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文檔簡介
1、專題 勾股定理在動(dòng)態(tài)幾何中的應(yīng)用一.勾股定理與對(duì)稱變換(一)動(dòng)點(diǎn)證明題1.如圖,在ABC中,AB=AC,(1)若P為邊BC上的中點(diǎn),連結(jié)AP,求證:BP×CP=AB2-AP2;(2)若P是BC邊上任意一點(diǎn),上面的結(jié)論還成立嗎?若成立請(qǐng)證明,若不成立請(qǐng)說明理由;ABPC(3)若P是BC邊延長線上一點(diǎn),線段AB、AP、BP、CP之間有什么樣的關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論.(二)最值問題2.如圖,E為正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn),AE=3 ,BE=1,P為AC上的動(dòng)點(diǎn),則PB+PE的最小值是 3. 如圖,四邊形ABCD是正方形,ABE是等邊三角形,M為對(duì)角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn),將BM繞點(diǎn)B
2、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN、AM、CM.(1)求證:AMBENB;EA DB C CNM(2)當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AMCM的值最??;EA DB C CNM當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AMBMCM的值最小,并說明理由;(3)當(dāng)AMBMCM的最小值為時(shí),求正方形的邊長.EA DB C CNM4.問題:如圖,在ABC中, D是BC邊上的一點(diǎn),若BAD=C=2DAC=45°,DC=2求BD的長小明同學(xué)的解題思路是:利用軸對(duì)稱,把ADC進(jìn)行翻折,再經(jīng)過推理、計(jì)算使問題得到解決(1)請(qǐng)你回答:圖中BD的長為 ;(2)參考小明的思路,探究并解答問題:如圖,在ABC中,D是BC邊上的一點(diǎn),若BAD
3、=C=2DAC=30°,DC=2,求BD和AB的長 圖 圖 二.勾股定理與旋轉(zhuǎn)5.閱讀下面材料:小偉遇到這樣一個(gè)問題:如圖1,在ABC(其中BAC是一個(gè)可以變化的角)中,AB=2,AC=4,以BC為邊在BC的下方作等邊PBC,求AP的最大值。小偉是這樣思考的:利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合他的方法是以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心將ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到ABC,連接,當(dāng)點(diǎn)A落在上時(shí),此題可解(如圖2)請(qǐng)你回答:AP的最大值是 參考小偉同學(xué)思考問題的方法,解決下列問題:如圖3,等腰RtABC邊AB=4,P為ABC內(nèi)部一點(diǎn), 則AP+BP+CP的最小值是 .(結(jié)果可以不化簡)6.如
4、圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),AP=3,BP=4,CP=5,求APB的度數(shù). 變式1:ABC中, ACB=90º,AC=BC,點(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn),且PA=6,PB=2,PC=4,求BPC 的度數(shù)CBAP變式2:問題:如圖1,P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且PAPBPC=123,求APB的度數(shù)小娜同學(xué)的想法是:不妨設(shè)PA=1, PB=2,PC=3,設(shè)法把PA、PB、PC相對(duì)集中,于是他將BCP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BAE(如圖2),然后連結(jié)PE,問題得以解決請(qǐng)你回答:圖2中APB的度數(shù)為 請(qǐng)你參考小娜同學(xué)的思路,解決下列問題: 如圖3,P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),已知APB
5、=115°,BPC=125°(1)在圖3中畫出并指明以PA、PB、PC的長度為三邊長的一個(gè)三角形(保留畫圖痕跡);(2)求出以PA、PB、PC的長度為三邊長的三角形的各內(nèi)角的度數(shù)分別等于 圖1 圖2 圖37. 已知RtABC中,ACB=90°,CA=CB,有一個(gè)圓心角為,半徑的長等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),且直線CE,CF分別與直線AB交于點(diǎn)M,N(1)當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在ACE的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí),如圖,求證:;CABEFMN圖(2)當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖的位置時(shí),關(guān)系式是否仍然成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說明理由CABEFMN圖變式1:如圖,在中, 且,
6、則= 變式2:如圖,在RtABC 中,D、E是斜邊BC上兩點(diǎn),且DAE=45°,將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后,得到,連接,下列結(jié)論:BCDEFA;其中正確的是( )A; B; C;D(三)其它應(yīng)用7. 在中,、三邊的長分別為、,求這個(gè)三角形的面積小寶同學(xué)在解答這道題時(shí),先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長為1),再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)(即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處),如圖1所示這樣不需求的高,而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積(1)請(qǐng)你將的面積直接填寫在橫線上_;思維拓展:(2)我們把上述求面積的方法叫做構(gòu)圖法若三邊的長分別為、(),請(qǐng)利用圖2的正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長為)畫出相應(yīng)的,并求出它的面積填寫在橫線上_;探索創(chuàng)新:(3)若中有兩邊的長分別為、(),且的面積為,試運(yùn)用構(gòu)圖法在圖3的正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長為)中畫出所有符合題意的(全等的三角形視為同一種情況),并求出它的第三條邊長填寫在橫線上_8.已知ABC=90°,點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合),分別以AB、AP為邊在ABC的內(nèi)部作等邊ABE和APQ,連結(jié)QE并延長交BP于點(diǎn)F.(1)如圖1,若AB=,點(diǎn)A、E、P恰好在一條直線上時(shí),求此時(shí)EF
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