第8章 靜電場中的導體與電介質(zhì)

1、第八章 靜電場中的導體與電介質(zhì)問題8-1 有人說：“某一高壓輸電線的電壓有，因此你不行與之接觸”。這句話是對還是不對？修理工人在高壓輸電線路上是如何工作的？解 這種說法不正確，可以利用空腔導體的靜電屏蔽原理，使修理工人穿上導電性能良好的屏蔽服，電場不會深化到人體，從而可以保證修理工人的平安。8-2 將一個帶電小金屬球與一個不帶電的大金屬球相接觸，小球上的電荷會全部轉(zhuǎn)移到大球上去嗎？解 不會。帶電小金屬球與不帶電的大金屬球相接觸后會達到靜電平衡，內(nèi)部電場強度為零。若小球上的電荷全部轉(zhuǎn)移到大球上去，則兩球組成的整體內(nèi)部電場強度不行能為零。8-3 在高壓電器設(shè)備四周，常圍上一接地的金屬柵網(wǎng)，以保證柵

2、網(wǎng)外的人平安，試說明其道理。解 這是利用空腔導體的靜電屏蔽作用。金屬柵網(wǎng)就是一個金屬殼體，將柵網(wǎng)接地，柵網(wǎng)外部將不受柵網(wǎng)內(nèi)部電場的影響。8-4 在絕緣支柱上放置一閉和的金屬球殼，球殼內(nèi)有一人，當球殼帶電并且電荷越來越多時，他觀看到的球殼表面的電荷面密度、球殼內(nèi)的場強是怎樣的？當一個帶有跟球殼相異電荷的巨大帶電體移近球殼時，此人又將觀看到什么現(xiàn)象？此人處在球殼內(nèi)是否平安？解 帶電金屬球殼由于靜電平衡，電荷分布于球殼表面，當電荷越多，球殼表面的電荷面密度增大，球殼內(nèi)場強為零。當帶有異號電荷的巨大帶電體移近球殼時，會發(fā)生放電現(xiàn)象，由于靜電屏蔽作用，球殼空間電場不受外部空間場強的影響，所以人處于球殼內(nèi)

3、不會有危急。8-5 電介質(zhì)的極化現(xiàn)象和導體的靜電感應(yīng)現(xiàn)象有些什么區(qū)分？ 解 導體的靜電感應(yīng)現(xiàn)象是在外電場作用下導體中的自由電荷作定向運動而使自由電荷重新分布；電介質(zhì)的極化現(xiàn)象是在外電場的作用下介質(zhì)表面產(chǎn)生極化電荷。二者有著實質(zhì)的區(qū)分，靜電感應(yīng)所產(chǎn)生的電荷是導體內(nèi)部的自由電荷，而極化現(xiàn)象中消滅在介質(zhì)表面上的電荷則是束縛電荷；而且它們形成的方式也不同，靜電感應(yīng)是導體內(nèi)部自由電荷的運動，而極化實質(zhì)是電介質(zhì)內(nèi)部電偶極矩的產(chǎn)生。8-6 在下列狀況下，平行平板電容器的電勢差、電荷、電場強度和所貯的能量將如何變化。（1）斷開電源，并使極板間距加倍，此時極板間為真空；（2）斷開電源，并使極板間布滿相對電容率的

4、油；（3）保持電源與電容器兩極相連，使極板間距加倍，此時極板間為真空；（4）保持電源與電容器兩極相連，使極板間布滿相對電容率的油。解 設(shè)最初平行平板電容器的電容為、電勢差為、電荷為、電場強度為、所貯的能量為，我們可以依據(jù)、等來推斷不同狀況下各物理量的變化.（1）斷開電源，極板間距加倍即變?yōu)椋姾刹蛔?，電場強度不變，電勢差，所貯的能量增為.（2）斷開電源，并使極板間布滿相對電容率的油，電荷不變，電場強度減為，電勢差削減為，所貯的能量削減為.（3）保持電源與電容器兩極相連，使極板間距加倍，極板間為真空，電容器電容變?yōu)樵瓉淼囊话?，電勢差不變，電荷削減為原來的一半，電場強度削減為原來的一半，所貯的能量

5、也削減為原來的一半.（4）保持電源與電容器兩極相連，極板間布滿相對電容率的油，電容器的電容為原來的倍，即，電勢差不變，電荷增為原來的倍，所貯的能量增加為原來的倍.8-7 一平行板電容器被一電源充電后，將電源斷開，然后將一厚度為兩極板間距一半的金屬板放在兩極板之間，試問下述各量如何變化？（1）電容；（2）極板上面電荷；（3）極板上的電勢差；（4）極板間的電場強度；（5）電場的能量。解 設(shè)極板間距為，斷開電源后電容器帶電為，插入金屬板達到靜電平衡后，金屬板與電容器極板相對應(yīng)的兩表面分別帶上大小為的異種感應(yīng)電荷。此時的電容器可以看作是兩個帶電為、間距為的平行板電容器的串聯(lián)。則插入金屬板后的電容為，即

6、為原來的兩倍；極板上電荷不變；極板上的電勢差為原來的；極板內(nèi)除金屬板內(nèi)電場強度為零，剩余空間場強不變；電場能量削減為原來的.8-8 假如圓柱形電容器的內(nèi)半徑增大，使兩柱面之間的距離減為原來的一半，此電容器的電容是否增大為原來的兩倍？解 不是.圓柱形電容器電容 ,其中為外半徑，為內(nèi)半徑，設(shè)兩柱面間距為，即，當兩柱面之間的距離減為原來的一半，即，此時.8-9 （1）一個帶電的金屬球殼里布滿了均勻電介質(zhì)，外面是真空，此球殼的電勢是否等于？為什么？（2）若球殼內(nèi)為真空，球殼外是無限大均勻電介質(zhì)，這時球殼的電勢為多少？為球殼上的自由電荷，為球殼半徑，為介質(zhì)的相對電容率。解 （1）此時球殼內(nèi)的電勢等于；（

7、2）若均勻電介質(zhì)布滿球殼外空間，球殼電勢為.8-10 把兩個電容各為和的電容器串聯(lián)后進行充電，然后斷開電源，把它們改成并聯(lián)，問它們的電能是增加還是削減？為什么？解 兩電容器串聯(lián)后電容器等效電容為，小于之前兩電容器的電容，并聯(lián)后兩電容器的等效電容為，大于之前電容器的電容，可見兩電容器并聯(lián)后的等效電容大于串聯(lián)后的等效電容，又由于充電后斷開電源，串聯(lián)與并聯(lián)的兩種狀況電容器電荷總量不變，由可知，改為并聯(lián)之后電能削減。習題8-1 一真空二極管，其主要構(gòu)件是一個半徑的圓柱型陰極和一個套在外、半徑為的同軸圓筒型陽極。陽極電勢比陰極電勢高，陰極和陽極的長均為.假設(shè)電子從陰極射出時的初速度為零,求:(1)該電子

8、到達陽極時所具有的動能和速率；（2）電子剛從陰極射出時所受的力。解 由于二極管內(nèi)圓柱半徑遠遠小于圓柱長（），所以可將兩極看作兩無限長同軸圓柱面，兩極之間的電場呈軸對稱分布。（1）電子從陰極射出，初速度為零，經(jīng)過兩極電場受到電場力的作用，到達陽極時所獲得的動能等于電場力所作的功，即電勢能的削減，所以 此時，電子所具有的速度為 （2）由高斯定理可知，兩極間距離中心軸為的一點處電場強度為 兩極間的電勢差為 其中負號表示陰極電勢比陽極電勢低.由上可知，陰極四周的電場強度為 其中所以電子剛從陰極射出時所受的電場力為 8-2 一導體球半徑為，外罩一半徑為的同心薄導體球殼，外球殼所帶總電荷為，而內(nèi)球的電勢為

9、，求此系統(tǒng)的電勢和電場分布。解 假設(shè)內(nèi)球帶電量為，當達到靜電平衡后，兩球電荷分布如圖所示，由于導體球殼電荷分布呈球?qū)ΨQ，我們可以取半徑為同心球面為高斯面。由高斯定理可得此系統(tǒng)各區(qū)域的電場分布為 利用電勢與電場強度的積分關(guān)系，可得各區(qū)域電勢分布如下：當時 當時 當時 又由題意可得，內(nèi)球的電勢為，即所以內(nèi)球帶電量為 將值帶入到各區(qū)域電場、電勢表達式中可得當時 ，；當時 ， ；當時 ，.8-3 在兩塊面積均為且相互平行帶電薄導體板A、B之間，平行插入兩塊不帶電薄導體板C、D如圖（a），其中A和C、C和D、D和B 的間距均為，已知C、D未插入時，A、B之間的電勢差為.(1) 分析各導體板上的電荷分布，

10、求各區(qū)域的電場強度和電勢差、；（2）用導線將C、D相連后如圖（b），將導線撤去，再求（1）；（3）最終用導線將A、B相連如圖（c），然后斷開，再求（1）.ACDB（a）ACDB（b）ACDB（c）解 (1)依據(jù)靜電平衡條件，設(shè)板A內(nèi)表面帶電為，則平衡后電荷分布如（a）所示，各板間電場為勻強電場且電場強度相同。所以有 （2）用導線將C、D相連后斷開，則，此時電荷分布如圖（b）所示。由于C、D板電勢相等，所以C、D之間電場強度為零，既. 由靜電平衡知，A與C、 D與B相對的表面電荷分布不變，所以這兩個區(qū)域內(nèi)的電勢與場強分布不變，即 (3) 用導線將A、B相連后斷開，則，靜電平衡后電荷分布如圖（c）

11、所示。由于導體板C、D分別所帶的電荷仍不變，即 （1）又由于A、B電勢差為零，即 （2）由（1）（2）式可得，所以C、D之間的電場強度與電勢差為 ，A與C、D與B之間的電場強度和電勢差分別為 ， 8-4 如圖所示,在真空中將半徑為的金屬球接地，在與球心相距為（）處放置一點電荷，不計接地導線上電荷的影響，求金屬球表面上的感應(yīng)電荷總量。解 由題可知，金屬球為等勢體，且電勢為零。設(shè)金屬球表面感應(yīng)電荷總量為，其內(nèi)任意一點的電勢等于球外點電荷與球面上感應(yīng)電荷在球心激發(fā)的電勢的疊加。又感應(yīng)電荷在球心處激發(fā)的電勢為，球外點電荷在球心激發(fā)的電勢為.由上分析可知在球心的電勢為 所以,金屬球表面的感應(yīng)電荷總量為

12、8-5 有一個平板電容器，充電后極板上電荷面密度為，現(xiàn)將兩極板與電源斷開，然后再把相對電容率為的電介質(zhì)插入兩極板之間。此時電介質(zhì)中的和各為多少？解 電容器沖電后斷開電源,插入電介質(zhì), 極板上自由電荷面密度不變,由介質(zhì)中的高斯定理可得介質(zhì)中的電位移矢量大小為其方向由正極板指向負極板.由可得介質(zhì)中的電場強度大小為 其方向也是由正極板指向負極板.8-6 在一半徑為的長直導線外套有氯丁橡膠絕緣護套，護套外半徑為，相對電容率為，設(shè)沿軸線單位長度上導線的電荷密度為，試求介質(zhì)層內(nèi)的和.解 我們可將此導線看作無限長、且自由電荷均勻分布于表面。導線上自由電荷密度為，同時在絕緣介質(zhì)層內(nèi)、外表面分別有極化電荷產(chǎn)生，

13、且呈軸對稱分布。由電荷分布的對稱性，我們可以取與導線同軸、半徑為、長為的圓柱面為高斯面（如圖），由介質(zhì)中的高斯定理有 即 由可得介質(zhì)層內(nèi)的電場強度為8-7 地球和電離層可當作一個球形電容器,它們之間相距約為,試估算地球-電離層系統(tǒng)的電容.設(shè)地球與電離層之間為真空.解 地球相當于球形電容器的內(nèi)殼層，電離層相當于電容器的外殼層，即，由球形電容器電容公式可得 8-8 兩線輸電線的導線半徑為,兩線中心相距.輸電線位于地面上空很高處,因而大地影響可以忽視.求輸電線單位長度的電容.解 由教材8-4節(jié)例4可知兩輸電線的電勢差為 所以，輸電線單位長度的電容為 又導線半徑遠小于兩線間距（），所以 8-9 如圖所

14、示,兩塊相距為的薄金屬板A、B構(gòu)成的空氣平板電容器，被屏蔽在一個金屬盒，金屬盒上、下兩壁與A、B分別相距，金屬板面積為.求:(1)被屏蔽后的電容器電容變?yōu)樵瓉淼膸妆叮唬?）若電容器的一個引腳不慎與金屬屏蔽盒相碰，問此時的電容又為原來的幾倍。 解 （1）薄金屬板A、B與金屬盒一起相當KABABAB于三個電容器串聯(lián)構(gòu)成的一個回路（如圖()），其中為A、B板構(gòu)成, 為A板與金屬盒上壁構(gòu)成, 由B板與金屬盒X下壁構(gòu)成. A、B間的等效電容相當于、串聯(lián)之后再與并聯(lián)所得的電容. 又, 所以, 因此A、B 間的總電容為 即被屏蔽后電容器電容增大為原來的2倍.(2)若電容器的一個引腳不慎與金屬屏蔽盒相碰，相當

15、于或極板短接(如圖（）), 被短接的電容為零. 則總電容為 即被屏蔽后電容器電容增大為原來的3倍.8-10 如圖所示，在點和點之間有五個電容器，其連接如圖所示。（1）求、兩點之間的等效電容；（2）若、之間的電勢差為，求、.解 （1）由電容器的串、并聯(lián)可得之間電容為 之間電容為所以之間電容滿足由上可知，之間等效電容為（2）由于 ，依據(jù)、各處電流相等可知, 所以有 8-11 一片二氧化鈦晶片，其面積為，厚度為，把平行平板電容器的兩極板緊貼在晶片兩側(cè)。求（1）電容器的電容；（2）電容器兩極加上電壓時，極板上的電荷為多少，此時自由電荷和極化電荷的面密度各為多少？（3）求電容器內(nèi)的電場強度。解 (1)二

16、氧化鈦相對電容率為. 將平行板電容器布滿此介質(zhì)后,其電容(2)若在電容器兩極加上電壓，極板上的電荷 此時極板上自由電荷面密度 晶片表面極化電荷面密度為 (3) 電容器內(nèi)的電場強度 8-12 如圖所示，球形電極浮在相對電容率為的油槽中，球的一半浸沒在油中，另一半在空氣中，已知電極所帶凈電荷，問球的上下兩部分各有多少電荷？解 由于球形導體一半浸在油中,一半在空氣中,球面電荷不再是均勻分布,上下兩部分電荷也不相同, 但由于靜電平衡, 導體為一個等勢體, 我們可以將導體球等效為兩個孤立半球電容器的并聯(lián), 這兩個半球電容器分別處于空氣和油中.處于空氣中的上半球的電容為 處于油中的下半球的電容為設(shè)這上、下

17、兩個半球所帶電荷分別為、，則又兩個半球電勢相等，即 由以上兩式可得上下兩半球所帶的電荷分別為8-13 如圖，有一空氣平板電容器極板面積為，間距為，現(xiàn)將該電容器接在端電壓為的電源上充電。當（1）充分電后；（2）然后平行插入一塊面積相同，厚度為，相對電容率為的電介質(zhì)板；（3）將上述電介質(zhì)換為相同大小的導體板時，分別求極板上的電荷，極板間的電場強度和電容器的電容.解 （1）空氣平板電容器電容 將電容器接在電源上充電，兩極板間電勢差等于為電源端電壓. 充電后，極板上的電荷為 極板間電場強度為 (2)插入電介質(zhì)板后, 兩極板間電勢差保持不變, 設(shè)極板上電荷為,則有此時電容器電容為 極板上電荷為 極板間空

18、氣中電場強度為 介質(zhì)中電場強度為 (3)若將介質(zhì)換為導體板, 達到靜電平衡后, 導體為等勢體, 此時的電容器相當于極板間距削減為, 其電容和極板上的電荷分別為 空氣中電場強度為 導體中電場強度為 8-14 如圖所示，在平板電容器中填入兩種介質(zhì)，每一種介質(zhì)各占一半體積。試證其電容為證明 此電容器可視為極板面積均為，分別布滿相對電容率為、的兩個平板電容器的并聯(lián)。這兩個平板電容器的電容分別為所以原平板電容器的電容為 8-15 為了實時檢測紡織品、紙張等材料的厚度（待測材料可視為相對電容率為的電介質(zhì)），通常在生產(chǎn)流水線上設(shè)置如圖所示的傳感裝置，其中A、B為平板電容器的導體極板，為兩極板間的間距。試說明

19、檢測原理，并推出直接測量量電容與間接測量量厚度之間的函數(shù)關(guān)系。假如要檢測銅板等金屬材料的厚度，結(jié)果又將如何？解 將待測材料（厚度為）平行放置于平板電容器兩極板間。由8-13題第（2）問可知，此時電容器的電容與材料厚度之間的關(guān)系式為當我們直接測得電容，由上式即可得到待測材料的厚度以此推斷待測材料是否符合要求。假如要檢測金屬材料的厚度，同樣將材料平行放于電容器兩極板間。由8-13題第（3）問可知，此時電容器的電容與材料厚度之間的關(guān)系為 8-16 有一平行平板電容器，兩極板間被厚度為的聚四氟乙烯薄膜所隔開。求該電容器的額定電壓。解 聚四氟乙烯的擊穿電場強度為, 所以此電容器兩極板間的電場強度應(yīng)滿足, 同時極板間所能承受的最大電壓、即額定電壓的大小為8-17 一空氣平板電容器，空氣層厚，兩極間電壓為，這電容器會被擊穿