建模-路燈照明問題

1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模路燈照明問題年級(jí)：20121060025班級(jí)：電子信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)生姓名：呂佳琪學(xué)號(hào)：20121060025云南大學(xué)信息學(xué)院路燈照明問題。在一條20m寬的道路兩側(cè)，分別安裝了一只2kw和一只3kw的路燈，它們離地面的高度分別為5m和6m。在漆黑的夜晚，當(dāng)兩只路燈開啟時(shí)，兩只路燈連線的路面上最暗的點(diǎn)和最亮的點(diǎn)在哪里？如果3kw的路燈的高度可以在3m到9m之間變化，如何路面上最暗點(diǎn)的亮度最大？如果兩只路燈的高度均可以在3m到9m之間變化，結(jié)果又如何？摘要本題利用方程（組）模型，求兩只路燈連線的路面上的最暗點(diǎn)和最亮點(diǎn)。查閱資料知：光照強(qiáng)度公式為，根據(jù)題意可建立坐標(biāo)軸，假設(shè)兩只路燈在

2、道路上的照射半徑的長度之和為20m，可得路面上某點(diǎn)的照度為兩只路燈在該點(diǎn)的照度之和。列出方程，利用MATLAB軟件進(jìn)行求解，求出該方程的最值（即最暗點(diǎn)與最亮點(diǎn)及其亮度）。關(guān)鍵詞：路燈照明 方程（組） MATLAB 最值 一、問題重述 在一條20m寬的道路兩側(cè)，分別安裝了一只2kw和一只3kw的路燈，它們離地面的高度分別為5m和6m。在漆黑的夜晚，當(dāng)兩只路燈開啟時(shí)，兩只路燈連線的路面上最暗的點(diǎn)和最亮的點(diǎn)在哪里？如果3kw的路燈的高度可以在3m到9m之間變化，如何路面上最暗點(diǎn)的亮度最大？如果兩只路燈的高度均可以在3m到9m之間變化，結(jié)果又如何？二、模型假設(shè)1.假設(shè)把兩個(gè)路燈視為質(zhì)點(diǎn)；2.假設(shè)忽略對(duì)

3、路燈光照強(qiáng)度其他因素的影響；3.假設(shè)路燈為同一型號(hào)；4.假設(shè)路燈的光照強(qiáng)度；5.假設(shè)把兩只路燈連線的路面視為一條直線；6.假設(shè)兩路燈在路上的照射半徑長度之和為20m；7.假設(shè)路燈正常工作；三、變量說明K路燈光照強(qiáng)度系數(shù)P路燈的功率S道路的寬度i路燈光線與地面的夾角Ri路燈到路面上某點(diǎn)的距離hi路燈離地面的垂直距離X2KW路燈的投影到路面上某點(diǎn)的距離I(X)路面上某點(diǎn)的光照強(qiáng)度Ii路燈光照強(qiáng)度四、問題分析問題一根據(jù)兩路燈間的距離關(guān)系建立坐標(biāo)軸，利用路燈光照強(qiáng)度的計(jì)算公式列出方程，再用MATLAB軟件求解。問題二由于h2的高度可變，在問題一建立的方程的基礎(chǔ)上，先對(duì)X求偏導(dǎo)，再對(duì)h2求偏導(dǎo)，最后用M

4、ATLAB軟件編程求解。問題三因?yàn)閔1和h2的高度都可變，同問題二，依次對(duì)X，h1，h2求偏導(dǎo)。五、模型的建立由題意可得下圖假定路燈光照強(qiáng)度系數(shù)k=1。問題一：由題意得，設(shè)Q(x,0)點(diǎn)為兩盞路燈連線上的任意一點(diǎn)，則兩盞路燈在Q點(diǎn)的照度分別為 Q點(diǎn)的照度： 要求最暗點(diǎn)和最亮點(diǎn)，即求函數(shù)I(x)的最大值和最小值，則可先求出函數(shù)的極值點(diǎn)利用MATLAB求得時(shí)x的值代碼：s=solve(-30*x)/(25+x2)(5/2)+(54*(20-x)/(36+(20-x)2)(5/2);s1=vpa(s,8);s1運(yùn)行結(jié)果：s1 = 19.97669581 9.338299136 8.538304309

5、-11.61579012*i .2848997038e-1 8.538304309+11.61579012*i因?yàn)閤=0，選取出有效的x值后，利用MATLAB求出對(duì)應(yīng)的I(x)的值，如下表：x00.0284899709.338299119.97669520I(x)0.081977160.081981040.018243930.084476550.08447468綜上所述，x=9.33m時(shí)，為最暗點(diǎn)；x=19.97m時(shí)，為最亮點(diǎn)。問題二：3KW的路燈的高度可以在3M到9M之間變化變化時(shí)，Q點(diǎn)的照度為關(guān)于x和h2的二元函數(shù)： 與（1）同理，求出函數(shù)I(x,h2）的極值即為最暗點(diǎn)和最亮點(diǎn) 利用mat

6、lab求x： solve(3/(h2+(20-x)2)(3/2)-3*(3*h2)/(h2+(20-x)2)(5/2)=0) ans = 20+2(1/2)*h 20-2(1/2)*h 即x1=20+2(1/2)*h （舍去） x2=20-2(1/2)*h 利用matlab求解h2solve(-30*(20-2(1/2)*h)/(25+(20-2(1/2)*h)2)(5/2)+9*h*(20-(20-2(1/2)*h)/(h2+(20-(20-2(1/2)*h)2)(5/2)=0) ans = 7.4223928896768612557104509932965 14.1207740985268

7、35657369742179215 因?yàn)閔在3x9之間，所以h2=7.42239m 再利用matlab求解x和亮度I 算法：h=7.42239;x=20-2(1/2)*hI=10/(25+x2)(3/2)+(3*h)/(h2+(20-x)2)(3/2) 結(jié)果： x = 9.5032 I = 0.0186可得，x=9.5032 ，h2=7.42239時(shí)，最暗點(diǎn)的亮度最大，為0.0186w。問題三:如果兩只燈的高度均可在3M到9M之間變化，則I為關(guān)于x,h1,h2的三元函數(shù)，同解可得 =利用matlab求解x，h1，h2的值： 算法：solve(1/(20-x)3)=2/(3*(x3); s1=v

8、pa(s,6); a=(1/sqrt(2)*s1; a1=double(a); b=(1/sqrt(2)*(20-s1); b1=double(b); a1,b1,s1 結(jié)果： a1 = 6.5940 5.1883 +12.0274i 5.1883 -12.0274i b1 = 7.5482 8.9538 -12.0274i 8.9538 +12.0274i s1 = 9.32530 7.33738+17.0093*i 7.33738-17.0093*i可得，h1 =6.5940，h2=7.5482 ，x=9.32530時(shí)，最暗點(diǎn)的亮度最大六、模型評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：通過查閱資料，可得出題中未給出的路燈光照強(qiáng)度計(jì)算公式，問題二、問題三的逐步深入，使得題目較為應(yīng)用化