davis和Zariphopoulou(1993、1995)，Hodges和Neuberger(1998)等更是利用隨機(jī)控制方法求效用最大化的方法對期權(quán)進(jìn)行定價，但由于算法復(fù)雜等原因并不實(shí)用。二、市場無套利假設(shè)與

5、組合自融資（Self-Financing）過程經(jīng)典的金融經(jīng)濟(jì)學(xué)假設(shè)市場上是不存在套利機(jī)會的。我們熟悉的遠(yuǎn)期（期貨）價格的定價公式也基于此，遠(yuǎn)期（期貨）的定價公式可簡單表示為：這里，S為當(dāng)前的現(xiàn)貨價格，R為無風(fēng)險利率（為簡化起見，這里可不考慮持有現(xiàn)貨的收益，而且這里采取單利形式）。可以發(fā)現(xiàn)，在期貨的定價中，我們并沒有使用現(xiàn)貨價格的（歷史）期望收益率而是使用無風(fēng)險利率，其原因就是市場的套利行為。假如該資產(chǎn)市場的遠(yuǎn)期價格高于F，例如為Fu，那么市場參與者就可以在市場上賣空該遠(yuǎn)期價格（期貨上做空），同時以R的利率借貸資本購入現(xiàn)貨，假設(shè)到期日現(xiàn)貨價格為St，那么在此期間，投資者的在遠(yuǎn)期（期貨）上的盈利為

6、Fu-St，現(xiàn)貨上的盈利為St-S*（1+R），兩者合計盈利Fu-St+St-S*（1+R）=Fu-S*（1+R）0，獲得無風(fēng)險的套利收益，而該套利行為（遠(yuǎn)期，期貨上賣空）將使得期貨價格從Fu回歸合理價格F，使得套利機(jī)會消失，價格被低估時的情形類似，可見市場無套利的假定有其合理性，期權(quán)定價原理也是基于市場無套利假設(shè)的。組合的自融資過程可以理解為除了初始的投入以外，在整個投資過程中不再投入資金，而且也不從中轉(zhuǎn)移資金，直到投資期結(jié)束。上文中構(gòu)建的套利組合也就是一個自融資的組合過程（一個遠(yuǎn)期或期貨空頭，一個債券（借款）空頭，一個現(xiàn)貨多頭），而且，市場的無套利假設(shè)也表明自融資過程組合的預(yù)期收益率等于無

7、風(fēng)險收益率。這成為期權(quán)定價中微分方程建立的“雛形”。三、動態(tài)復(fù)制期權(quán)原理1、B-S公式介紹基于無風(fēng)險套利套利的市場均衡以及組合的自融資過程（策略），期權(quán)與標(biāo)的資產(chǎn)的無風(fēng)險資產(chǎn)組合的收益率必定等于無風(fēng)險收益率，Black & Scholes（1973）首次提出了一個基本的歐式期權(quán)定價公式。其邊界條件為：，K為看漲期權(quán)的敲定價，那么解上述微分方程可得： 對于看漲期權(quán)，動態(tài)復(fù)制的Delta值對于看跌期權(quán)，Delta為2、離散時間下動態(tài)復(fù)制的實(shí)現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)的投資活動中，我們不可能連續(xù)的對復(fù)制期權(quán)的組合進(jìn)行實(shí)時連續(xù)的調(diào)整套保，而只能夠根據(jù)需要以一定的頻率或價格觸及進(jìn)行。按照標(biāo)準(zhǔn)的股票價格行為過程，以看漲期權(quán)

8、為例，套保率是標(biāo)的資產(chǎn)的增函數(shù)，當(dāng)股票價格上漲時，套保率也增加（暫不考慮時間因素），在具體的操作中就是價格高的時候買入股票，而價格低（跌）的時候賣出股票，那么，由于這些高買低賣產(chǎn)生的損失以及到期日的支付（max(s-k,0)）就近似于期權(quán)費(fèi)，特別是當(dāng)套保的頻率變高時，復(fù)制費(fèi)與期權(quán)的理論價格越接近（不考慮交易成本）。將動態(tài)套保的整個時間段劃分為等長度的N個間隔，考慮到交易成本，總的復(fù)制成本為（看漲期權(quán)）：四、動態(tài)復(fù)制技術(shù)在現(xiàn)實(shí)中的不足我們知道，B-S公式是在理想的假設(shè)下推導(dǎo)出來的，但是在現(xiàn)實(shí)的市場中，這些條件并不能得到滿足，這些條件（至少）包括：（1） 常波動率（2） 交易成本（3） 市場價格連

9、續(xù)而以上的三項(xiàng)對復(fù)制期權(quán)的成本影響最大，（1）與（3）主要影響復(fù)制成本公式右邊的第一項(xiàng)，即理論的期權(quán)費(fèi)部分，如果波動率保持常數(shù)，市場價格連續(xù)，該項(xiàng)將隨著N的增加逐步逼近期權(quán)的理論價值，而（2）交易成本將影響復(fù)制成本公式中的第二項(xiàng)，N越大，第二項(xiàng)費(fèi)用越大。五、考慮交易成本的動態(tài)復(fù)制期權(quán)策略分析1、標(biāo)的資產(chǎn)隨機(jī)路徑生成及分析假定為了對動態(tài)復(fù)制期權(quán)策略中成本費(fèi)用的構(gòu)成及影響因素，我們通過MonteCarlo方法模擬出資產(chǎn)價格的1000個可能的路徑，并假定：（1） 時間1年=240天=240*4小時=240*4*60分鐘；（2） 股票初始價格S0=100，期望收益為0.03，波動率25% ；（3） 復(fù)

10、制期權(quán)的到期日距起始日1年；（4） 復(fù)制的交易費(fèi)用為交易金額的1%；（5） 動態(tài)套保的頻率分別取3 分鐘，15分鐘，30分鐘，1小時，2小時，1天，3天，6天；（6） 敲定價分別設(shè)定為70，80，90，100，110，120，130；（7） 無風(fēng)險利率5%。2、動態(tài)復(fù)制成本（不含交易費(fèi)用，及成本第1項(xiàng)）分析上文中提到動態(tài)復(fù)制的第一項(xiàng)成本隨著時間間隔數(shù)N的增大逐步收斂于對應(yīng)期權(quán)的理論價格。根據(jù)分析的結(jié)果（見圖1、表1、2，圖2和圖3）我們可以得到：（1） 復(fù)制成本1基本呈對稱分布狀；（2） 頻率越高，復(fù)制成本1方差越?。唬?） 頻率相同時，無論是看漲還是看跌，平值期權(quán)復(fù)制成本1的標(biāo)準(zhǔn)差最大，價內(nèi)

11、與價外期權(quán)的復(fù)制成本1的標(biāo)準(zhǔn)差逐步減小；（4） 頻率相同時，看漲期權(quán)復(fù)制成本1的標(biāo)準(zhǔn)差與均值得比值隨著敲定價的調(diào)高而變大，對于看跌期權(quán)，則隨著敲定價的調(diào)高而減小。由以上分析可知在頻率一定（控制一定的復(fù)制標(biāo)準(zhǔn)差下）時，無論是復(fù)制看漲還是看跌期權(quán)，實(shí)值期權(quán)復(fù)制的成本相對較低。圖1：不同頻率下動態(tài)復(fù)制成本（第一項(xiàng)）分布表1：動態(tài)復(fù)制看漲期權(quán)成本1的均值與方差情況敲定價708090100110120130B-S期權(quán)費(fèi)33.86 25.41 18.14 12.34 8.03 5.03 3.05 15mins均值33.86 25.41 18.15 12.34 8.04 5.03 3.05 方差0.05 0

12、.08 0.11 0.14 0.15 0.14 0.14 30mins均值33.85 25.41 18.14 12.34 8.04 5.03 3.05 方差0.07 0.12 0.16 0.19 0.21 0.20 0.19 1hours均值33.85 25.41 18.14 12.34 8.03 5.04 3.05 方差0.10 0.16 0.22 0.27 0.29 0.29 0.27 2hours均值33.85 25.41 18.13 12.32 8.01 5.02 3.04 方差0.14 0.23 0.30 0.40 0.42 0.41 0.38 1day均值33.85 25.41 1

13、8.13 12.32 8.03 5.05 3.06 方差0.22 0.33 0.42 0.54 0.59 0.56 0.53 3days均值33.84 25.39 18.12 12.31 8.03 5.06 3.06 方差0.38 0.57 0.75 0.89 1.00 0.95 0.93 6days均值33.85 25.37 18.11 12.33 8.04 5.09 3.10 方差0.49 0.77 1.03 1.26 1.41 1.37 1.25 表2：動態(tài)復(fù)制看跌期權(quán)成本1的均值與方差情況敲定價708090100110120130B-S期權(quán)費(fèi)0.441.513.757.4612.661

14、9.1726.7115mins均值0.441.513.767.4712.6719.1826.71方差0.050.080.110.140.150.140.1430mins均值0.441.513.757.4612.6719.1826.71方差0.070.120.160.190.210.200.191hours均值0.441.513.757.4612.6719.1826.71方差0.100.160.220.270.290.290.272hours均值0.441.513.747.4412.6519.1726.70方差0.140.230.300.400.420.410.381day均值0.441.503

15、.747.4512.6619.2026.72方差0.220.330.420.540.590.560.533days均值0.431.493.737.4312.6619.2026.72方差0.380.570.750.891.000.950.936days均值0.431.473.727.4512.6719.2426.76方差0.490.771.031.261.411.371.25圖2：期權(quán)復(fù)制成本的標(biāo)準(zhǔn)差圖3：期權(quán)復(fù)制成本的標(biāo)準(zhǔn)差與相應(yīng)均值的比值3、動態(tài)復(fù)制交易費(fèi)用（成本2）分析在實(shí)際的動態(tài)復(fù)制期權(quán)中，人們更關(guān)心的可能是復(fù)制成本的第二項(xiàng)，即交易成本，由于動態(tài)復(fù)制中要不停的（按一定頻率）進(jìn)行相應(yīng)資產(chǎn)的

16、買賣，從而保證與期權(quán)相對應(yīng)的風(fēng)險頭寸，這時就不得不考慮交易成本。首先，對于交易成本直觀的看法是頻率越高交易成本越高，將相應(yīng)的成本2數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，我們可以發(fā)現(xiàn)其分布情況與頻率以及敲定價之間的關(guān)系（見圖4、圖5）。圖6向我們展示了在不同復(fù)制頻率與敲定價格下成本2的均值變化情況，綜合以上的分析，我們總結(jié)出以下幾點(diǎn)：（1） 復(fù)制成本2的分布程非對稱狀；（2） 無論復(fù)制看漲還是看跌期權(quán)，敲定價越高，成本2的方差越大；（3） 成本2的均值在復(fù)制平價期權(quán)時最高，而其他情況逐步減??；（4） 綜合（2）與（3），復(fù)制低敲定價的看漲與看跌期權(quán)，其成本2都相對較小，而且具有更小的穩(wěn)定性（方差）。圖4：不同頻率與敲定

17、價下復(fù)制看漲成本2分布情況圖5：不同頻率與敲定價下復(fù)制看跌成本2分布情況圖6：不同頻率與敲定價下復(fù)制成本2均值與B-S期權(quán)費(fèi)的比率4、動態(tài)復(fù)制兩項(xiàng)費(fèi)用總體分析由以上對兩項(xiàng)費(fèi)用的綜合分析，可以得到以下幾點(diǎn)結(jié)論：（1） N值越大（頻率越高），第一項(xiàng)費(fèi)用的穩(wěn)定性越好（方差越小），第二項(xiàng)費(fèi)用的成本越大，穩(wěn)定性也差；（2） N值一定的情況下，對于看漲和看跌期權(quán)，平值期權(quán)復(fù)制的第一項(xiàng)費(fèi)用穩(wěn)定性較差，第二項(xiàng)費(fèi)用的均值也較大；第二項(xiàng)費(fèi)用的穩(wěn)定性隨著敲定價的增高而變差；（3） N不變，考慮到期權(quán)的理論價格（B-S價格），深度實(shí)值看漲期權(quán)的單位期權(quán)費(fèi)對應(yīng)的方差較小，第二項(xiàng)費(fèi)用的均值較小，穩(wěn)定性也較高；但對于深度實(shí)值的看跌期權(quán)，第二項(xiàng)費(fèi)用的穩(wěn)定性卻較差；對于深度虛值