二項式定理及典型試題

1、二項式定理及典型試題知識點一：二項式定理二項式定理:公式右邊的多項式叫做的二項展開式；展開式中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù)；式中的第r+1項叫做二項展開式的通項，用表示；二項展開式的通項公式為.知識點二：二項展開式的特性項數(shù)：有n+1項；次數(shù)：每一項的次數(shù)都是n次，即二項展開式為齊次式；各項組成：從左到右，字母a降冪排列，從n到0；字母b升冪排列，從0到n；系數(shù)：依次為.知識點三：二項式系數(shù)的性質對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等單調性：二項式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值.其中，當n為偶數(shù)時，二項展開式中間一項的二項式系數(shù)最大；當n為奇

2、數(shù)時，二項展開式中間兩項的二項式系數(shù)，相等，且最大.二項式系數(shù)之和為，即其中，二項展開式中各奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，即經(jīng)典例題1、“展開式例1求的展開式；解：原式= =2.求展開式中的項例2.已知在的展開式中，第6項為常數(shù)項.（1） 求n； （2）求含的項的系數(shù)；（3）求展開式中所有的有理項.解：（1）通項為因為第6項為常數(shù)項，所以r=5時，有=0，即n=10.（2）令=2，得所以所求的系數(shù)為.（3）根據(jù)通項公式，由題意令，則，故可以取，即r可以取2，5，8.所以第3項，第6項，第9項為有理項，它們分別為.3.二項展開式中的系數(shù)例3.已知的展開式的二項式系數(shù)和比的展

3、開式的二項式系數(shù)和大992，求的展開式中：（1）二項式系數(shù)最大的項；（2）系數(shù)的絕對值最大的項解：由題意知，所以，解得n=5.（1） (1)由二項式系數(shù)性質，的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大.（2） 設第項的系數(shù)的絕對值最大，得，即，解得.，故系數(shù)的絕對值最大的項是第4項，.4、求兩個二項式乘積的展開式指定冪的系數(shù) 例4的展開式中，項的系數(shù)是 ； 解：在展開式中，的來源有： 第一個因式中取出，則第二個因式必出，其系數(shù)為； 第一個因式中取出1，則第二個因式中必出，其系數(shù)為的系數(shù)應為：填。5、求可化為二項式的三項展開式中指定冪的系數(shù)例5.的展開式中，常數(shù)項是 解：，該式展開后常數(shù)項只有一項，即 6

4、、求中間項例6.求（的展開式的中間項；解：展開式的中間項為 即：。 當為奇數(shù)時，的展開式的中間項是和；當為偶數(shù)時，的展開式的中間項是。7、有理項例7 .的展開式中有理項共有 項；解：當時，所對應的項是有理項。故展開式中有理項有4項。 當一個代數(shù)式各個字母的指數(shù)都是整數(shù)時，那么這個代數(shù)式是有理式； 當一個代數(shù)式中各個字母的指數(shù)不都是整數(shù)（或說是不可約分數(shù)）時，那么這個代數(shù)式是無理式。8、求系數(shù)最大或最小項 (1)特殊的系數(shù)最大或最小問題例8.在二項式的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)是 解：要使項的系數(shù)最小，則必為奇數(shù)，且使為最大，由此得，從而可知最小項的系數(shù)為(2)一般的系數(shù)最大或最小問題例9.求

5、展開式中系數(shù)最大的項； 解：記第項系數(shù)為，設第項系數(shù)最大，則有 又，那么有 即 解得，系數(shù)最大的項為第3項和第4項。（3）系數(shù)絕對值最大的項9、利用“賦值法”及二項式性質3求部分項系數(shù)，二項式系數(shù)和 例10若， 則的值為 ； 解： 令，有， 令，有 故原式=10、利用二項式定理求近似值例11求的近似值，使誤差小于； 分析：因為=，故可以用二項式定理展開計算。 解：= ， 且第3項以后的絕對值都小于， 從第3項起，以后的項都可以忽略不計。 =11. 利用二項式定理證明不等式第卷 一、選擇題：本大題共16小題，每小題5分，共80分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1（08年上海卷1

6、2）組合數(shù)C（nr1，n、rZ）恒等于（ ） AC B(n+1)(r+1)C Cnr C DC2 一次考試中，要求考生從試卷上的9個題目中選6個進行答題，要求至少包含前5個題目中的3個，則考生答題的不同選法的種數(shù)是（ ） A40B74C84D2003以三棱柱的六個頂點中的四個頂點為頂點的三棱錐有（ ） A18個B15個C12個D9個4 從一架鋼琴挑出的十個音鍵中，分別選擇3個，4個，5個，10個鍵同時按下，可發(fā)出和弦，若有一個音鍵不同，則發(fā)出不同的和弦，則這樣的不同的和弦種數(shù)是（ ） A512B968C1013D10245如果的展開式中所有奇數(shù)項的系數(shù)和等于512，則展開式的中間項是（ ） A

7、BCD6用0，3，4，5，6排成無重復字的五位數(shù)，要求偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰，則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是（ ） A36B32 C24D207現(xiàn)有一個堿基A，2個堿基C，3個堿基G，由這6個堿基組成的不同的堿基序列有（ ） A20個B60個C120個D90個8 某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為（ ） A504 B210C336D1209在的展開式中，x3的系數(shù)等于（ ） ABCD10現(xiàn)有男女學生共8人，從男生中選2人，從女生中選1人，分別參加數(shù)理化三科競賽，共有90種不同方案，則男、女生人數(shù)可能是（ ） A2男

8、6女B3男5女C5男3女D6男2女11若xR，nN ，定義x(x1)(x2)(xn1)，例如(5)(4)(3)(2)(1)120，則函數(shù)的奇偶性為（ ）A是偶函數(shù)而不是奇函數(shù) B是奇函數(shù)而不是偶函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)12已知集合A1，2，3，B4，5，6，從A到B的映射f(x)，B中有且僅有2個元素有原象，則這樣的映射個數(shù)為 （ ） A8B9C24D2713有五名學生站成一排照畢業(yè)紀念照，其中甲不排在乙的左邊，又不與乙相鄰，而不同的站法有 （ ） A24種B36種C60種D66種14等腰三角形的三邊均為正數(shù)，它們周長不大于10，這樣不同形狀的三角形的種數(shù)為（ ）

9、A8B9 C10D1115甲、乙、丙三同學在課余時間負責一個計算機房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同學不值周一的班，乙同學不值周六的班，則可以排出不同的值班表有（ ） A36種B42種C50種D72種16若 的值為 （ ）A0B2C1 D1第卷二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分把答案填在橫線上17某電子器件的電路中，在A，B之間有C，D，E，F(xiàn)四個焊點（如圖），如果焊點脫落，則可能導致電路不通今發(fā)現(xiàn)A，B間電路不通，則焊點脫落的不同情況有 種18正整數(shù)a1a2ana2n2a2n1稱為凹數(shù)，如果a1>a2>an，且a2n1>a2n2&g

10、t;>an，其中ai（i1,2,3,）0,1,2,9，請回答三位凹數(shù)a1a2a3（a1a3）共有 個（用數(shù)字作答）19（08年福建卷13）若(x2)5= a5x5+ a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a1+a2+a3+a4+a5=_.(用數(shù)字作答)20一棟7層的樓房備有電梯，在一樓有甲、乙、丙三人進了電梯，則滿足有且僅有一人要上7樓，且甲不在2樓下電梯的所有可能情況種數(shù)有 21已知（x1）6（ax1）2的展開式中，x3的系數(shù)是56，則實數(shù)a的值為 三、解答題：本大題共4小題，共50分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟22將7個相同的小球任意放入四個不同的盒子中，每個盒子都

11、不空，共有多少種不同的方法？ 23已知()n展開式中的倒數(shù)第三項的系數(shù)為45，求： （1）含x3的項； （2）系數(shù)最大的項24規(guī)定其中，為正整數(shù)，且 這是排列數(shù)是正整數(shù)，且的一種推廣 （1）求的值； （2）排列數(shù)的兩個性質：， (其中m，n是正整數(shù))是否都能推廣到是正整數(shù)）的情形？若能推廣，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，則說明理由； （3）確定函數(shù)的單調區(qū)間25一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為等份，種植紅、黃、藍三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花. （1）如圖1，圓環(huán)分成的3等份為，有多少不同的種植方法？如圖2，圓環(huán)分成的4等份為，有多

12、少不同的種植方法？ （2）如圖3，圓環(huán)分成的n等份為，an，有多少不同的種植方法？參考答案一、選擇題題號12345678910111213141516答案DBCBBDBABBADBCBD提示1D 用公式驗證，也可以用特殊值法2B 分三步：200811253C 4B 分8類：5B 中間項為6D 按首位數(shù)字的奇偶性分兩類：7B 分三步：8A 9B 原式10B 設有男生x人，則，檢驗知B正確11A 12D 13B先排甲、乙外的3人，有種排法，再插入甲、乙兩人，有種方法，又甲排乙的左邊和甲排乙的右邊各占 ，故所求不同和站法有14C 共有（1，1，1），（1，2，2），（1，3，3），（1，4，4），（

13、2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，4，4），（3，3，3）（3，3，4）10種15B 每人值班2天的排法或減去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有16D 設f(x)()10，則(a0a2a10)2(a1a3a9)2(a0a1a10)(a0a1a2a9a10)f(1)f(1)()10()101。二、填空題1713 按焊點脫落個數(shù)為1，2，3，4分四類，有18240 1931 設f(x)(x2)5=a5x5+ a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則f(1)(12)5= a5+ a4+a3+a2+a1+a01, 又，a0（2)532故a1+a2+a

14、3+a4+a5=312065 分二類：第一類，甲上7樓，有52種；第二類：甲不上7樓，有4×2×5種，共有524×2×565種211或6 項的系數(shù)為三、解答題22解法1：7111411231222，分三類，共有分法解法2（隔板法）：將7個小球排成一排，插入3塊隔板，故共有分法23解：由題設知系數(shù)最大的項為中間項，即 24解：（）； （）性質、均可推廣，推廣的形式分別是：， 事實上，在中，當時，左邊， 右邊，等式成立；當時，左邊， 因此，成立；在中，當時，左邊右邊，等式成立；當時，左邊右邊，因此 成立。 （）先求導數(shù)，得.令>0，解得x<或 x>.因此，當時，函數(shù)為增函數(shù)， 當時，函數(shù)也為增函數(shù)。令<0，解得<x<.因此，當時，函數(shù)為減函數(shù). 所以，函數(shù)的增區(qū)間為， ；函數(shù)的減區(qū)間為 25解：（1）如圖1，先對a1部分種植，有3種不同的種法，再對a2、a3種植，因為a2、a3與a1不同顏色，a2、a3也不同. 所以S（3）=3×2=6（種） 如圖2，S（4）=3×2×2×2S（3）=18（種） 如圖3，