2011年天津市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2011年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1（5分）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（）A2+iB2iC1+2iD12i2（5分）設(shè)x，yR，則“x2且y2”是“x2+y24”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件3（5分）閱讀程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出i的值為（）A3B4C5D64（5分）已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為an的前n項和，nN*，則S10的值為（）A110B90C90D1105（5分）在的二項展開式中，x2的系數(shù)為（）ABCD6（5分）如圖，在

2、ABC中，D是邊AC上的點，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，則sinC的值為（）ABCD7（5分）已知，則（）AabcBbacCacbDcab8（5分）對實數(shù)a與b，定義新運算“”：設(shè)函數(shù)f（x）=（x22）（xx2），xR若函數(shù)y=f（x）c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是（）ABCD二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9（5分）一支田徑隊有男運動員48人，女運動員36人，若用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，則抽取男運動員的人數(shù)為10（5分）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則這個幾何體的體積為m311（5分）已知拋物線C

3、的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點，且與圓（x4）2+y2=r2（r0）相切，則r=12（5分）如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且 DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1若CE與圓相切，則CE的長為13（5分）已知集合A=xR|x+3|+|x4|9，B=，則集合AB=14（5分）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，則|+3|的最小值為三、解答題（共6小題，滿分80分）15（13分）已知函數(shù)f（x）=tan（2x+），（1）求f（x）的定義域與最小正周期；（2）設(shè)（0，）

4、，若f（）=2cos2，求的大小16（13分）學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（）求在1次游戲中，（i）摸出3個白球的概率；（ii）獲獎的概率；（）求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）17（13分）如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H平面AA1B1B，且C1H=（1）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角AA1C1B1的正弦值；

5、（3）設(shè)N為棱B1C1的中點，點M在平面AA1B1B內(nèi)，且MN平面A1B1C1，求線段BM的長18（13分）在平面直角坐標系xOy中，點P（a，b）（ab0）為動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點已知F1PF2為等腰三角形（）求橢圓的離心率e；（）設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，M是直線PF2上的點，滿足，求點M的軌跡方程19（14分）已知a0，函數(shù)f（x）=lnxax2，x0（f（x）的圖象連續(xù)不斷）（）當a=時求f（x）的單調(diào)區(qū)間；證明：存在x0（2，+），使f（x0）=f（）；（）若存在均屬于區(qū)間1，3的，且1，使f（）=f（），證明20（14分）已知數(shù)列an與bn滿足：，nN*，

6、且a1=2，a2=4（）求a3，a4，a5的值；（）設(shè)cn=a2n1+a2n+1，nN*，證明：cn是等比數(shù)列；（）設(shè)Sk=a2+a4+a2k，kN*，證明：2011年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1（5分）（2011天津）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（）A2+iB2iC1+2iD12i【分析】要求兩個復(fù)數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，分子和分母上進行復(fù)數(shù)的乘法運算，最后結(jié)果要化簡成最簡形式【解答】解：復(fù)數(shù)=2i故選B2（5分）（2011天津）設(shè)x，yR，則“x2且y2”是“x2+y24”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條

7、件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【分析】由“x2且y2”推出“x2+y24”可證明充分性；由滿足“x2+y24”可舉出反例推翻“x2且y2”，則證明不必要性，綜合可得答案【解答】解：若x2且y2，則x24，y24，所以x2+y28，即x2+y24；若x2+y24，則如（2，2）滿足條件，但不滿足x2且y2所以“x2且y2”是“x2+y24”的充分而不必要條件故選A3（5分）（2011天津）閱讀程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出i的值為（）A3B4C5D6【分析】通過程序框圖的要求，寫出前四次循環(huán)的結(jié)果得到輸出的值【解答】解：該程序框圖是循環(huán)結(jié)構(gòu)經(jīng)第一次循環(huán)得到i=1，a=2；經(jīng)第二次循環(huán)得

8、到i=2，a=5；經(jīng)第三次循環(huán)得到i=3，a=16；經(jīng)第四次循環(huán)得到i=4，a=65滿足判斷框的條件，執(zhí)行是，輸出4故選B4（5分）（2011天津）已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為an的前n項和，nN*，則S10的值為（）A110B90C90D110【分析】通過a7是a3與a9的等比中項，公差為2，求出【解答】解：a7是a3與a9的等比中項，公差為2，所以a72=a3a9，an公差為2，a3=a74d=a7+8，a9=a7+2d=a74，所以a72=（a7+8）（a74），所以a7=8，所以a1=20，所以S10=110故選D5（5分）（2011天津）在的二

9、項展開式中，x2的系數(shù)為（）ABCD【分析】利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數(shù)為2，求出展開式中，x2的系數(shù)，即得答案【解答】解：展開式的通項為Tr+1=（1）r22r6C6rx3r令3r=2得r=1所以項展開式中，x2的系數(shù)為故選C6（5分）（2011天津）如圖，在ABC中，D是邊AC上的點，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，則sinC的值為（）ABCD【分析】根據(jù)題中條件，在ABD中先由余弦定理求出cosA，利用同角關(guān)系可求sinA，利用正弦定理可求sinBDC，然后在BDC中利用正弦定理求解sinC即可【解答】解：設(shè)AB=x，由題意可得AD=x，BD=ABD中，

10、由余弦定理可得sinA=ABD中，由正弦定理可得sinADB=BDC中，由正弦定理可得故選：D7（5分）（2011天津）已知，則（）AabcBbacCacbDcab【分析】比較大小的方法：找1或者0做中介判斷大小，log43.61，log23.41，利用分數(shù)指數(shù)冪的運算法則和對數(shù)的運算法則對c進行化簡，得到1b，再借助于中間值log2進行比較大小，從而得到結(jié)果，【解答】解：log23.41，log43.61，又y=5x是增函數(shù)，ab，=b而log23.4log2log3，ac故acb故選C8（5分）（2011天津）對實數(shù)a與b，定義新運算“”：設(shè)函數(shù)f（x）=（x22）（xx2），xR若函數(shù)y

11、=f（x）c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是（）ABCD【分析】根據(jù)定義的運算法則化簡函數(shù)f（x）=（x22）（xx2）的解析式，并求出f（x）的取值范圍，函數(shù)y=f（x）c的圖象與x軸恰有兩個公共點轉(zhuǎn)化為y=f（x），y=c圖象的交點問題，結(jié)合圖象求得實數(shù)c的取值范圍【解答】解：，函數(shù)f（x）=（x22）（xx2）=，由圖可知，當c函數(shù)f（x） 與y=c的圖象有兩個公共點，c的取值范圍是 ，故選B二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9（5分）（2011天津）一支田徑隊有男運動員48人，女運動員36人，若用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，則

12、抽取男運動員的人數(shù)為12【分析】根據(jù)田徑隊的男女運動員數(shù)目和用分層抽樣要抽取的數(shù)目，得到每個個體被抽到的概率，利用每個個體被抽到的概率乘以男運動員的數(shù)目，得到結(jié)果【解答】解：田徑隊有男運動員48人，女運動員36人，這支田徑隊共有48+36=84人，用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，每個個體被抽到的概率是，田徑隊有男運動員48人，男運動員要抽取48×=12人，故答案為：1210（5分）（2011天津）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則這個幾何體的體積為6+m3【分析】由已知中的三視圖，我們易判斷已知中幾何體的形狀，然后根據(jù)已知的三視圖分析出幾何體的相

13、關(guān)幾何量，代入體積公式，即可求出該幾何體的體積【解答】解：由已知可得已知的幾何體是一個圓錐和長方體的組合體其中上部的圓錐的底面直徑為2，高為3，下部的長方體長、寬高分別為：2，3，1則V圓錐=3=V長方體=1×2×3=6則V=6+故答案為：6+11（5分）（2011天津）已知拋物線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點，且與圓（x4）2+y2=r2（r0）相切，則r=【分析】由拋物線C的參數(shù)方程為我們易求出拋物線的標準方程，進而根據(jù)斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點，且與圓（x4）2+y2=r2（r0）相切，我們根據(jù)直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于

14、半徑，求出直線方程后，代入點到直線距離公式，構(gòu)造關(guān)于r的方程，解方程即可得到答案【解答】解：拋物線C的參數(shù)方程為則拋物線的標準方程為：y2=8x則拋物線C的焦點的坐標為（2，0）又斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點則直線的方程為y=x2，即經(jīng)xy2=0由直線與圓（x4）2+y2=r2，則r=故答案為：12（5分）（2011天津）如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且 DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1若CE與圓相切，則CE的長為【分析】設(shè)出AF=4k，BF=2k，BE=k，由DFFC=AFBF求出k的值，利用切割定理求出CE【解答】解：設(shè)AF=4k，BF=2k

15、，BE=k，由DFFC=AFBF，得2=8k2，即k=，AF=2，BF=1，BE=，AE=，由切割定理得CE2=BEEA=，CE=13（5分）（2011天津）已知集合A=xR|x+3|+|x4|9，B=，則集合AB=x|2x5【分析】求出集合A，求出集合B，然后利用集合的運算法則求出AB【解答】解：集合A=xR|x+3|+|x4|9，所以A=x|4x5；集合，當且僅當t=時取等號，所以B=x|x2，所以AB=x|4x5x|x2=x|2x5，故答案為：x|2x514（5分）（2011天津）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，則|+3

16、|的最小值為5【分析】根據(jù)題意，利用解析法求解，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標系，則A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），設(shè)P（0，b）（0ba），求出，根據(jù)向量模的計算公式，即可求得，利用完全平方式非負，即可求得其最小值【解答】解：如圖，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標系，則A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）設(shè)P（0，b）（0ba）則=（2，b），=（1，ab），=（5，3a4b）=5故答案為5三、解答題（共6小題，滿分80分）15（13分）（2011天津）已知函數(shù)f（x）=tan（2x+），（1）求f（x）的定義域與最小正

17、周期；（2）設(shè)（0，），若f（）=2cos2，求的大小【分析】（）利用正切函數(shù)的定義域求出函數(shù)的定義域，利用周期公式求出最小正周期；（）通過，化簡表達式，結(jié)合（0，），求出的大小【解答】解：（）由2x+k，kZ所以x，kZ所以f（x）的定義域為：f（x）的最小正周期為：（）由得tan（）=2cos2，整理得 因為（0，），所以sin+cos0 因此（cossin）2=即sin2=因為（0，），所以=16（13分）（2011天津）學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的

18、白球不少于2個，則獲獎（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（）求在1次游戲中，（i）摸出3個白球的概率；（ii）獲獎的概率；（）求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）【分析】（I）（i）甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，事件數(shù)是C52C32，摸出3個白球事件數(shù)為C32C21C21；由古典概型公式，代入數(shù)據(jù)得到結(jié)果，（ii）獲獎包含摸出2個白球和摸出3個白球，且它們互斥，根據(jù)（i）求出摸出2個白球的概率，再相加即可求得結(jié)果，注意運算要正確，因為第二問要用本問的結(jié)果（II）連在2次游戲中獲獎次數(shù)X的

19、取值是0、1、2，根據(jù)上面的結(jié)果，代入公式得到結(jié)果，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望【解答】解：（）（i）設(shè)“在一次游戲中摸出i個白球”為事件Ai（i=，0，1，2，3），則P（A3）=，（ii）設(shè)“在一次游戲中獲獎”為事件B，則B=A2A3，又P（A2）=，且A2、A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=；（）由題意可知X的所有可能取值為0，1，2P（X=0）=（1）2=，P（X=1）=C21（1）=，P（X=2）=（）2=，所以X的分布列是X012pX的數(shù)學(xué)期望E（X）=0×17（13分）（2011天津）如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1

20、=2，C1H平面AA1B1B，且C1H=（1）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角AA1C1B1的正弦值；（3）設(shè)N為棱B1C1的中點，點M在平面AA1B1B內(nèi)，且MN平面A1B1C1，求線段BM的長【分析】方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，點B為坐標原點（）求出中的有關(guān)向量，然后求出異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；（）利用求出平面AA1C1的法向量，通過求出平面A1B1C1的法向量，然后利用求二面角AA1C1B1的正弦值；（）設(shè)N為棱B1C1的中點，設(shè)M（a，b，0），利用MN平面A1B1C1，結(jié)合求出a，b，然后求線段BM的長方法二：（I）說明C1A1B1是異面

21、直線AC與A1B1所成的角，通過解三角形C1A1B1，利用余弦定理，求出異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為（II）連接AC1，過點A作ARA1C1于點R，連接B1R，說明ARB1為二面角AA1C1B1的平面角連接AB1，在ARB1中，通過，求出二面角AA1C1B1的正弦值為（III）首先說明MNA1B1取HB1中點D，連接ND，由于N是棱B1C1中點，推出NDA1B1證明A1B1平面MND，連接MD并延長交A1B1于點E，延長EM交AB于點F，連接NE連接BM，在RtBFM中，求出【解答】方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，點B為坐標原點依題意得（I）解：易得，于是，所以異面直線AC與A

22、1B1所成角的余弦值為（II）解：易知設(shè)平面AA1C1的法向量=（x，y，z），則即不妨令，可得，同樣地，設(shè)平面A1B1C1的法向量=（x，y，z），則即不妨令，可得于是，從而所以二面角AA1C1B的正弦值為（III）解：由N為棱B1C1的中點，得設(shè)M（a，b，0），則由MN平面A1B1C1，得即解得故因此，所以線段BM的長為方法二：（I）解：由于ACA1C1，故C1A1B1是異面直線AC與A1B1所成的角因為C1H平面AA1B1B，又H為正方形AA1B1B的中心，可得A1C1=B1C1=3因此所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為（II）解：連接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1

23、=B1A1，A1C1=A1C1，所以AC1A1B1C1A1，過點A作ARA1C1于點R，連接B1R，于是B1RA1C1，故ARB1為二面角AA1C1B1的平面角在RtA1RB1中，連接AB1，在ARB1中，=，從而所以二面角AA1C1B1的正弦值為（III）解：因為MN平面A1B1C1，所以MNA1B1取HB1中點D，連接ND，由于N是棱B1C1中點，所以NDC1H且又C1H平面AA1B1B，所以ND平面AA1B1B，故NDA1B1又MNND=N，所以A1B1平面MND，連接MD并延長交A1B1于點E，則MEA1B1，故MEAA1由，得，延長EM交AB于點F，可得連接NE在RtENM中，NDM

24、E，故ND2=DEDM所以可得連接BM，在RtBFM中，18（13分）（2011天津）在平面直角坐標系xOy中，點P（a，b）（ab0）為動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點已知F1PF2為等腰三角形（）求橢圓的離心率e；（）設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，M是直線PF2上的點，滿足，求點M的軌跡方程【分析】（）直接利用F1PF2為等腰三角形得|PF2|=|F1F2|，解其對應(yīng)的方程即可求橢圓的離心率e；（）先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求得A，B兩點的坐標，代入，即可求點M的軌跡方程【解答】解：（）設(shè)F1（c，0），F(xiàn)2（c，0）（c0）由題得|PF2|=|F1F2|，即=2c，整理得2

25、+1=0，得=1（舍），或=，所以e=（）由（）知a=2c，b=c，可得橢圓方程為3x2+4y2=12c2，直線方程為y=（xc）A，B的坐標滿足方程組，消y并整理得5x28xc=0，解得x=0，x=，得方程組的解為，不妨設(shè)A（c，c），B（0，c）設(shè)點M的坐標為（x，y），則=（xc，yc），=（x，y+c）由y=（xc）得c=xy ，由=2即（xc）x+（yc）（y+c）=2將代入化簡得18x216xy15=0，y=代入化簡得c=0所以x0，因此點M的軌跡方程為18x216xy15=0 （x0）19（14分）（2011天津）已知a0，函數(shù)f（x）=lnxax2，x0（f（x）的圖象連續(xù)不斷

26、）（）當a=時求f（x）的單調(diào)區(qū)間；證明：存在x0（2，+），使f（x0）=f（）；（）若存在均屬于區(qū)間1，3的，且1，使f（）=f（），證明【分析】（I）將a=代入可得函數(shù)的解析式，求導(dǎo)數(shù)f（x）；在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f（x）0和f（x）0確定的單調(diào)區(qū)間由（I）知f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，在（2，+）內(nèi)單調(diào)遞減令g（x）=f（x）f（）利用函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，得到f（2）f（），即g（2）0最后取x=e2，則g（x）=0從而得到結(jié)論；（II）先由f（）=f（）及（I）的結(jié)論知，從而f（x）在，上的最小值為f（a）再依123建立關(guān)于a的不等關(guān)系即可證得結(jié)論【解答】解：

27、（I）當a=時，f（x）=lnxx2f（x）=x=，x（0，+），令f（x）=0，解得x=2當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表： 所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+）證明：由（I）知f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，在（2，+）內(nèi)單調(diào)遞減令g（x）=f（x）f（）由于f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，故f（2）f（），即g（2）0取x=e2，則g（x）=0所以存在x0（2，x'），使g（x0）=0，即存在x0（2，+），使f（x0）=f（）（II）證明：由f（）=f（）及（I）的結(jié)論知，從而f（x）在，上的最小值為f（a）又由1，1，3，知123故即從而a20（14分）（2011天津）已知數(shù)列an與bn滿