空間向量知識點歸納總結

1、空間向量與立體幾何知識點歸納總結一.知識要點。1 .空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向線段表示.同向等長的有向線段表示同一或相等 的向量。(2)向量具有平移不變性2 .空間向量的運算。定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下(如r b ra 加B 山。 戕運算律：加法交換律：abba加法結合律：(a b) c a (b c)數(shù)乘分配律：(a b) a b運算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3 .共線向量。(1)如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，a平行于b,記作

2、ab。(2)共線向量定理：空間任意兩個向量a、b (b?0) , a/b存在實數(shù) 入 使a =心。(3)三點共線：A、B、C三點共線<=>AB AC<=> OC xOA yOB其板 y 1)一a(4)與a共線的單位向量為=a4.共面向量(1)定義：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。(2)共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，p與向量a,b共面的條件一， 一 r r r是存在實數(shù)x, y使p xa ybo(3)四點共面：若A、B、C、P四點共面<=>AP xAB yAC<=>OP xOA yOB zO

3、C (其中 x5.空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面,那么對空間任一向araja量p ,存在一個唯一的有序實數(shù)組 x, y, z,使p xa yb zca,br,c 叫a r aa r若三向量ab,c不共面，我們把a,b,c叫做空間的一個基底, 做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底推論：設o,a,b,c是不共面的四點，則對空間任一點 P,都存在唯一的三urnaunauuumua個有序實數(shù)x, y, Z,使OP xOA yOB zOC。6 .空間向量的直角坐標系:(1)空間直角坐標系中的坐標:在空間直角坐標系 O xyz中，對空間任一點A,存在唯一的有序實數(shù)組

4、V*(x, y, z)，使OA xi yi zk ,有序實數(shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標系O xyz中的坐標，記作A(x,y,z), x叫橫坐標，y叫縱坐標，z叫豎坐標。注：點A (x,y,z)關于x軸的的對稱點為(x,-y,-z),關于xoy平面的對稱點 為(x,y,-z).即點關于什么軸/平面對稱，什么坐標不變，其余的分坐標均相反。在y軸上的點設為(0,y,0),在平面yOz中的點設為(0,y,z)(2)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1,這個基底叫單位yj zk= (x,y,z)r r r一 +正交基底，用i, j,k表示?？臻g中任一向量a xi(3)空間向量的直

5、角坐標運算律：rrr r若a(明道2自)，b(匕達心)，則a b(&b?，%4),r rra b (ai n b?© b?), a ( a, a?, a3)(R),r ra b a1bl a2b2 a3b3,r ra/b aibi,a2b2,a3bs(R),r ra ba1bl 32b2 a3b3 0。uur若 A(xi,yi,zi) , Bmz),則 AB d X, y2 *2 4)一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的 坐標減去起點的坐標。定比分點公式：若A(xi,yi,zi), B(x2,y2,z2), ap pB,則點p坐標為('x2

6、yiV2ziz2,i )。推導：設 P ( x,y,z )則(x Xi,y yi,z Zi)依 x，v? y22 z),顯然，當 p為AB中點時，P(Xi X2 yi V2 Zi Z2 ABC中，A (%,丫12),8%，丫2，4)區(qū)，丫3,23),三角形重心P坐標為 P(XiX2X3 yiV2 V3 Zi Z2Z3' ABC的五心:內心P：內切圓的圓心，角平分線的交點。AB AC、AP (尸尸=)(單位向ABAC外心P:外接圓的圓心，中垂線的交點。P.PBPC垂心P:高的交點：PA PB PA PC PB PC(移項，內積為0,則垂直)重心P:中線的交點，三等分點(中位線比)APi

7、-(AB AC) 3中心：正三角形的所有心的合一。rr(4)模長公式：右 a (a,a2,a3) , b (bbh),則1J | VaT Ja； a22 a32 , |b | ,n222* bib2b3r r r a b(5)夾角公式：coS a b 1 丁 r=2lai 1bIaiaibia2b223均-22 r222 °a2a3 blb2b3 ABCAB ?AC 0 <=>A為銳角AB? AC 0 <=>A為鈍角，鈍角(6)兩點間的距離公式：若 A(X), yi, Zi) , B(X2,y2,Z2),uuuuur 2-貝U |AB | VABJ(X2 為)

8、2 (y 丫了 4,或 dA,B(X2 Xi)2 (y2 yi)2 S 4)27 .空間向量的數(shù)量積。r(i)空間向量的夾角及其表不：已知兩非零向量a,b,在空間任取一點o,wo作MB wo rar rr rAOB叫做向量a與b的夾角，記作 a,b ；且規(guī)定r a若*raJr br ,一，一，則稱a與b互相垂直,2cr J一一，r .0a,b,顯然有 a,br記作：a b。(2)uuu向重的模：設OA a ,則有向線段oa的長度叫做向量a的長度或模,記作:|a| 0.r .r r . r r(3)向量的數(shù)量積：已知向量 a, b ,則|a| |b| cos a, b 叫做a,b的r r rr

9、r r r數(shù)量積，記作a b,即 a b|a| |b|cos a,b°(4)空間向量數(shù)量積的性質：rer ar bra o reJ r ar brararara(5)空間向量數(shù)量積運算律：rrrrrrrrrr(a)b(ab)a(b)。 abba(交換律)rJr、rJrra(bc)abac(分配律)。-f -*不滿足乘法結合率：(a b)c a(b c)二.空間向量與立體幾何1.線線平行兩線的方向向量平行1-1線面平行線的方向向量與面的法向量垂直1-2面面平行兩面的法向量平行2線線垂直(共面與異面)兩線的方向向量垂直2-1線面垂直 線與面的法向量平行2-2面面垂直 兩面的法向量垂直3線

10、線夾角 （共面與異面）0O,90O兩線的方向向量ni,nr的夾角或夾角的補角，cos cos n1, n23-1線面夾角0O,90O：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量AP與面的法向量n的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補角；再求其余角，即11是線面的夾角8ncos AP,n3-2面面夾角（二面角）0°,180°:若兩面的法向量一進一出，則二面角等于兩法向量n1,n2的夾角；法向量同進同出，則二面角等于法向量的夾角的補角.cos cos n1,n24.點面距離h :求點P xo,yo到平面的距離：在平面上去一點Q x,y , 一uuuPQ ? n得向量PQ.； 計算平

11、面 的法向量n ;. h =；n4-1線面距離（線面平行）：轉化為點面距離4-2面面距離（面面平行）：轉化為點面距離【典型例題】1 .基本運算與基本知識（）例1.已知平行六面體 ABCDabcd ,化簡下列向量表達式，標出化簡 結果的向量。uur uur AB BC ;uuu uuuruuir(2) AB AD AA ;uur uuur 1 uuuu AB AD - CC ； 21 uuu uuir uuur一(AB AD AA) 3例2.對空間任一點。和不共線的三點A,B,C,問滿足向量式：uuu uuu uuu uuurOP xOA yOB zOC (其中x y z 1)的四點P,A,B,

12、C是否共面?例 3 已知空間三點 A (0, 2, 3) , B ( 2, 1, 6) , C (1, 1, 5)。求以向量AB,AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積 S;若向量a分別與向量AB,AC垂直，且圖=值,求向量a的坐標。2 .基底法(如何找，轉化為基底運算)3 .坐標法(如何建立空間直角坐標系，找坐標)4 .幾何法編號03晚自習測試；17, 18題例4.如圖，在空間四邊形 OAB», OA 8, AB 6, AC 4, BC 5,OAC 45°,OAB 60o,求OA與BC的夾角的余弦值。說明：由圖形知向量的夾角易出錯，如Oa,Ac1350易錯寫成uur uuur

13、OA,AC 45。，切記！例5.長方體ABCD A1B1CR中，AB BC 4, E為Ap1與BR的交點，F(xiàn)為BC1與B1C的交點，又AF BE,求長方體的高BB1?！灸M試題】1.已知空間四邊形ABCD,連結AC,BD,設M,G分別是BC,CD的中點，化簡uur uuu uuurF列各表達式，并標出化筒結果向量：(1) AB BC CD;uuu 1 umr uuuruuur 1 uuu uuu AB 一(BD BC)；(3) AG -(AB AC)。222 .已知平行四邊形ABCD,從平面AC外一點O引向量。uuur uuruuruuu umr uuur uuuruurOE kOAOF kO

14、BQG kOC,OH kOD。(1)求證：四點E,F,G,H共面;(2)平面AC 平面EG。3 .如圖正方體 ABCD ABiCiDi中，BE DR AB一 求BE1與DF1所成角的余4弦。5 .已知平行六面體ABCD ABCD中，AB 4, AD 3, AA 5, BAD 900,BAA DAA 60 o ,求 AC 的長。3.參考答案1.解:如圖,2.uuuuuituuuruuuruuruuur(1)ABBC CD ACCDAD ;uuu1 uuuruuuruur1 uuur1 uuur(2)AB(BD BC)AB-BC BD。222uuuUUUUuuuuuuurABBMMG AG ；uu

15、ur1 uuuuuuruuuruuuu uuuu(3)AG-(AB AC) 2AGAM MG。解：(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，.uuuruuuruuu EGOGOE ,uur AC二 e,f,g,h共面;UUT(2)解：EFUUir uuuOF OE/. EF /AB, EG / AC 。所以，平面AC平面EG。解：不妨設正方體棱長為1,uuuABuuurAD ,uuu uuu uur UULTk(OB OA) k AB ,又 Y EG建立空間直角坐標系O xyzuuurAC3則 B(1,1,0),E1(1,3,1),41D"UUUU二 BE11 UUUU(0,4,1), DF11叼八UULUI二 BE1UUUUDF1174 ，UULUI UUUUBE1 DF1UUUU UULUI cos BE1, DF1, 1 *()4 4151617 171517UUU4.分析：(1) Q AB2,./ BAC