《復變函數與積分變換》復習研究生2013

1、復變函數與積分變換研究生復習計算題部分一、 填空題1. 若，則材=（P14，兩個復數的商等于它們的模的商；兩個復數的商的輻角等于被除數和除數的輻角之差）2. 復數的指數形式是，幅角主值= 。（P46）3. 復數= ，= （計算過程可見第三題）。（P46）4. 設 解析，則， = 。（P41，柯西。黎曼方程）5. 設C為自原點到的直線段，則積分=（用牛頓-萊布尼茲公式）。6. 級數是 條件收斂 （填發(fā)散、條件收斂或絕對收斂）。7. =。（請分別用柯西積分公式或留數定理計算）8. 設.，則 是可去奇點（選：可去奇點、極點或本性奇點）， = 0 。9. 函數的奇點是（都是一級極點）10. 是 的 本

2、性奇點 （選：可去奇點、極點或本性奇點），= 1 。11. 函數的冪級數展開式是。12. 拉普拉斯變換的定義是。13. 若, 則 。二、 計算1. 說明函數在一點連續(xù)、可導、解析的關系。討論的連續(xù)、可導、解析性。答：函數在一點連續(xù)、可導、解析的關系是：解析可導連續(xù)，反之不成立。 對，設，則，即 。由于都是連續(xù)函數，故在復平面上處處連續(xù)。由于。顯然可微，但只在處滿足柯西-黎曼方程。因此只在處可導，但在復平面上處處不解析。2. 分別求 和 的模、幅角、實部、虛部。解：所以模為 ，幅角4 + 2 k (主值為4 -)，實部、虛部。所以模為 ，幅角 + 2 k (主值為 )，實部 、虛部 。3. 求,

3、解：。其中k = 0時可得相應主值。4. 驗證 是調和函數，并求，使函數為解析函數。解：，因此u是調和函數。下面用偏積分法求v：由，得到；再由，得，所以當時，為解析函數。三、 求下列積分1. ，其中C是從0到的直線段。解：由于z e z 是解析函數，用分部積分法可得2. 其中C是從0到的直線段解：由于被積函數不解析，本題只能沿曲線來計算積分。直線段的參數方程為 z =(2 + i)t ( t從0到1),d z =(2 + i)d t。所以得到3. 設，求（6分）解：所以 進而得 4. 求積分,為不通過的閉曲線.解：當a不在C內時，由柯西-古薩基本定理，得 當a在C內時，由高階導數公式，得 。5

4、. 解：的一級極點有z = 0.5+k，其中在C內。且由法則可求得在各極點處的留數為。故由留數定理得同理； 四. 函數的展開式1. 求在內的羅朗展開。2. 在內的羅朗展開。3. 將函數 展成 z 的羅朗級數，并指出收斂范圍。解：1. 對，因為在內有 ，故在 內有 2. 對，在內時3. 四、 積分變換部分1. 求拉氏變換，。解：2. 求下列函數的拉氏逆變換 , 解: 證明題部分1. 應用棣莫弗公式證明 2. 證明：如果函數在區(qū)域D內解析，且在D內是一個常數， 那么是常數。3. 證明4. 證明如果級數在它的收斂圓的圓周上一點處絕對收斂，則它在收斂圓所圍成的閉區(qū)域上絕對收斂。綜合題部分1. 寫出指數函數，對數函數，冪函數，正弦函數，余弦函數的表達式，并指出它們的特性，例如，解析性（導數是什么），周期性，是否有界等。2. 設函數在處分別有m級及n級零點,試問在處具有什么性質(解析？零點？可去奇點？極點？本性奇點？), 并根據m, n的不同情況求出它們的留數(其中m,n為非負整數)3. 描述什么是洛朗