165幾個(gè)初等模型

1、§16.5幾個(gè)初等模型 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 能表述導(dǎo)彈核武器競(jìng)賽的數(shù)學(xué)模型；2 能表述市場(chǎng)平衡問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型；3 會(huì)用奇偶校驗(yàn)法解決鋪瓷磚問(wèn)題；4 了解工廠地址選擇的數(shù)學(xué)模型；5 能表述動(dòng)物體形問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。一、導(dǎo)彈核武器競(jìng)賽 美國(guó)和前蘇聯(lián)都深感自己需要一定數(shù)量的洲際彈道導(dǎo)彈，以對(duì)付對(duì)方的“核訛詐”,其基本想法是當(dāng)自己在遭到對(duì)方的突然襲擊后能有足夠的導(dǎo)彈幸存下來(lái)，以便給予對(duì)方以“致命打擊”. 為此雙方展開(kāi)了一場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng),方法有: (1)努力增加自己的核武器，從數(shù)量上壓倒對(duì)方.但這樣作下去雙方都感到負(fù)擔(dān)過(guò)重. (2)引進(jìn)反彈道導(dǎo)彈和多彈頭導(dǎo)彈. (3)加固導(dǎo)彈庫(kù)或建造核潛艇來(lái)保護(hù)導(dǎo)彈,使之不易受

2、到攻擊. 究竟用什么方法為好,在對(duì)方采取不同的策略時(shí),自己又將如何對(duì)付？為此展開(kāi)了一場(chǎng)激烈的軍備競(jìng)賽.由于核武器種類(lèi)繁多，性能各異,問(wèn)題比較復(fù)雜，所知信息又少。因此下面建立一個(gè)簡(jiǎn)單的圖解模型，以便幫助闡明其中某些問(wèn)題. 把討論的兩國(guó)稱(chēng)為甲方和乙方.用x,y分別表示甲方和乙方擁有的導(dǎo)彈數(shù).由于x,y很大,把x和y看作實(shí)數(shù). 假設(shè)兩方擁有的導(dǎo)彈相同，而且具有同等的防護(hù)能力. 甲方為了安全，其擁有的核彈頭數(shù)x要隨乙方的彈頭數(shù)y的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)?？梢约僭O(shè)存在增函數(shù)f,當(dāng)x>f(y)時(shí)甲方才感到安全,x=f(y)稱(chēng)為甲方的安全線,同樣y=g(x)是乙方的安全線,即當(dāng)y>g(x)時(shí)乙方才感到安全.

3、圖1610乙方安全區(qū)甲方安全區(qū)B0CA由圖1610可知甲方的安全區(qū)和乙方的安全區(qū).二者的公共部分雙方都感到安全，即軍備競(jìng)賽的穩(wěn)定區(qū)域(圖中陰影部分).兩條安全線的交點(diǎn)為競(jìng)爭(zhēng)的平衡點(diǎn)。問(wèn)題在于當(dāng)?shù)谝淮未驌舨豢赡艽輾?duì)方的假設(shè)下，這樣的穩(wěn)定區(qū)域存在嗎？換言之，兩條單調(diào)增加的曲線x=f(y)和y=g(x)相交嗎？這要求證明并進(jìn)而討論,當(dāng)反導(dǎo)彈和多彈頭導(dǎo)彈這類(lèi)武器出現(xiàn)時(shí)，對(duì)于平衡點(diǎn)A()將產(chǎn)生什么影響？ 為了證明x=f(y)和y=g(x)相交,我們采用如下方法:證明從原點(diǎn)出發(fā)的任一直線y=rx(r>0)必與曲線x=f(y)相交,其中x=f(y)從(,0)開(kāi)始，以遞增到無(wú)窮的斜率向上彎曲.0 Y

4、= rxxY因?yàn)椴徽撘曳綋碛械暮藦楊^數(shù)y是甲方的多少倍(如r倍,r可以充分大),都不能一次毀滅甲方，也就是說(shuō)在乙方y(tǒng)=rx枚核彈頭的襲擊下,甲方一枚彈頭保存下來(lái)的概率p(r)仍然大于零(盡管可以很小),那么甲方只需要擁有 枚彈頭,就可以感到安全.正是直線y=rx和曲線x=f(y)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以y=rx與甲方安全線x=f(y)相交.如圖16-11所示.同理,y=rx必與曲線y=g(x)相交.y=g(x)從 圖1611(0,y)開(kāi)始,起斜率遞減到零.這樣曲線x=f(y)與y=g(x)相交于A()點(diǎn),這是x和y的最小穩(wěn)定值. 下面我們要討論，如果某一方使用加固導(dǎo)彈庫(kù),反彈道導(dǎo)彈或其他一些手段,兩

5、條安全曲線和穩(wěn)定點(diǎn)A()將如何變化呢? 如果甲方由于使用加固導(dǎo)彈庫(kù),反彈道導(dǎo)彈或其他一些手段，則它的導(dǎo)彈更不容易遭受突然襲擊，這將使甲方任一枚導(dǎo)彈逃脫突然襲擊的概率p(r)增大，所以曲線f(y)向左移動(dòng)，在圖16-10中用虛線表示.點(diǎn)不變,此時(shí)曲線的形狀稍有改變.為了保持穩(wěn)定，雙方只需要更少的導(dǎo)彈，穩(wěn)定點(diǎn)為B. 如果甲方用某種設(shè)施，例如反彈道導(dǎo)彈來(lái)防護(hù)它的城市，這時(shí)乙方要對(duì)甲方進(jìn)行致命的打擊，就需要比更多的導(dǎo)彈，于是g(x)向上移動(dòng).在圖16-10中用“ ”線表示.我們可以看出，要保持穩(wěn)定，雙方都需要更多的導(dǎo)彈，穩(wěn)定點(diǎn)為C.圖1612BAyxx=f(y) 0如果使用多彈頭導(dǎo)彈，此時(shí)情況將變得更

6、加復(fù)雜.例如,甲方將它的每枚導(dǎo)彈的單彈頭改裝為N個(gè)彈頭,那么它所需要的能逃脫偷襲的導(dǎo)彈數(shù)可以更少些(需要的數(shù)大約是).這樣x=f(y)就向左移動(dòng)。乙方在一次被偷襲中將面臨N倍之多的彈頭.所以，從乙方的觀點(diǎn)來(lái)看，X軸的比例尺變化了一個(gè)因子N，因而乙方將要更多的導(dǎo)彈。曲線g(x)將向上移動(dòng).由圖2.10可知,甲方需要的導(dǎo)彈比原來(lái)要少些.至于曲線彎曲形狀變化的細(xì)節(jié)，應(yīng)該用概率模型來(lái)代替圖解模型，或者把二者結(jié)合起來(lái)，這就要求對(duì)導(dǎo)彈的效能作出更精確的假設(shè)，在此不作討論.二、市場(chǎng)平衡問(wèn)題市場(chǎng)供求關(guān)系是非常復(fù)雜的問(wèn)題,這里假定市場(chǎng)受自由競(jìng)爭(zhēng)的的供求關(guān)系所調(diào)節(jié)來(lái)討論市場(chǎng)平衡問(wèn)題.站在消費(fèi)者的角度,如果市場(chǎng)上某

7、種商品多價(jià)格低就愿意多買(mǎi),反之就少買(mǎi),然而站在生產(chǎn)者角度,價(jià)格低利潤(rùn)少就少生產(chǎn).這樣就造成市場(chǎng)上商品缺乏,價(jià)格上漲.對(duì)有利可圖的商品各廠家又競(jìng)相增加生產(chǎn)，這樣下去又會(huì)出現(xiàn)商品過(guò)剩,價(jià)格下跌,因此在市場(chǎng)上會(huì)出現(xiàn)價(jià)格忽高忽低,商品時(shí)多時(shí)少的現(xiàn)象,那么什么情況下市場(chǎng)趨與穩(wěn)定?什么情況下市場(chǎng)出現(xiàn)波動(dòng),政府應(yīng)該采取什么措施制止這種狀態(tài)繼續(xù)蔓延呢?問(wèn)題相當(dāng)復(fù)雜，這里只做定性討論.記Q表示產(chǎn)品數(shù)量,P表示產(chǎn)品價(jià)格.由消費(fèi)者所確定的需求曲線D是單調(diào)下降的.由生產(chǎn)者所確定的供應(yīng)曲線P是單調(diào)增加的.如圖1613所示.要討論的是:在什么情況下,市場(chǎng)的供求關(guān)系平衡? 設(shè)供應(yīng)曲線P上任意一點(diǎn)a出發(fā),按需求曲線D成交的價(jià)

8、格應(yīng)是(消費(fèi)者認(rèn)為,東西多,價(jià)格應(yīng)便宜，即而一旦價(jià)格降到，生產(chǎn)者就要將產(chǎn)量由降到，即(因價(jià)格低，生產(chǎn)者認(rèn)為利潤(rùn)太少而減少產(chǎn)量)，對(duì)于消費(fèi)者來(lái)說(shuō)，產(chǎn)量很少，對(duì)應(yīng)價(jià)格應(yīng)為，即價(jià)格上升，生產(chǎn)者利潤(rùn)增加而增加產(chǎn)量，如此下去有顯然供求關(guān)系將趨向于曲線P與曲線D的交點(diǎn)平衡點(diǎn)A 圖1613 圖1614 但是，如果供應(yīng)曲線P與需求曲線D如圖1614那樣，那么市場(chǎng)供求關(guān)系變化的結(jié)果不趨向于平衡點(diǎn)，而是越來(lái)越偏離它當(dāng)然，也有可能產(chǎn)生供求關(guān)系產(chǎn)生循環(huán)的現(xiàn)象，如圖1615所示由上可知：供求關(guān)系有時(shí)趨向于平衡點(diǎn)，有時(shí)偏離平衡點(diǎn)那么，供求關(guān)系趨向于平衡點(diǎn)還是偏離于平衡點(diǎn)有何規(guī)律，主要由什么因素決定呢？由圖1613和圖16

9、14可以看出，當(dāng)需求曲線D的斜率的絕對(duì)值小于供應(yīng)曲線P的斜率時(shí)，市場(chǎng)趨于平衡，反之則不平衡通常，由于原料價(jià)格比較穩(wěn)定，設(shè)備使用時(shí)間較長(zhǎng)，大生產(chǎn)比較穩(wěn)定等各方面的原因，供應(yīng)曲線P的變化是不大的而需求曲線D會(huì)有改變(價(jià)格便宜，顧客多買(mǎi)，價(jià)格昂貴，顧客少買(mǎi))要使供求關(guān)系趨向于平衡，就要求曲線D平坦些直觀上看，D平坦就表示消費(fèi)者對(duì)市場(chǎng)很敏感(價(jià)格降低一點(diǎn)，就購(gòu)買(mǎi)許多商品)為了使供求關(guān)系趨于平衡，有時(shí)需要政府一定的干預(yù)，采取通貨緊縮，限制消費(fèi)者手中不能有太多的錢(qián) 圖1615 圖1616P 如果產(chǎn)品的成本增加了，那么增加這部分成本是由生產(chǎn)者承擔(dān)呢？還是由顧客承擔(dān)呢？先介紹邊際成本這個(gè)概念，多生產(chǎn)一件產(chǎn)品需

10、要增添的成本稱(chēng)為邊際成本增添的收入稱(chēng)為邊際收入如果邊際成本增加了，將有多少轉(zhuǎn)嫁給用戶為好呢？在圖1616中虛線表示邊際成本增加后的供應(yīng)曲線(邊際成本曲線)當(dāng)需求曲線比較平坦時(shí)（如需求曲線）,生產(chǎn)者所需負(fù)擔(dān)的成本增加部分要大些,如圖1616所示.此時(shí)，生產(chǎn)者負(fù)擔(dān),用戶負(fù)擔(dān).平坦的需求曲線表示用戶對(duì)價(jià)格非常敏感.如果用戶對(duì)價(jià)格不敏感(需求曲線比較陡峻,如曲線D),此時(shí)生產(chǎn)者可以少負(fù)擔(dān)一部分費(fèi)用(部分),而把大部分增加的費(fèi)用轉(zhuǎn)嫁給用戶(部分).在社會(huì)實(shí)踐中,有許多事情比較復(fù)雜,開(kāi)初對(duì)其所知信息甚少.此時(shí)可用圖解法先做定性討論,摸出一些規(guī)律,獲得新的信息.然后在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步深入調(diào)查研究，掌握更多的

11、資料,使問(wèn)題的討論往數(shù)量化方向發(fā)展,有時(shí)定性和定量討論可以同時(shí)進(jìn)行,以幫助分析.只有這樣對(duì)事物的認(rèn)識(shí)才能準(zhǔn)確、深刻.三、鋪瓷磚問(wèn)題 要用40塊方形瓷磚鋪設(shè)如圖16-17所示圖形的地面,但當(dāng)時(shí)商店只有長(zhǎng)方形瓷磚,每塊大小等于方形的兩塊.一人買(mǎi)了20塊長(zhǎng)方形瓷磚，試著鋪地面,結(jié)果弄來(lái)弄去始終無(wú)法完整鋪好. 問(wèn)題在于用20塊長(zhǎng)方形瓷磚正好鋪成圖16-17所示的地面的可能性是否存在?只有可能性存在才談得上用什么方法鋪的問(wèn)題. 圖1617 為此,在圖16-17上白、黑相間的染色.然后仔細(xì)觀察,發(fā)現(xiàn)共有19個(gè)白格和21個(gè)黑格.一塊長(zhǎng)方形瓷磚可蓋住一白一黑兩格,所以鋪上19塊長(zhǎng)方形瓷磚.(無(wú)論用什么方法),

12、總要剩下2個(gè)黑格沒(méi)有鋪.而一塊長(zhǎng)方形瓷磚是無(wú)法蓋住2個(gè)黑格的,唯一的辦法是把最后一塊瓷磚一斷為二. 解決鋪瓷磚問(wèn)題中所用方法在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為“奇偶校驗(yàn)”,即是如果兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)或偶數(shù)，則稱(chēng)具有相同的奇偶性.如果一個(gè)數(shù)是奇數(shù),另一個(gè)數(shù)是偶數(shù),則稱(chēng)具有相反的奇偶性.在組合幾何中會(huì)經(jīng)常遇到類(lèi)似的問(wèn)題. 在鋪瓷磚問(wèn)題中,同色的兩個(gè)格子具有相同的奇偶性,異色的兩個(gè)格子具有相反的奇偶性長(zhǎng)方形瓷磚顯然只能覆蓋具有相反奇偶性的一對(duì)方格.因此，把19塊長(zhǎng)方形瓷磚在地面上鋪好后,只有在剩下的兩個(gè)方格具有相反的奇偶性時(shí),才有可能把最后一塊長(zhǎng)方形瓷磚鋪上.由于剩下的兩個(gè)方格具有相同的奇偶性,因此無(wú)法鋪上最后一塊長(zhǎng)方形瓷磚

13、這就從理論上證明了用20塊長(zhǎng)方形瓷磚鋪好如圖16-17所示地面是不可能的.任何改變鋪設(shè)方式的努力都是徒勞的.數(shù)學(xué)中許多的著名的不可能的證明都要用到奇偶校驗(yàn),例如歐幾里德證明著名的結(jié)論是無(wú)理數(shù)，就是用的奇偶性(讀者不妨自己動(dòng)手做一下).奇偶校驗(yàn)在粒子物理學(xué)也有很重要的作用，1957年美籍華人楊振寧和李政道推翻了“宇稱(chēng)守恒定理”，由此獲得了諾貝爾獎(jiǎng)，其中就是運(yùn)用了奇偶校驗(yàn)方法。由上可以看出,奇偶校驗(yàn)方法巧妙而簡(jiǎn)單,極富創(chuàng)造力.在估計(jì)事情不可能成立時(shí),可考慮使用奇偶性這一方法來(lái)論證.四、工廠地址選擇的數(shù)學(xué)模型 現(xiàn)代工廠地址的選擇，關(guān)系到工業(yè)布局及經(jīng)濟(jì)效益的重大決策,涉及到經(jīng)濟(jì)和非經(jīng)濟(jì)的多種因素,因此

14、在選址時(shí),應(yīng)對(duì)幾個(gè)被選廠址的各種不同因素的優(yōu)劣進(jìn)行綜合平衡，根據(jù)各種不同的選址標(biāo)準(zhǔn)，選出最佳廠址. 選址時(shí),我們主要考慮兩大類(lèi)因素,一是定量因素，二是定性因素. 定量因素主要是指經(jīng)濟(jì)效益,即考慮工廠的成本和收入.成本包括三個(gè)方面: (1)生產(chǎn)成本:由物料、能源、信息等基本因素所確定. (2)社會(huì)成本:工廠對(duì)環(huán)境的污染應(yīng)賠償?shù)膿p失費(fèi)等. (3)分配成本:工廠把產(chǎn)品發(fā)送到消費(fèi)地點(diǎn),應(yīng)付的運(yùn)輸費(fèi)用及其他周轉(zhuǎn)費(fèi). 生產(chǎn)成本,社會(huì)成本,分配成本與廠址的選擇有直接關(guān)系,對(duì)廠家的成本起決定性的作用.它們可用數(shù)字表示,因而稱(chēng)為定量因素. 廠址的選擇不僅要考慮定量因素,而且還要考慮復(fù)雜的不易定量化的定性因素.如

15、國(guó)家的方針政策,當(dāng)?shù)氐目蒲泻凸I(yè)力量、文化背景和教育情況、生活條件、群眾對(duì)建廠的態(tài)度等.在定性因素中,尤為重要的是國(guó)家的方針政策.比如關(guān)于工業(yè)布局,保護(hù)自然資源,控制城市和旅游區(qū)污染,開(kāi)發(fā)工業(yè)落后地區(qū),大區(qū)工業(yè)配套以及引進(jìn)外資等方面的方針政策,這些因素對(duì)工廠選址往往是極其重要的約束條件. 先決因素(先決條件)是在上述的定量和定性因素中,任何被選地址都必須滿足的若干因素.如戰(zhàn)備需要,工業(yè)布局,某些工業(yè)劃定在特定地區(qū)興辦,某些工業(yè)必須接近原料產(chǎn)地和能源等. 最佳廠址是在滿足先決條件的備選廠址中,按照一定標(biāo)準(zhǔn)挑選出最滿意的廠址. 廠址選擇的準(zhǔn)則數(shù)學(xué)模型如下: 第一類(lèi)為簡(jiǎn)化模型，以工廠投產(chǎn)后年度總支出

16、(年度總成本加均攤的基建費(fèi))為基礎(chǔ)進(jìn)行比較. 假設(shè) (1)在各備選地址建廠,其規(guī)模、經(jīng)濟(jì)壽命期都相同,并且保持均衡生產(chǎn),年產(chǎn)量不變,因而可按年度總成本進(jìn)行比較. (2)在各備選地址建廠基建工期均較短,不考慮基建投資年度分配的差異,因而可以按基建總投資進(jìn)行比較.準(zhǔn)則1 最佳廠址的基建投資年等價(jià)額，年度生產(chǎn)成本，年度分配成本之和最小，即年度總支出最小，經(jīng)濟(jì)效益最高。用V表示基建投資,n表示工廠經(jīng)濟(jì)壽命期(單位 年),s表示經(jīng)濟(jì)壽命期終了時(shí)工廠的殘余價(jià)值,表示工廠滿額生產(chǎn)時(shí)年度生產(chǎn)成本, 表示工廠年度分配成本,i表示基建貸款的年利率.A表示基建投資的年等價(jià)額,即把基建投資加上相應(yīng)的利息，按工廠收益期

17、(經(jīng)濟(jì)壽命期)每年均勻償付的數(shù)額,其計(jì)算公式如下: (1) 準(zhǔn)則1的數(shù)學(xué)模型為 (2)足碼j表示年度總支出是地址j的函數(shù). 年度生產(chǎn)成本包括材料費(fèi),公共服務(wù)費(fèi)(水、電、氣、設(shè)備維修),職工工資,經(jīng)常費(fèi)(管理費(fèi),財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)金及各種雜支),即 =+ (3) 將(2.5)代入(2.4),準(zhǔn)則1的數(shù)學(xué)模型為 (4) 如果由于建廠給社會(huì)帶來(lái)?yè)p失(如占用良田或造成土質(zhì)惡化使農(nóng)業(yè)減產(chǎn)),(4)中還應(yīng)記入社會(huì)成本,由于建廠給社會(huì)帶來(lái)的附加收益(如改善了道路減少了運(yùn)輸費(fèi)),則應(yīng)作為負(fù)值記入社會(huì)成本(4).當(dāng)然，這是從國(guó)家角度考慮,對(duì)于企業(yè)，社會(huì)附加收益并不能收回. 準(zhǔn)則2 最佳廠址是年度總支出和各定性因素保持最佳

18、平衡(即綜合優(yōu)點(diǎn)最大)的廠址. 在備選廠址中,如果定性因素差別很大,就不能忽視.然而定性因素不好比較.為此引入一個(gè)新概念“優(yōu)度”,即分別表示各廠址兩類(lèi)因素在全部備選廠址中的相對(duì)優(yōu)點(diǎn)(相對(duì)價(jià)值).優(yōu)度最小值為零,表示該因素對(duì)比評(píng)價(jià)結(jié)果無(wú)優(yōu)點(diǎn);優(yōu)度最大值為1，表示該因素相對(duì)地具有100%的優(yōu)點(diǎn).分別求出各地兩類(lèi)因素優(yōu)度的加權(quán)和,其加權(quán)值最大的地址為最佳廠址. 令表示第j個(gè)地址定量因素的優(yōu)度, 表示第j個(gè)地址定性因素的優(yōu)度,a表示的權(quán)值,. 準(zhǔn)則2的數(shù)學(xué)模型為 (5) 定量因素優(yōu)度的計(jì)算方法: 如果有n個(gè)備選廠址進(jìn)行比較,則 令表示第j個(gè)廠址相應(yīng)的年度總支出,則其倒數(shù)表示第j個(gè)廠址諸定量因素綜合優(yōu)點(diǎn)

19、的一種絕對(duì)尺度.所以第j個(gè)廠址的定量因素優(yōu)度為 (6) 定性因素優(yōu)度的計(jì)算方法： 根據(jù)各定性因素的相對(duì)重要性，在m個(gè)定性因素中，給予第k個(gè)因素以適當(dāng)?shù)臋?quán)值,并使. 在n個(gè)備選廠址中，給予第j個(gè)廠址的第k個(gè)因素以適當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)，表示該因素在n個(gè)廠址中的相對(duì)優(yōu)點(diǎn)，并使。所以，第j個(gè)廠址的定性因素優(yōu)度為 ， （7） 而 。 將（6）、（7）代入（5），得準(zhǔn)則2的數(shù)學(xué)模型為 （8） 定量因素優(yōu)度計(jì)算舉例。 設(shè)有甲、乙、丙三個(gè)廠址，估計(jì)甲廠的年度總支出=200（萬(wàn)元），乙廠的年度總支出（萬(wàn)元），丙廠的年度總支出(萬(wàn)元)。則其優(yōu)度值分別為 由此可以看出甲廠址的定量因素優(yōu)度值大。 定性因素優(yōu)度計(jì)算舉例。 設(shè)在定

20、性因素中我們考慮：（1）國(guó) 的工業(yè)布局方針政策：（2）當(dāng)?shù)氐纳顥l件好壞；（3）當(dāng)?shù)氐奈幕逃隣顩r；（4）當(dāng)?shù)乜蒲辛α康膹?qiáng)弱。我們分別賦權(quán)值：方針=0.3，生活=0.3，文化教育=0.2，科研=0.2。對(duì)三個(gè)廠址的各定性因素打分如表16-2所示。 表16-2地址 =0.3=0.3=0.2=0.2 123 由此可以看出第三廠址的定性因素優(yōu)度值大。 決策者對(duì)各定性因素所賦予的權(quán)值應(yīng)給定，但對(duì)各項(xiàng)定性因素在給每個(gè)廠址打分時(shí)，各人由于認(rèn)識(shí)不同，打分不一樣。我們可以用體育比賽的評(píng)分方法，將幾個(gè)打分中的最高分和最低分舍去，剩下的中間分?jǐn)?shù)取其平均值作為該項(xiàng)的記分，這樣就比較客觀了。 準(zhǔn)則3 最隹廠址是先決條

21、件下年度總支出最低的廠址。 某地址滿足先決條件時(shí)，其優(yōu)度為1，表示該地址可以作為備選廠址。不滿足先決條件時(shí)，其優(yōu)度為零，表示該地址不能作為備選 廠址，沒(méi)有中間情況。先決條件總優(yōu)度為各個(gè)先決條件優(yōu)度之積。 令表示第j個(gè)地址的先決條件總優(yōu)度（設(shè)有r個(gè)先決條件）。表示第j個(gè)地址第q個(gè)先決條件的優(yōu)度。則 (9)把（9）同（4）結(jié)合起來(lái)，準(zhǔn)則3的數(shù)學(xué)模型為 (10)準(zhǔn)則4 最佳廠址是滿足先決條件下定量因素和定性因素保持最佳平衡的廠址。把（9）同（8）結(jié)合起來(lái)，得準(zhǔn)則4的數(shù)學(xué)模型 (11) （11）是第一類(lèi)選址準(zhǔn)則的完整的表達(dá)式，前面三個(gè)準(zhǔn)則都 是準(zhǔn)則4的特例。 第二類(lèi)為通用模型，在一般情況下，各備選地址

22、的建廠期并不相同，受益有早有晚，在建設(shè)期內(nèi)每年投資分配也不相同，付息不等，投產(chǎn)后生產(chǎn)能力要逐步發(fā)揮。維修費(fèi)逐步增加，加之其它原因，年度總支出是變動(dòng)的。為了與實(shí)際更加接近，我們以工廠在經(jīng)濟(jì)壽命期內(nèi)總受益的現(xiàn)值為基礎(chǔ)進(jìn)行比較。 令T表示基本建設(shè)工期（單位年），V表示基本建設(shè)投資的等價(jià)現(xiàn)值，表示第t年基本建設(shè)投資額。則 (12) 如果在T年內(nèi)每年投資額相同，均為,則（12）式為 (13)令表示工廠第t年總收入，表工廠第t年的總成本，則工廠在經(jīng)濟(jì)壽命期內(nèi)盈利的等 價(jià)現(xiàn)值為 (14)如果 基建費(fèi)年度分配相同，則（14）變?yōu)?(15)在n個(gè)備選 廠址中，第j個(gè)地址的優(yōu)度為 ，并且 。準(zhǔn)則5 最佳廠址在經(jīng)濟(jì)

23、壽命期內(nèi)總受益（盈利）最大。其數(shù)學(xué)模型為 max (16)準(zhǔn)則6 最佳廠址是總受益和定性因素保持最佳平衡的廠址。其數(shù)學(xué)模型為 max （17）準(zhǔn)則7 最佳廠址要求在滿足先決條件下總受益最大。其數(shù)學(xué)模型為 max （18）準(zhǔn)則8 最佳廠址要求在滿足先決條件下總受益和定性因素保持最佳平衡。其數(shù)學(xué)模型為 max （19） 選址總是由大致范圍的普查逐步縮小，直到具體定點(diǎn)，凡不符合先決條件之一者，在選址過(guò)程中被排除，不會(huì)進(jìn)入最后比較之列。所以，上述8個(gè)數(shù)學(xué)模型中，理論上表達(dá)完整的是（10）、（11）、（18）、（19），而實(shí)際應(yīng)用的則是（4）、（8）、（16）、（17）。 過(guò)去有些決策者在選擇工廠地址時(shí)

24、，也權(quán)衡了各種利弊得失，但多是估計(jì)性質(zhì)的。特別是對(duì)于定性因素就更難說(shuō)清兩個(gè)地址的優(yōu)劣比較。以上的選址數(shù)學(xué)模型為決策者選址提供了理論依據(jù)。特別是用優(yōu)度的方法把定性因素?cái)?shù)量化，對(duì)于每個(gè)地址的優(yōu)劣從數(shù)量上有了較精確的區(qū)分，這幫助我們準(zhǔn)確選址，充分發(fā)揮經(jīng)濟(jì)效益起了很好的作用。五、動(dòng)物體形問(wèn)題 研究四足行走動(dòng)物軀干的長(zhǎng)度（不包括頭和尾）與它的體重的關(guān)系，粗略地估計(jì)動(dòng)物的體重，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。例如，生豬收購(gòu)站或屠宰場(chǎng)的工作人員，要精確地測(cè)出生豬的體重是麻煩的，有時(shí)也沒(méi)有那個(gè)必要，常常希望有一個(gè)簡(jiǎn)單而有效的估計(jì)體重的方法。 動(dòng)物的構(gòu)造因種類(lèi)不同而異，各種動(dòng)物的構(gòu)造也相當(dāng)復(fù)雜，因而容易做出非常復(fù)雜的模型，

25、與其陷入復(fù)雜而不可解釋的結(jié)果中，不如使用較粗糙的模型。 將動(dòng)物軀干當(dāng)作一條支撐在四肢末端的撓性梁（圓柱體），在彈性理論中已經(jīng)對(duì)撓性梁作過(guò)充分研究，因而有許多現(xiàn)成的結(jié)果可供使用。 設(shè)動(dòng)物軀干的幾何尺寸如圖1618所示。設(shè)l表示長(zhǎng)度，d表示直徑，A表示橫截面面積，F(xiàn)表示體重，表示動(dòng)物軀干在自身體重作用下的最大撓曲。假設(shè)動(dòng)物軀干為一彈性梁 ，支撐在四肢上，由彈性理論知，最大撓曲滿足 (正比于) （20）因?yàn)?FmAl所以 （21）由此得 （22） 圖1618 表示動(dòng)物軀干的相對(duì)下垂度。 如果太大，四肢將無(wú)法支撐軀干，動(dòng)物的身軀將會(huì)殘廢變形。如果太小，四腳支撐身軀超過(guò)了需要，無(wú)疑是一種浪費(fèi)。由于長(zhǎng)期進(jìn)

26、化的結(jié)果，應(yīng)為一常數(shù)（該常數(shù)因動(dòng)物種類(lèi)而異）。 由（22）式得 （23）即較大的動(dòng)物有較大的身軀。又從FmAl，A,將（23）代入得 （24） 說(shuō)明動(dòng)物的體重與軀干長(zhǎng)度的四次方成正比。當(dāng)我們確定出某種四足動(dòng)物（如生豬）的（24）式的比例系數(shù)后，就能很容易從軀干的長(zhǎng)度估計(jì)出動(dòng)物的體重了。用動(dòng)物軀干長(zhǎng)度粗略地估計(jì)動(dòng)物體重，模型的建立充分地發(fā)揮自己的想象力，大膽地把動(dòng)物軀干與彈性梁聯(lián)系起來(lái)，利用彈性力學(xué)中已有的結(jié)果，使問(wèn)題得以解決。這再一次展示了類(lèi)比法在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的作用。這一方法讀者應(yīng)很好的掌握。習(xí)題16.41在導(dǎo)彈核武器競(jìng)賽模型中，假設(shè)兩國(guó)都 在每枚導(dǎo)彈上安裝N個(gè)彈頭，并假設(shè)新彈頭的威力與舊彈頭相同，試證明兩國(guó)將需要更多的彈頭。2已知