中職數(shù)學(xué)平面向量教案

1、 復(fù)習(xí)引入：新授： 1. 向量的概念把既有大小、又有方向的量，叫做向量記為向量a,b,c,.等，在書(shū)寫時(shí)，則在小寫西文字符的上方加一個(gè)小箭頭，例如,.等如果向量的方向限于平面內(nèi)，則叫做平面向量 向量的大小是一個(gè)非負(fù)數(shù)量，叫做向量的模記為|a|,|b|,|c|,.或|,|,|,.ca圖7-2(1)b 特別地，若一個(gè)向量的模為單位1，則叫做單位向量，單位向量常記作e若一個(gè)向量的模為0，則叫做零向量，零向量總是記作0零向量的長(zhǎng)度為0，且規(guī)定零向量0的方向是可以任意確定的為了更直觀的反映確定向量的大小、方向，我們又把向量表示成如圖7-2(1)上所示的帶箭頭的短線段，箭頭的方向表示DC圖7-2(2)BA

2、B1C1了它所表示的向量的方向，而線段的長(zhǎng)度則是它所表示的向量的模(即大小)有時(shí)，為了突出短線段的起終點(diǎn)，會(huì)以字符標(biāo)出起終點(diǎn)(見(jiàn)圖7-2(2)，此時(shí)可以以,等表示向量，而向量的模，也就對(duì)應(yīng)地表示為|,|,|由于我們所研究的向量只含有大小、方向兩個(gè)要素，因此，即使當(dāng)我們用帶箭頭的短線段表示向量時(shí)，與帶箭頭的短線段的起終點(diǎn)是沒(méi)有關(guān)系的為了突出這一點(diǎn)，有時(shí)又把向量記作自由向量 例1 設(shè)矩形ABCD的邊長(zhǎng)為2和3，其所有的邊及對(duì)角線，能構(gòu)成多少向量？這些向量的模是多少？課內(nèi)練習(xí)1 1. 一個(gè)正六邊形的所有邊及中心到各頂點(diǎn)的連線，能構(gòu)成多少向量？試寫出全部所構(gòu)成的向量；若正六邊形的邊長(zhǎng)為1，求全部向量的

3、模，并判斷哪些向量是單位向量？ 2. 向量的比較 (1)向量相等 任意兩個(gè)數(shù)量a,b都可以比較，其關(guān)系不外乎相等(a=b)或不相等(a¹b)兩種，只要根據(jù)兩個(gè)數(shù)的大小就可以下結(jié)論因?yàn)橄蛄坎坏写笮?，而且有方向，所以比較兩個(gè)向量a,b的相等與否，不但要比較它們的大小，還要比較它們的方向當(dāng)且僅當(dāng)a,b的大小相等、方向相同時(shí)，才能說(shuō)a,b相等，并表示成a=b；否則a, b就不相等(a¹b)在例1中的相等向量有且僅有 =, =, =, =， 更仔細(xì)地說(shuō)，不相等的兩個(gè)數(shù)量還可以有大于、小于的關(guān)系，那么向量之間是否也能有大于、小于關(guān)系呢？因?yàn)榇笮?、方向的整體組成向量，方向是不能比較大小

4、的，因此向量本身之間也不能比較大小，即兩個(gè)向量不能談及孰大孰小當(dāng)然，向量的模是數(shù)量，因此向量的模是可以比較大小的即使兩個(gè)向量a,b有相同的方向，且|a|>|b|，我們?nèi)匀恢荒苷f(shuō)向量a的模大于向量b的模，而不能說(shuō)向量a大于向量b 若a=b，則把表示a,b的箭頭短線段的始點(diǎn)移到同一點(diǎn)時(shí)，它們必重合；反之把兩條箭頭短線段的始點(diǎn)移到同一點(diǎn)時(shí)重合，那么這兩條短線段表示相等的向量或同一向量 例2 物體從點(diǎn)A出發(fā)位移，第一次沿水平線位移到B，位移量為3；然后繼續(xù)沿鉛直方向向下位移到C，位移量為4 (1)試以向量表示這二次位移，并在平面上作出這兩個(gè)位移向量； (2)在A的鉛直下方4處標(biāo)注點(diǎn)D，能否說(shuō)第二

5、次位移的位移向量是？為什么？ (2)相反向量 對(duì)數(shù)量，若兩個(gè)數(shù)a,b的絕對(duì)值相等但符號(hào)相反，則把a(bǔ),b叫做一對(duì)相反數(shù)對(duì)向量，若兩個(gè)向量a,b的長(zhǎng)度相等但方向相反，則這一對(duì)向量叫做相反向量，記作a=-b或-a=b對(duì)調(diào)一個(gè)向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，即得到了它的相反向量，即=-例如在例1所有的向量中，共有如下六對(duì)相反向量： =-, =-, =-, =-, =-, =- 例3 對(duì)例2的問(wèn)題，若記第一次位移向量為a，第二次位移向量為b，現(xiàn)繼續(xù)作第三、四次位移，第三次位移是從C出發(fā)向左移動(dòng)3到D，第四此則從D返回A試以a,b表示第三、四次位移 (3)平行向量若兩個(gè)向量a,b的方向相同或相反，則把這一對(duì)向量叫做平行

6、向量，也可以說(shuō)向量a平行于向量b或向量b平行于向量a規(guī)定零向量平行于任意向量. 根據(jù)平行向量的方向特征，若向量a位于直線l上(即a的始終點(diǎn)都在l上)，則只要平移a的平行向量b，b也必定能位于直線l上，因此又把平行向量叫做共線向量 例4 找出一個(gè)梯形各邊構(gòu)成的全部向量及這些向量之間存在的關(guān)系課內(nèi)練習(xí)2 1. 課內(nèi)練習(xí)1的所有向量中，有哪些是相等向量？哪些是相反向量？第3題圖WF1F·· 2. 作出一個(gè)梯形及其中線，可以構(gòu)成多少向量？這些向量之間存在哪些關(guān)系？ 3. 以F,F1都表,示方向向上、大小為10N的力，考察把F作用在物體W的左上角和F1作用在物體W的右上角兩種情況(如

7、附圖)，物體受力后的移動(dòng)情況肯定不同，這與F=F1的結(jié)論矛盾嗎？試作出合理的解釋復(fù)習(xí)引入：新授： (1)向量的加法運(yùn)算向量加法運(yùn)算的法則 向量a加向量b的結(jié)果a+b是按照下列法則生成的一個(gè)向量c：把b的始點(diǎn)移到a的終點(diǎn)后、從a的始點(diǎn)連到b的終點(diǎn)記作 c=a+b圖9-9(1)cab···圖9-9(2)cab···與數(shù)量相加一樣，把a(bǔ)叫做被加向量，b叫做加向量，c叫做和向量 在a,b不平行的情況下，c是重合a,b的始點(diǎn)、以a,b為鄰邊組成的平行四邊形的對(duì)角線向量，其指向與a,b同側(cè)(平行四邊形法則，見(jiàn)圖9-9(1)；也是是以a的終點(diǎn)作為b

8、的始點(diǎn)所組成的三角形的第三邊向量(三角形法則，見(jiàn)圖9-9(2)對(duì)于三角形法則我們可以歸納為：首尾相連首尾連 例4 用兩種方法作出圖9-10(1)中向量a,b的和向量c圖9-10(3)ab·bc圖9-10(2)c·ab圖9-10(1) 解 (1)按平行四邊形法則，把的始點(diǎn)移到同一點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)以為相鄰邊的平行四邊形，對(duì)角線向量即為和向量c(見(jiàn)圖9-10(2) (2)移b的始點(diǎn)到a的終點(diǎn)，從a的始點(diǎn)連向b的終點(diǎn)的向量即為和向量c(見(jiàn)圖9-10(3) 例5 (1)若b=-a，求c=a+b； (2)若a,b平行，求c=a+b圖9-12abdcabcdf 例6 已知向量a,b, c, d

9、如圖9-12，求f=a+b+c+d 解 逐次應(yīng)用向量加法的法則移加向量的始點(diǎn)到被加向量的終點(diǎn)，從被加向量的始點(diǎn)連向加向量的終點(diǎn)，得到和向量f如圖9-12所示，其中虛線表示的向量，從左向右依次是a+b, a+b+c課內(nèi)練習(xí)3 1. 請(qǐng)舉一個(gè)向量相加的實(shí)際問(wèn)題 2. 向量相加的平行四邊形法則和三角形法則能適用于怎樣的情況？第4題圖ABCD 3. a+(-a)=0，因此|a|+|-a|=0，這個(gè)結(jié)論正確嗎？一般地，c=a+b，因此|c|=|a|+|b|，這個(gè)結(jié)論正確嗎？由此可以對(duì)向量相加與向量的模相加作出怎樣的結(jié)論？ 4. 矩形ABCD如圖，試求 +,+,+,+得到的和向量之間有哪些關(guān)系？ 5. 矩

10、形ABCD如第4題，求 (+)+,+(+),+,+得到的和向量之間有哪些關(guān)系？ 數(shù)量加法運(yùn)算滿足交換律(a+b=b+a)、結(jié)合律(a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，向量的加法運(yùn)算同樣滿足交換律和結(jié)合律 a+b=b+a， a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)， (2)向量的減法運(yùn)算圖9-13(2)-ba-bac 如同數(shù)量a,b相減a-b，是被加數(shù)a與加數(shù)b的相反數(shù)-b相加一樣，所謂向量a,b相減a-b，實(shí)際上是向量a與向量b的相反向量-b相加，即a+(-b)應(yīng)用向量加法法則，可以得出向量減法運(yùn)算的法則圖9-圖9-13(3)abc圖9-13(1)ab13(1)中是已知向量a,b；圖

11、9-13(2)顯示了a+(-b)；圖9-13(2)顯示了a-b的直接運(yùn)算法則，法則的文字表述是：a-b的結(jié)果是一個(gè)向量c，把a(bǔ),b的始點(diǎn)移到同一點(diǎn)，從b的終點(diǎn)連向a的終點(diǎn)的向量就是c(三角形法則) 對(duì)于三角形法則我們可以歸納為：首同尾連，剪頭指向被減記作 c=a-ba叫做被減向量，b叫做減向量，c叫做差向量 例7 在DABC中，把每條邊都作為從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)的向量，并把這些向量叫做邊向量為了使是另兩條邊向量的差，另兩條邊向量應(yīng)是怎樣的？ 例8 在DABC中，若邊向量為,，求 (1)a=+；(2)求b=-課內(nèi)練習(xí)4 1. 在DABC中，把每條邊都作為從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)的向量，并把這些向

12、量叫做邊向量為了使是另兩條邊向量的差，另兩條邊向量應(yīng)是怎樣的？ 2. 在矩形ABCD中的邊向量為,，求 (1)a=-；(2)b=-；(3)c=-；(4)d=- 因?yàn)橄蛄肯鄿p是被減向量與減向量的負(fù)向量相加，而向量相加運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律，這樣向量的減法運(yùn)算所能滿足的運(yùn)算律也就唾手可得了，例如 a-b=-b+a，a-b-c=a-c-b=a-(b+c) (3)向量的數(shù)乘運(yùn)算 在數(shù)量運(yùn)算中，若a=2，b是a的兩倍，則b=2a在例8向量運(yùn)算中，我們兩次都遇到a=+,b=+這樣兩個(gè)相同的向量相加問(wèn)題，能不能也能簡(jiǎn)寫成a=2,b=2呢？這完全取決與如何規(guī)定2,2的含義，若規(guī)定它們的含義確實(shí)與+,+相同，那

13、么這種簡(jiǎn)寫就完全合法且合理了為此我們作如下的定義： 一個(gè)實(shí)數(shù)a乘以向量a的結(jié)果是一個(gè)平行于a的向量b，b的模是a的模|a|倍，即 |b|=|a|×|a|；b的方向當(dāng)a>0時(shí)與a的方向相同，當(dāng)a<0時(shí)與a的方向相反記作 b=a×a 或 b=aa，把向量的這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘運(yùn)算 根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算的這種規(guī)定，立即可知 -a=-1×a，a+a=2a，-a-a=-2a 把數(shù)相加和向量相加所滿足的運(yùn)算律結(jié)合起來(lái)，立即可得向量數(shù)乘運(yùn)算滿足下述兩個(gè)分配律： (a+b)a=aa+ba，a (a+b)=aa+ab，其中a,b是任意實(shí)數(shù)，a,b是任意向量 根據(jù)向量的數(shù)乘

14、運(yùn)算,我們有：如果有一個(gè)實(shí)數(shù)a，使b=a×a（a0），則a與b是平行向量；反之，如果a與b是平行向量，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)a，使b=a×a（a0） 例8 設(shè)c=-2a, d=-3a, f=-2b, g=a -2b，求h=2a+3f-3d+4g+2b-2c 解 h=2a+3f-3d+4g+2b-2c =2a+3(-2b)-3(-3a)+4(a -2b)+2b-2(-2a) =2a-6b+9a+4a -8b+2b+4a=(2+9+4+4)a-(6+8-2)b=19a-12b 例9 DABC的AC邊長(zhǎng)為a，現(xiàn)把AB,BC邊各延長(zhǎng)原來(lái)的0.8倍成為DA1BC1，求邊A1C1的長(zhǎng)(見(jiàn)圖

15、9-15)課內(nèi)練習(xí)5 1. 已知向量a，作出向量-2a, 3a 2. 已知向量a的模為s，求向量b=0.1a, c=-3a, d=2.5a的模 3. 設(shè)c=-a, d=-3b, f=2b, g=-2a -b，求h=2a-3c +3f-3d-3g-2b 4. 甲、乙兩人從同一點(diǎn)出發(fā)，取不同方向前行當(dāng)甲行進(jìn)2km、乙行進(jìn)6km時(shí)兩人相距4km，問(wèn)當(dāng)甲、乙繼續(xù)按原方向分別繼續(xù)行進(jìn)1.5km、4.5km時(shí)，兩人相距多少？ 復(fù)習(xí)引入：新授：1平面向量的直角坐標(biāo)(1)坐標(biāo)基底向量O j yix圖7-16設(shè)在平面上已經(jīng)建立了一個(gè)直角坐標(biāo)系xOy方向?yàn)閤軸正向的單位向量i、方向?yàn)閥軸正向的單位向量j叫做該坐標(biāo)

16、系的坐標(biāo)基底向量(見(jiàn)圖9-16)(2)平面向量的直角坐標(biāo)在坐標(biāo)平面上給定了向量 a，平移其始點(diǎn)到原點(diǎn)后(見(jiàn)圖7-17)，設(shè)其終點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y)把(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作 a=(x,y) 若向量a的坐標(biāo)為(x,y)，則其?？梢杂米鴺?biāo)表示為 |a|= (7-2-1)OajAyix圖7-17xiyjxiyj 坐標(biāo)基底向量也有其坐標(biāo)，分別是i=(1,0), j=(0,1) 以原點(diǎn)O為始點(diǎn)、點(diǎn)A在x,y軸上的投影為終點(diǎn)，是兩個(gè)分別平行于i, j的向量，根據(jù)向量加法定義，有 a=xi+yj， (7-2-2)即有了向量的坐標(biāo)，我們可以把它分解成坐標(biāo)基底向量的組合 因?yàn)樽鴺?biāo)基底向量也是自由的，你

17、也可以不平移a，直接在a上作分解(見(jiàn)圖7-17)例如從圖7-18，我們就可以直接看出=i-2j =(1,-2)課內(nèi)練習(xí)1 xyOBDPCAEF圖9-18 1. 寫出圖9-18中向量,的坐標(biāo)，并求它們的模 2. 向量關(guān)系的坐標(biāo)表示 向量之間有相等、相反、平行(共線)等關(guān)系當(dāng)知道了向量的坐標(biāo)后，這些共線的判定就變得十分簡(jiǎn)單 (1)相等：若a=(a1,b1),b=(a2,b2)，則 a=b Û a1=a2, b1=b2即兩個(gè)相等向量的坐標(biāo)相等，坐標(biāo)相等的向量相等 (2)相反：若a=(a1,b1),b=(a2,b2)，則OaA yx圖7-19bBA1B1a1a2b1b2 a=-b Û

18、; a1=-a2, b1=-b2即兩個(gè)相凡向量的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)地互為相反數(shù)；坐標(biāo)對(duì)應(yīng)互為相反數(shù)的向量相反 (3)平行(共線)：向量a=(a1,b1),b=(a2,b2)平行 Û 移a,b的始點(diǎn)到原點(diǎn)后，它們的終點(diǎn)A,B與原點(diǎn)共線 Û DOA1ADOB1B(見(jiàn)圖7-19) Û 所以兩個(gè)向量的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例，則它們平行；平行向量的坐標(biāo)必定對(duì)應(yīng)成比例 例1 已知向量a=(2,-1)，當(dāng)x為多少時(shí)，向量b=(x,2)與a平行？ 解 a/b Û Û x=-4所以當(dāng)x=-4時(shí)a/b課內(nèi)練習(xí)2 1. 根據(jù)向量坐標(biāo)，判斷下列向量中存在的共線： a=(2,-1), b

19、=(-2, 1), c=(-6, 3), d=(42,-21), e=(2,-1), f=(8,-4), g=(-2,-1) 2. 已知向量a=(9,-4)，當(dāng)y為多少時(shí)，向量b=(-12,y)與a平行？3平面向量運(yùn)算的直角坐標(biāo)表示把向量數(shù)乘、加減法的運(yùn)算法則應(yīng)用于向量對(duì)坐標(biāo)基底的分解式(7-2-2)，即可得向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示(1)數(shù)乘：設(shè)a=(x,y)，即a=xi+yj，b=la，則 b=la=l(xi+yj)=lxi+lyj=(lx,ly)，即 la=l(x,y)=(lx,ly) (7-2-3)即向量a數(shù)乘l后所得向量的坐標(biāo)，是a的縱、橫坐標(biāo)的l倍 (2)加減法：設(shè)a=(a1,b1)，b=

20、(a2,b2)，則 a=a1i+b1j，b=a2i+b2j， a+b=(a1i+b1j)+(a2i+b2j)=(a1+a2)i +(b1+b2)j，即 a+b=(a1+a2, b1+b2) (7-2-4)同理也有a-b=(a1-a2, b1-b2) (7-2-5)x圖7-20yOAB 所以向量a, b的和、差向量的坐標(biāo)，等于a, b的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的和、差 (3)給定始終點(diǎn)的向量的坐標(biāo) 向量a=若已知點(diǎn)A,B在坐標(biāo)A(x1,y1),B(x2,y2)(見(jiàn)圖7-20)，則 =(x1, y1),=(x2, y2)， =-=(x2-x1,y2-y1) (7-2-6) 所以給定了始終點(diǎn)坐標(biāo)的向量的坐標(biāo)，等于終

21、點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)減去始點(diǎn)坐標(biāo)例2 已知a=(1,-2), b=(2,3)，求a + b, a - b, 2a-3bxBxOxDCxAxy圖7-21例3 已知A(1,2), B(-2,1)，求,解 應(yīng)用公式(10-2-6)， =(-2-1,1-2)=(-3,-1)；=(1-(-2),2-1)=(3,1) 例4 已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(1,1), B(2,3), C(-1,4)(見(jiàn)圖7-21)，求頂點(diǎn)D點(diǎn)坐標(biāo)例5 已知A(2,3),B(-2,5),且=2，求C點(diǎn)的坐標(biāo) 例6 某人第一天按圖9-23所示方向、以速度5km/h步行3小時(shí)到達(dá)A處；第二天又按圖9-23所示方向、以速度15km/h騎

22、了3小時(shí)自行車到達(dá)B處問(wèn)B離此人出發(fā)點(diǎn)的直線距離是多少？課內(nèi)練習(xí)2 1. 已知a=(-1,2), b=(2,-2),求a+ b, a - b,-a+2b 2. 已知a=(-2+x,4), b=(-3,-1-y),且a=b,求x,y 3. 根據(jù)下列條件求與的坐標(biāo)： (1)A(-1,0), B(2,-1)；(2)A(-2,1), B(3,1)；(3)A(2,1), B(0,-2)；(4)A(-2,4), B(-3,8) 4. 已知平行四邊形ABCD的A(1,0),B(2,5),C(-1,1),求D點(diǎn)坐標(biāo) 5. 已知A(6,-3),B(3,-5),且= -2，求C點(diǎn)的坐標(biāo) 復(fù)習(xí)引入：新授：1. 向量

23、的數(shù)量積圖7-25(ab)ab (1)平面向量所成的角給定兩個(gè)非零平面向量a,b，移它們的始點(diǎn)到同一點(diǎn)，以表示向量的線段所在直線為始終邊的角，叫做向量a,b所成的角，記作(ab)(見(jiàn)圖7-25)；為了使兩個(gè)非零向量所成的角唯一，規(guī)定0£(ab)£p零向量0與任何向量所成的角認(rèn)為可以任意為了方便有時(shí)也把(ab)叫做向量之間的夾角從向量所成角定義，立即可知 (ab)=0 Û a/b (即a,b共線)；(ab)= p Û a=-b (即a,b互為相反向量)特別地，當(dāng)(ab)=，則我們說(shuō)a與b垂直，記作ab (2)向量的數(shù)量積已知向量a,b，a,b的數(shù)量積是一個(gè)

24、以下式定義的數(shù)量： a×b=|a|b|cos(ab)其中(ab)表示向量a,b之間所成的角向量作為既有方向、又有大小的量，與數(shù)量有著區(qū)別這種區(qū)別在運(yùn)算方面的體現(xiàn)，是向量的有一些運(yùn)算在數(shù)量運(yùn)算中是找不到與之對(duì)應(yīng)的類別的，數(shù)量積就屬于這種運(yùn)算這是因?yàn)橄蛄康臄?shù)量積，反映的是一個(gè)向量與它在另一個(gè)向量方向上投影的積 例1 求下列向量的數(shù)量積： (1)|a|=5,|b|=4, (ab)=，求a×b； (2)a=(3,4),|b|=, (ab)=，求a×b； (3)a=(3,4), b=(-3,-4)，求a×b； (4)a=(1,3)，求a×a； (5)a=

25、0，b=(x,y)，求a×b課內(nèi)練習(xí)1 1. 求下列向量的數(shù)量積： (1)|a|=2,|b|=8, (ab)=，求a×b； (2)a=(1,3),|b|=, (ba)=，求a×b；(3)a=(-3,-2), b=(3,2)，求a×b； (4)a=(5,3)，求a×a； (5)a=(10,y)，b=0，求a×b (3)向量數(shù)量積的基本運(yùn)算法則 根據(jù)向量數(shù)量積的定義，立即可知成立如下運(yùn)算法則： 交換律：a×b=b×a； 數(shù)乘分配率：(la)×b=a×(lb)=l(a×b)，(任意l

26、6;R)； 分配率：(a+b)×c=a×c+b×c例2 設(shè)=(3,-1), |=2, q=()=，求(1)(2)×(3)；(2)(+2)×；(3)(-4)×(+2)課內(nèi)練習(xí)21已知|a|=4, |b|=3，a與b的夾角為，求(2a-b)×(a+2b)2已知A(-1,2),B(1,4)，|=4, q=()=，求(1)×(3)；(2)(2+)×；(3)×(-+2)(4)向量數(shù)量積的基本結(jié)論從向量數(shù)量積的定義，可以得到一些經(jīng)常用到的基本結(jié)論，這些結(jié)論是必須熟記的ab a×b=0；當(dāng)a/b且同

27、向時(shí)，a×b=|a|b|；當(dāng)a/b且方向相反時(shí)，a×b=-|a|b|；a×a=|a|2，所以|a|=；cos(ab)= (7-3-2) 最后一個(gè)公式(9-3-2)對(duì)求向量所成角十分有用例3 已知|a|=4, |b|=5，分別在下列條件下求a×b： (1)a/b；(2)ab例4 已知|a|=2, |b|=4，a b=-6，求(ab)的余弦值課內(nèi)練習(xí)3 1. 已知a/b，|a|=1, |b|2，求 a×b 2. 下述四個(gè)命題中哪些是正確的，哪些是錯(cuò)誤的？并說(shuō)明理由： (1)0×a=0；(2)|a|=a×a；(3)a×b

28、=|a|b|；(4)a×b=|a×b|；(5)|a×b|=|a|b|cos(ab)|； (6)(a×b)(a×b)=(a×a)(b×b)=|a|2|b|2；(7)a/b Û 存在實(shí)數(shù)l，使a×b=l|a|2； (8)(a+b)×(a-b)=|a|2-|b|2；(9)(a+b)×(a-b)=a2-b2 3. 已知|a|=1, |b|=4, a×b=2，求(ab)2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示向量數(shù)量積(9-3-1)是不依賴于坐標(biāo)系的幾何定義，如果在坐標(biāo)

29、平面上討論，把向量數(shù)字化(即求出向量的坐標(biāo))，那末就能以坐標(biāo)計(jì)算來(lái)表示向量的數(shù)量積首先考察坐標(biāo)基底向量i, j的數(shù)量積，有 i×i=1；i×j=j×i=0；j×j=1 (4)現(xiàn)設(shè)向量 a, b的坐標(biāo)為a=(x1,y1), b=(x2,y2)，即 a=x1i+y1j, b=x2i+y2j，則 a·b=(x1i+y1j)·( x2i+y2j)=x1x2i·i+y1y2j·j+x1y2i·j+y1x2j·i，即 a·b=x1x2+y1y2 (7-3-3)這就是說(shuō)，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們坐標(biāo)的的對(duì)應(yīng)乘積的和 以坐標(biāo)表示向量數(shù)量積的基本公式，能得到我們熟知的一些公式：設(shè)a=(x,y)，則a·a=|a|2=x2+y2，即向量模公式|a|=；特別地當(dāng)a=，且起終點(diǎn)坐標(biāo)A(x1,y1),B(x2,y2)為已知時(shí)，由=(x2-x1,y2-y1)，即得 |a|=|=，此即為兩點(diǎn)間的距離例5 求下列向量的數(shù)量