專題勾股定理培優(yōu)版綜合

1、專題 勾股定理在動(dòng)態(tài)幾何中的應(yīng)用一.勾股定理與對(duì)稱變換（一）動(dòng)點(diǎn)證明題1.如圖，在ABC中，AB=AC，（1）若P為邊BC上的中點(diǎn)，連結(jié)AP，求證：BP×CP=AB2-AP2；（2）若P是BC邊上任意一點(diǎn)，上面的結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)證明，若不成立請(qǐng)說明理由；ABPC（3）若P是BC邊延長線上一點(diǎn)，線段AB、AP、BP、CP之間有什么樣的關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.（二）最值問題2.如圖，E為正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，AE=3 ，BE=1，P為AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值是 3. 如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B

2、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.（1）求證：AMBENB；EA DB C CNM（2）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM的值最??；EA DB C CNM當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM的值最小，并說明理由；（3）當(dāng)AMBMCM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長.EA DB C CNM4.問題：如圖，在ABC中， D是BC邊上的一點(diǎn)，若BAD=C=2DAC=45°，DC=2求BD的長小明同學(xué)的解題思路是：利用軸對(duì)稱，把ADC進(jìn)行翻折，再經(jīng)過推理、計(jì)算使問題得到解決（1）請(qǐng)你回答：圖中BD的長為 ；（2）參考小明的思路，探究并解答問題：如圖，在ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，若BAD

3、=C=2DAC=30°，DC=2，求BD和AB的長 圖 圖 二.勾股定理與旋轉(zhuǎn)5.閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在ABC（其中BAC是一個(gè)可以變化的角）中，AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊PBC，求AP的最大值。小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合他的方法是以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心將ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到ABC,連接,當(dāng)點(diǎn)A落在上時(shí),此題可解（如圖2）請(qǐng)你回答：AP的最大值是 參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：如圖3，等腰RtABC邊AB=4,P為ABC內(nèi)部一點(diǎn)， 則AP+BP+CP的最小值是 .（結(jié)果可以不化簡）6.如

4、圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，AP=3，BP=4，CP=5，求APB的度數(shù). 變式1：ABC中， ACB=90º，AC=BC，點(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=6，PB=2，PC=4，求BPC 的度數(shù)CBAP變式2：問題：如圖1，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PAPBPC=123，求APB的度數(shù)小娜同學(xué)的想法是：不妨設(shè)PA=1， PB=2，PC=3，設(shè)法把PA、PB、PC相對(duì)集中，于是他將BCP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BAE（如圖2），然后連結(jié)PE，問題得以解決請(qǐng)你回答：圖2中APB的度數(shù)為 請(qǐng)你參考小娜同學(xué)的思路，解決下列問題： 如圖3，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知APB

5、=115°，BPC=125°（1）在圖3中畫出并指明以PA、PB、PC的長度為三邊長的一個(gè)三角形（保留畫圖痕跡）；（2）求出以PA、PB、PC的長度為三邊長的三角形的各內(nèi)角的度數(shù)分別等于 圖1 圖2 圖37. 已知RtABC中，ACB=90°，CA=CB，有一個(gè)圓心角為，半徑的長等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE，CF分別與直線AB交于點(diǎn)M，N（1）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在ACE的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖，求證：；CABEFMN圖（2）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖的位置時(shí)，關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由CABEFMN圖變式1：如圖，在中, 且,

6、則= 變式2：如圖，在RtABC 中，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且DAE=45°，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，得到，連接，下列結(jié)論：BCDEFA；其中正確的是（ ）A； B； C；D（三）其它應(yīng)用7. 在中，、三邊的長分別為、，求這個(gè)三角形的面積小寶同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)（即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖1所示這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積（1）請(qǐng)你將的面積直接填寫在橫線上_；思維拓展：（2）我們把上述求面積的方法叫做構(gòu)圖法若三邊的長分別為、（），請(qǐng)利用圖2的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為）畫出相應(yīng)的，并求出它的面積填寫在橫線上_；探索創(chuàng)新：（3）若中有兩邊的長分別為、（），且的面積為，試運(yùn)用構(gòu)圖法在圖3的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為）中畫出所有符合題意的(全等的三角形視為同一種情況)，并求出它的第三條邊長填寫在橫線上_8.已知ABC=90°，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），分別以AB、AP為邊在ABC的內(nèi)部作等邊ABE和APQ,連結(jié)QE并延長交BP于點(diǎn)F.（1）如圖1，若AB=，點(diǎn)A、E、P恰好在一條直線上時(shí)，求此時(shí)EF