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1、3.4 基本不等式基本不等式:a+b2ab 三國時期吳國數(shù)學(xué)家趙爽三國時期吳國數(shù)學(xué)家趙爽 設(shè)計了設(shè)計了“趙爽弦圖趙爽弦圖”美文美圖欣賞:美文美圖欣賞: ADCBabADCBHFGEab讓弦圖讓弦圖動起來動起來(形)(形)(數(shù))(數(shù))222abab證明:2()0a b當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立時,等號成立. 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立時,等號成立. 222abab( ,)a b R222.abab成立得到當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立時,等號成立.222abab( ,)a b R欣賞不等式:欣賞不等式: 不等式兩邊的結(jié)構(gòu):不等式兩邊的結(jié)構(gòu):重要不等式:重要不等式: 任意任意兩
2、數(shù)的兩數(shù)的平方和平方和大于或等于它們大于或等于它們積積的的2 2倍倍. . 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立時,等號成立.222abab( ,)a b R特殊地:特殊地: 重要不等式:重要不等式: , a b用具體的數(shù)分別代替來感受不等式的魅力當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立時,等號成立.222abab( ,)a b R特殊地:特殊地: 重要不等式:重要不等式: 0,0, ,如果用分別代替可得到什么結(jié)論?aaa bbb2abab (a0,b0)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立時,等號成立.2abab (a0,b0)常變形成:常變形成:當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立時,等號成立.當(dāng)且僅
3、當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立時,等號成立.2abab(a0,b0)基本不等式基本不等式 變形后應(yīng)該有美的地方?變形后應(yīng)該有美的地方? 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立時,等號成立.欣賞基本不等式:欣賞基本不等式:( ,0)2ababa b算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)幾何平均數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立時,等號成立.欣賞基本不等式:欣賞基本不等式:( ,0)2ababa b等差中項等差中項等比中項等比中項2abab (a0,b0)常變形成:常變形成:當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立時,等號成立.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立時,等號成立.2abab(a0,b0)基本不等式基本
4、不等式 2abab)0, 0(ba證明基本不等式:證明基本不等式:(數(shù))(數(shù))ABCDEabOO為圓心,點為圓心,點C是直徑是直徑AB上一點上一點, AC=a, BC=b. 過點過點C作作垂直垂直于于AB的弦的弦DE,連接連接AD、BD、OD.如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2abab2abab)0, 0(ba證明基本不等式:證明基本不等式:利用圖形形證明基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立時,等號成立.2abab(a0,b0) 兩正兩正數(shù)數(shù)積積與與和和的關(guān)系的關(guān)系應(yīng)用基本不等式:應(yīng)用基本不等式:兩正數(shù)積定和最小兩正數(shù)積定和最小當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立時,等號成立.2abab(a0,b0)應(yīng)用基本不等式:應(yīng)用基本不等式:求最值的工具求最值的工具兩正數(shù)和定積最大兩正數(shù)和定積最大課堂小結(jié):222(abab aR、b)(0,0)2ababab形數(shù)用基本
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