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1、彭山電大教案?jìng)湔n教案第一周 星期五課 題函數(shù)所需課時(shí)2教學(xué)目的理解函數(shù)的概念,掌握函數(shù)的幾何特性,為研究微分做好準(zhǔn)備。掌握基本初等函數(shù)的各種狀態(tài),為研究更深一步的函數(shù)作準(zhǔn)備。重 點(diǎn)函數(shù)的概念,函數(shù)的幾何特性,各種基本初等函數(shù)的性態(tài)。難 點(diǎn)反函數(shù)的理解,分段函數(shù)的理解,復(fù)合函數(shù)的理解。教學(xué)過(guò)程:一、組織教學(xué)點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律二、復(fù)習(xí)引入同學(xué)們就以前學(xué)過(guò)的函數(shù)的知識(shí)談?wù)勛约簩?duì)函數(shù)的理解。三、講授新課一、函數(shù)的概念:1、函數(shù)的定義:1) Def :設(shè)x和y是兩個(gè)變量,D是給定的非空數(shù)集。 若對(duì)于每一個(gè)數(shù) xD,按照某一 確定的對(duì)應(yīng)法則f,變量y總有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng),則稱(chēng)y是x的函數(shù),記作y f
2、(x), x DoNote: (1) x稱(chēng)為自變量,y稱(chēng)為因變量或函數(shù);(2) D稱(chēng)為定義域,記作Df,即Df D;(3) f稱(chēng)為函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則;(4)集合 yy f(x), x D稱(chēng)為值域。當(dāng)自變量x在定義域內(nèi)取定某確定值 x0時(shí),因變量y按照所給函數(shù)關(guān)系求出的對(duì)應(yīng)值yo叫做當(dāng)x= xo時(shí)的函數(shù)值,記作 y x x或f (xo)一 1 x112例 1:已知 f(x),求 f0,f,f x , f, f x 1 , f x1 x22解:f o S 1,f 11 11 0212 3實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔1 x1 x1 x 12x2x例2:求下列函數(shù)的定義域(1)35x2 2x(2).9-7(3)1
3、g 4x(4)arcsin2x(5)1g 4xarcsin 2x 1解:(1)在分式3 5x22x中,分母不能為零,所以l 225x 2x 0 ,解得 x -, 5即定義域?yàn)? ,00,5(2)在偶次方根中,被開(kāi)方式必須大于等于零,所以9 x20,解得3 x域?yàn)?3,3(3)在對(duì)數(shù)式中,真數(shù)必須大于零,所以 4x 33,即定義域?yàn)?(4)0 x(5)反正弦或反余弦中的式子的絕對(duì)值必須小于等于1,所以有 12x 11 ,即定義域?yàn)? ,該函數(shù)為(3) (4)1兩例中函數(shù)的代數(shù)和,此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋?) (4)3即定義3, 41,解得兩例中定,3義域的交集,即 3, 40,13,14小結(jié):定義域
4、的求解原則:,,、人 1,(1)含時(shí),X 0X(2)含 JXM, X 0(3)含 ln X寸,x 0(4)含 arcsinx,arccosx寸,x 1(5)同時(shí)含有上述四種情況的人以?xún)煞N或兩種以上時(shí),要求各部分都成立的交集。2)鄰域:設(shè)a,為兩個(gè)實(shí)數(shù),0 ,則稱(chēng)滿(mǎn)足不等式|x a| 即以a為中心的開(kāi)區(qū)間a , a 為點(diǎn)a的鄰域。點(diǎn)a為該鄰域的中心,為該鄰域的半徑。四、練習(xí):求下列函數(shù)的定義域:(1) f x(2) f x(3) f x(4) f x(5) f x五、歸納小結(jié)3_ 2-5x 2x9 x2lg 4x 3arcsin 2x 1lg 4x 3 arcsin 2x 1本節(jié)主要復(fù)習(xí)了函數(shù)的
5、定義及函數(shù)定義域值域的求法。這部分內(nèi)容的掌握將為我們以 后的繼續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。課后作業(yè):2x2,x 01、求函數(shù)y ln(1 x2)的定義域;2、作函數(shù)f(x)的圖像2x,x 0反思錄:備課教案第二周 星期三課 題函數(shù)所需課時(shí)2教學(xué)目的(1)理解復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的概念。(2)掌握函數(shù)的特性。重 點(diǎn)函數(shù)特性的理解。難 點(diǎn)函數(shù)特性的理解。教學(xué)過(guò)程:一、組織教學(xué)點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律二、復(fù)習(xí)引入1、什么叫做函數(shù)?2、求下列函數(shù)的定義域及值域。(1) f x 9 x2(2) f x 1g 4x 3三、講授新課分段函數(shù)對(duì)于自變量的不同取值范圍,又不完全相同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù),稱(chēng)為分段函數(shù)。例3:函數(shù)y
6、2 .x 0 x 11 x x 1這是一個(gè)分段函數(shù),其定義域?yàn)镈 0, 1 (0,) 0,).當(dāng) 0 x 1 時(shí),y 2jx;當(dāng) x1 時(shí),y 1 x.1f(2)2 J;五;f(1) 2V,12 ; f(3) 1 3 4.Note: (1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù);(3) 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。3、顯函數(shù)和隱函數(shù)若函數(shù)中的因變量 y用自變量x的表達(dá)式直接表示出來(lái),這樣的函數(shù)稱(chēng)為顯函數(shù)。一般地,若兩個(gè)變量 x,y的函數(shù)關(guān)系用方程F(x,y)=0的形式表示,即x,y的函數(shù)關(guān)系隱 藏在方程里,這樣的函數(shù)叫做隱函數(shù)。例如:xy ex y 0有的隱函數(shù)可以轉(zhuǎn)化成顯函數(shù),由隱函數(shù)轉(zhuǎn)化
7、成顯函數(shù)的過(guò)程叫做隱函數(shù)的顯化。 二、函數(shù)的幾種特性: 1、函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,數(shù)集X D.如果存在數(shù)Ki,使對(duì)任一 x X,有f(x) Ki,則稱(chēng)函 數(shù)f(x)在X上有上界,而稱(chēng)Ki為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)上界.圖形特點(diǎn)是y f(x)的圖形在直線 y Ki的下方.如果存在數(shù)K2,使對(duì)任一 x X,有f(x) K2,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有下界,而稱(chēng)K2為函數(shù) f(x)在X上的一個(gè)下界.圖形特點(diǎn)是,函數(shù)y f(x)的圖形在直線y K2的上方.如果存在正數(shù) M,使對(duì)任一 x X,有| f(x) | M,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有界;如果這樣的M 不存在,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上
8、無(wú)界.圖形特點(diǎn)是,函數(shù)y f(x)的圖形在直線y M和y M的 之間.函數(shù)f(x)無(wú)界,就是說(shuō)又何 M,總存在xi X,使| f(x) | M.例如(i)f(x) sin x在(,)上是有界的:|sin x| i.i .(2)函數(shù)f(x) 一在開(kāi)區(qū)間(0, i)內(nèi)是無(wú)上界的.或者說(shuō)它在(0, i)內(nèi)有下界,無(wú)上界. x這是因?yàn)?,?duì)于任一 Mi,總有xi: 0 %去i,使f(K)- M , xi所以函數(shù)無(wú)上界.函數(shù)f (x) i在(i, 2)內(nèi)是有界的. x2、函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)y f(x)的定義域?yàn)?D,區(qū)間I D.如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)xi及x2,當(dāng)xix2 時(shí),恒有f(xi) f(x2)
9、, 則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的.如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)xi及x2,當(dāng)xi f(x2), 則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的.單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)函數(shù)函數(shù)單調(diào)性舉例:函數(shù)y x2在區(qū)間(,0上是單調(diào)增加的,在區(qū)間0,)上是單調(diào)減少的,在(,) 上不是單調(diào)的.3、函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)(即若x D,則x D).如果對(duì)于任一 x D,有f( x) f(x),則稱(chēng)f(x)為偶函數(shù).如果對(duì)于任一 x D,有f( x) f(x),則稱(chēng)f(x)為奇函數(shù).偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) ,奇偶函數(shù)舉例:y x2, y cos x都是
10、偶函數(shù).y x3, y sin x都是奇函數(shù),y sin x cos x是非奇非偶函數(shù)例4:判斷函數(shù)f (x) loga(x xx 1)的奇偶性.解函數(shù)的定義域?yàn)?D=(,),又因?yàn)閒( x) lOga( x)(x)2 1 log(、x2 1 x)(x2 1) x2 1 lOgaLx2-1-xlOga(xx2 1) lOga(xx2 1) f(x)所以函數(shù)f (x) log a (x Vx2 1)是奇函數(shù).4、函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈.如果存在一個(gè)正數(shù)l ,使得對(duì)于任一 x D有(x l) D,且f(x l) f(x)則稱(chēng)f(x)為周期函數(shù),l稱(chēng)為f(x)的周期.周期函數(shù)的圖形特
11、點(diǎn):在函數(shù)的定義域內(nèi),每個(gè)長(zhǎng)度為l的區(qū)間上,函數(shù)的圖形有相同 的形狀.例如,y sin x, y cosx的周期T 2 , y tanx, y cotx的周期T ,正弦型曲線函一一 一,2數(shù)y Asin( x )的周期為T(mén)2.四、練習(xí)2 . x 0x1已知函數(shù)y,求f(0.04)和f(9)。1 x x 1五、歸納小結(jié)本節(jié)主要總結(jié)了函數(shù)的幾種特性,適當(dāng)時(shí)候可以結(jié)合圖像來(lái)分析理解。課后作業(yè):x2. x 0 .求函數(shù)f(x) 的定義域及函數(shù)值f ( 1), f (0), f(1)?1, x 0反思錄:備課教案第三周 星期五課 題基本初等函數(shù)所需課時(shí)2教學(xué)目的(1)理解反函數(shù),會(huì)求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)。(
12、2)掌握五類(lèi)基本初等函數(shù)。重 點(diǎn)掌握五類(lèi)基本初等函數(shù)。難 點(diǎn)理解反函數(shù),會(huì)求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)。教學(xué)過(guò)程:一、組織教學(xué)點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律二、復(fù)習(xí)引入 1211、計(jì)算:23; 20; 2 2; 164; 273; 49 2;2、怎樣畫(huà)函數(shù)的圖像?三、講授新課一、初等函數(shù)1、反函數(shù)定義1.1 設(shè)函數(shù)y f(x),x D,y Z .若對(duì)于任個(gè) y Z ,D中都有惟一的一個(gè)x,使得f(x) y成立,這時(shí)x是以Z為定義域的y的函數(shù),稱(chēng)它為yf(x)的反函數(shù),記作x f 1(y), y Z .在函數(shù)x f 1(y)中,y是自變量,x表示函數(shù).但按照習(xí)慣,我們需對(duì)調(diào)函數(shù) x f 1(y)中的字母x, y,把它
13、改寫(xiě)成 y f 1 (x), x Z .今后凡不特別說(shuō)明,函數(shù)y f (x)的反函數(shù)都是這種改寫(xiě)過(guò)的y f 1 (x), x Z形式.函數(shù)y f(x),x D與y f 1(x),x Z互為反函數(shù),它們的定義域與值域互換.在同一直角坐標(biāo)系下,y f(x),x D與y f 1(x),x Z互為反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y x對(duì)稱(chēng)。例如,函數(shù)y 3x 2與函數(shù)y x 2互為反函數(shù),其圖形如圖1.1所示,關(guān)于直線y x 3對(duì)稱(chēng).函數(shù)y 2x與函數(shù)y log 2 x互為反函數(shù),它們的圖形在同一坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y x對(duì)稱(chēng)的.如圖1.2所示.y 4 y 3x 2 y xy + y 2xy x圖 1.1圖 1.2
14、定理1 . 1 (反函數(shù)存在定理) 單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù),且單調(diào)增加(減少)的函數(shù)的反函 數(shù)也是單調(diào)增加(減少)的.求反函數(shù)可以按以下步驟進(jìn)行:(1)從方程y f(x)中解出惟一的x,并寫(xiě)成x g(y);(2)將x g(y)中的字母x, y對(duì)調(diào),得到函數(shù)y g(x),這就是所求的函數(shù) y f(x)的反 函數(shù).2 .復(fù)合函數(shù)定義1.2假設(shè)有兩個(gè)函數(shù) y f(u),u (x),與x對(duì)應(yīng)的u值能使y有定義,將u (x)代入y f (u),得到函數(shù)y f ( (x).這個(gè)新函數(shù)y f ( (x)就叫做是由 y f(u)和u (x)經(jīng)過(guò)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),稱(chēng)u為中間變量.例如,由y f(u) eu,u (
15、x)cosx可以復(fù)合成復(fù)合函數(shù)y f(x) ec0sx.復(fù)合函數(shù)不僅可用兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成,也可以有多個(gè)函數(shù)相繼進(jìn)行復(fù)合而成.如由y而,uln v,v sin x可以復(fù)合成復(fù)合函數(shù)y xlnsinx.需要指出,不是任何兩個(gè)函數(shù)都能復(fù)合成復(fù)合函數(shù).由定義易知,只有當(dāng)u (x)的值域與y f(u)的定義域的交集非空時(shí) ,這兩個(gè)函數(shù)才能復(fù)合成復(fù)合函數(shù).例如函數(shù)y lnu和u X2就不能復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù) .因?yàn)閡 X2的值域?yàn)椋ǎ?,而y lnu的定義域?yàn)椋?,),顯然(,0 (0,) ,y ln( x2)無(wú)意義.3 .基本初等函數(shù)我們學(xué)過(guò)的五類(lèi)函數(shù):哥函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)統(tǒng)
16、稱(chēng)為基本初等函數(shù).為了便于應(yīng)用,下面就其圖像和性質(zhì)作簡(jiǎn)要的復(fù)習(xí).參看表1-1 .表1-1基本初等函數(shù)及圖像性質(zhì)序號(hào)函數(shù)圖像性質(zhì)1募函數(shù)y x , R在第一象B0時(shí)函數(shù)單增;0時(shí)函數(shù)單減.都過(guò)點(diǎn)(1,1)上0x2指數(shù)函數(shù)X y a (a 0且 a 1)0上a 1時(shí)函數(shù)單增;0 a 1時(shí)函數(shù) 單減.共性:過(guò)(0, 1)點(diǎn),以x軸為0x漸近線對(duì)數(shù)函數(shù)1rV二 1a 1時(shí)函數(shù)單增;0 a 1時(shí)函數(shù)3y loga x(a 0且 a 1)01H0 a 1單減.共性:過(guò)(1, 0)點(diǎn),以y軸為漸近線4三 角正弦函數(shù)4yC 1r奇函數(shù),周期T=2 ,有界函 數(shù)y sin x-XZ50x-1Sin x 1反正切
17、函數(shù)y arctanxJy0yy T x 2x (,),y (三可奇函數(shù),單調(diào)增加,有界,V為兩條y5水平漸近線反余切函數(shù)y arc cotxyIx (,), y (0,)單調(diào)減少,有界,y 0, y為兩條水平漸近線2J0x四、練習(xí)1、基本初等函數(shù)有哪幾類(lèi)?2、是不是所有函數(shù)都有反函數(shù)?五、歸納小結(jié)這一節(jié)課我們復(fù)習(xí)了五類(lèi)基本初等函數(shù),它們的性質(zhì)可以結(jié)合圖像來(lái)理解和記憶。課后作業(yè):指出下列函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)(或簡(jiǎn)單函數(shù))構(gòu)成?2 y ln(sin x )2x(2) y e2(3) y J arctan x反思錄:備課教案第三周 星期三課 題初等函數(shù)所需課時(shí)2教學(xué)目的理解初等函數(shù)的定義,并能把
18、兩個(gè)以上的基本初等函數(shù)合并成一個(gè)初等函 數(shù);也能把一個(gè)初等函數(shù)拆分成幾個(gè)基本初等函數(shù)。重 點(diǎn)把兩個(gè)以上的基本初等函數(shù)合并成一個(gè)初等函數(shù)和把一個(gè)初等函數(shù)拆分 成幾個(gè)基本初等函數(shù)。難 點(diǎn)把兩個(gè)以上的基本初等函數(shù)合并成一個(gè)初等函數(shù)和把一個(gè)初等函數(shù)拆分 成幾個(gè)基本初等函數(shù)。教學(xué)過(guò)程:一、組織教學(xué)點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律二、復(fù)習(xí)引入填空:1、糾正作業(yè)。2、回出五種基本初等函數(shù)的草圖。三、講授新課定義1.3由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò) 有限次四則 運(yùn)算或有限次復(fù)合 所構(gòu)成的,并能用 一個(gè)式子表示的函數(shù),統(tǒng)稱(chēng)為 初等函數(shù).【例1.4】卜列函數(shù)是由哪幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的.(1) y ln sin x(2) y cosJx
19、1(3) yesin2x解(1)令 u sinx ,則 y In u .于是yIn sinx是由y ln u , usin x復(fù)合而成的.(2)令 v x 1 , u Jv ,貝U y cosu.所以ycos xx1是由y cosu,u Jv, v x 1復(fù)合而成的.(3)令 v 2x, u sinv,貝U y eu.所以 y esin2x是由 yeu, usinv, v 2x復(fù)合而成的.本課程研究的函數(shù),主要是初等函數(shù).凡不是初等函數(shù)的函數(shù),皆稱(chēng)為非初等函數(shù)【例1. 5】將下列幾個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合成一個(gè)初等函數(shù)。(1) u sinx y ln u .(2)y cosu u . v v x 1
20、(3) y eu , u sinv, v 2x四、練習(xí)將下列幾個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合成一個(gè)初等函數(shù)。(1) v sin x y In v .(2) v x 1 u 、v y cosu(3), u sinv v 2x y eu五、歸納小結(jié)初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù)。 注意:要掌握好將一個(gè)初等函數(shù)分解成較簡(jiǎn)單函數(shù),其步驟是自外層向內(nèi)層逐層分解,切忌 漏層。課后作業(yè):2、判定下列函數(shù)的奇偶性?(1) y f(x) f( x) (2) y ex e x (3) y x2n1(n為自然數(shù))3、作下列函數(shù)的圖像?x 1x. I(1) y 7(2) y e(3) y
21、sinx|x 1反思錄:備課教案第三周 星期五課 題常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)所需課時(shí)2教學(xué)目的1、理解幾個(gè)常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)2、會(huì)用函數(shù)的知識(shí)解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題重 點(diǎn)理解經(jīng)濟(jì)函數(shù)的含義及應(yīng)用難 點(diǎn)運(yùn)用經(jīng)濟(jì)函數(shù)解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題教學(xué)過(guò)程:一、組織教學(xué)點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律二、復(fù)習(xí)引入函數(shù)y Insinx是由, 這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的。三、講授新課經(jīng)濟(jì)函數(shù)主要包括:1、需求函數(shù)q(p) (p為價(jià)格)2、成本函數(shù)C(q)3、收入函數(shù)R(q)4、禾1J潤(rùn)函數(shù)L(q)1需求函數(shù)與價(jià)格函數(shù)1.1 線性需求函數(shù)1.2 二次曲線需求函數(shù)1.3 指數(shù)需求函數(shù)注:一般地,需求量隨價(jià)格上漲而減少。因此,通常需求函數(shù)是價(jià)格的單調(diào)減少函數(shù)。價(jià)格函數(shù)反
22、映商品需求和價(jià)格的關(guān)系。2供給函數(shù)一般地,商品供給量隨商品價(jià)格的上漲而增加。因此,商品供給函數(shù)是商品價(jià)格的單調(diào) 增加函數(shù)。3總成本函數(shù)(單調(diào)增加函數(shù))注:生產(chǎn)成本包括固定成本和可變成本。4收入函數(shù)利潤(rùn)函數(shù)總收入R R(q) qP(q)和平均收入R R P(q),其中P(q)是商品的價(jià)格函數(shù),它q們均是出售商品數(shù)量的函數(shù)??偫麧?rùn)L L(q) R(q) C(q)和平均利潤(rùn)匚L(q) L,均是產(chǎn)量q的函數(shù) q注:利潤(rùn)函數(shù)L(q) 出現(xiàn)的三種情況:L(q) R(q) C(q)0有盈余生產(chǎn)(2)L(q) R(q) C(q)0), 1-cosx , arcsinx等都是無(wú)窮小量。,,1 八 I ,1 一
23、一當(dāng)x-+8時(shí),1而1 0 ,所以1是無(wú)窮小量n同樣,當(dāng)x時(shí),2,口,3都是無(wú)窮小量。,n n2 2n定理4 極限與無(wú)窮小之間的關(guān)系:若 lim f (x) A,則 f (x) A (x)ox x0其中(x)為無(wú)窮小量:lim (x) 0,逆命題也成立。 x x。無(wú)窮小量的性質(zhì)定理5有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和是無(wú)窮小量。例如,當(dāng)x-0時(shí),x+sinx也是無(wú)窮小量定理6無(wú)窮小量與有界量之積是無(wú)窮小量。例如,當(dāng)x-0時(shí),xsinx也是無(wú)窮小量。推論1:任一常數(shù)與無(wú)窮小量之積是無(wú)窮小量。例如,當(dāng)x-0時(shí),3sinx也是無(wú)窮小量。推論2:有限個(gè)無(wú)窮小量之積是無(wú)窮小量。(注:兩個(gè)無(wú)窮小之商未必是無(wú)窮小)2、
24、無(wú)窮大量當(dāng)x-x0 (或土00)時(shí),如果函數(shù)f(x)的絕對(duì)值無(wú)限增大,則稱(chēng)當(dāng)x-x0 (或土00)時(shí),f(x)是無(wú)窮大量。記作 lim f(x)= 8,或f(x) 一oo。 x %定義6 若lim f (x) (或lim f (x),則稱(chēng)f (x)為當(dāng)xx x的無(wú)窮大量,簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮大。如lim =,表示當(dāng)時(shí),1為無(wú)窮大. x o xx關(guān)于無(wú)窮大量幾點(diǎn)說(shuō)明:1 .無(wú)窮大量不是一個(gè)很大的數(shù),它是極限的概念;Um /(z) =co % /=kj2 .無(wú)窮大量的實(shí)質(zhì)是極限不存在 ,為了表示記作 f或 .3 .若數(shù)列 Xn當(dāng)n-+8時(shí),它項(xiàng)的絕對(duì)彳1無(wú)限增大,則 Xn是無(wú)窮大量。14 .如果當(dāng)X- X0
25、(或8)時(shí),函數(shù) f(x)是無(wú)否大重,那么 就是當(dāng)X- X0 (或8)f(x)1時(shí)的無(wú)窮小量,反過(guò)來(lái),如果當(dāng)X-X0(或8)時(shí),函數(shù)f(X)是非零無(wú)窮小量,那么f(X)就是當(dāng)X- X0 (或8)時(shí)的無(wú)窮大量。即無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量。無(wú)窮小量(非零)的倒數(shù)是無(wú)窮大量。(3)無(wú)窮大必?zé)o界,但反之不真。因此,證明一個(gè)變量是無(wú)窮小量的方法就是證明它的極限為0,證明一個(gè)變量是無(wú)窮大量的方法就是證明它倒數(shù)是無(wú)窮小量。四、練習(xí)sin x,x 01cX,X 03(當(dāng)x 0時(shí))判斷下列函數(shù)在指定點(diǎn)的是否存在極限x 1,x 2X,X 2 (當(dāng) x 2 時(shí))五、歸納小結(jié)理解極限的概念,函數(shù)左極限與右極限的概念,
26、以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系;熟 練掌握X 和X X0時(shí)f(x)的極限存在的充要條件,理解無(wú)窮 大、無(wú)窮小的概念,掌握無(wú)窮大的判定方法和無(wú)窮小的概念及性質(zhì),會(huì)用無(wú)窮小量的性 質(zhì)求極限.課后作業(yè):反思錄:備課教案第四周 星期五課 題極限的運(yùn)算(一)所需課時(shí)2教學(xué)目的掌握函數(shù)極限的運(yùn)算法則及其推論,能運(yùn)用運(yùn)算法則求極限重 點(diǎn)函數(shù)極限的運(yùn)算法則及其推論難 點(diǎn)函數(shù)極限的運(yùn)算法則的靈活運(yùn)用教學(xué)過(guò)程:一、組織教學(xué)點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律二、復(fù)習(xí)引入一、導(dǎo)入新課1、函數(shù)極限是怎樣定義的?函數(shù)極限存在的充要條件是什么?2、無(wú)窮小的性質(zhì)有哪些?二、講授新課(一)極限的運(yùn)算法則設(shè)x在同一變化過(guò)程中l(wèi)im f (x
27、)(此處省略了自變量 x的變化趨勢(shì),卜同)及l(fā)im g(x)都存在,則后卜列運(yùn)算法則:法則 1、lim f(x)g(x)= lim f(x)lim g(x)法則 2、lim f(x)? g(x)= lim f(x) ? lim g(x)f (x) lim f(x)法貝U 3、lim )= ( lim g(x) 0)g(x) lim g(x)提示:法則的證明不作要求(1)直接代入求值例 1 求 lim (3x 2-4x+i) x 2解:lim (3x 2-4x+1)=3 ?22-4?2+1=5 x 2求limx 12x2 x 43x22解:22x2 x 4 !imi(2x x 4)3lim =-
28、 一x 1 3x2 2 lim (3x2 2)5x 1 /求x2 7x 12x2 5x 42_一,一、,、一,x7x12(x3)(x4)x31解:lim 2=lim=lim =x4 x5x4x 4(x1)(x4)x 4x13小結(jié):xx0時(shí),可直接代入(若代入后令分母為零??上燃s分后再代入)舉仞1、lim 6x 2x 52lim (6x+5)3、lim (x 6x) 4x 2x 102x 3 limx 55x 35、lim x6x 6 x 62 x lim x 24x 4例4 求lim x2x23x2解:limx2x23x2=limx3 x2 =223小結(jié):x 時(shí),一型的極限,可用分子分母中 x
29、的最高次哥除之課堂練習(xí)1、計(jì)算limx322x x3x3 x(3)-型,0型,0例5 求下列函數(shù)極限31.1x1c1、 lim (3-) 2、 lim 3X 11 x 1 xx 0 xxcosx解:1、limx 1231 、 3 (1 xx2)3) =lim 3 1x31 x x 1 (1 x)(1 x x2)= lim (2 x)(1 x)2 =lim 2 x2x 1 (1 x)(1 x x ) x 1 1 x x2、limx 01 x 1 = lim (1 x 1)( x 1)x x 0 x(、1 x 1)=x=limx( v 1 x 1) x 01,1 x_ 1 1一23、limxcos
30、x,1 x3=limxx? cosx =0,1 x3小結(jié):1題可看成直接代值的特殊情況2題是“0型”經(jīng)??赏ㄟ^(guò)分母、分子有理化解決03題是無(wú)窮小與有界量的積為無(wú)窮小四、練習(xí)求下列極限2、xim0 x21 sin x3、limxarctan xx五、歸納小結(jié)掌握函數(shù)極限的運(yùn)算法則及其推論,能運(yùn)用運(yùn)算法則求極限。特別情形:x時(shí),型的極限,可用分子分母中 x的最高次哥除之; 0型經(jīng)??赏ㄟ^(guò)分母、分子有理化解決;無(wú)0窮小與有界量的積為無(wú)窮小.課后作業(yè):求下列極限x 1x2 2x 2x2 11 lim2 lim 23lim x 12x 1(2) x 0x23(3)x 1x 1反思錄:備課教案第五周 星期
31、三課 題極限的運(yùn)算(二)所需課時(shí)2教學(xué)目的1 .掌握兩個(gè)重要極限,會(huì)運(yùn)用兩個(gè)重要極限求極限2 .理解高階、低階、同階及等價(jià)無(wú)窮小量的定義3 .掌握判定等價(jià)無(wú)窮小量的充要條件及常用等價(jià)無(wú)窮小量4 .會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量求函數(shù)的極限重 點(diǎn)1 .兩個(gè)重要極限及其應(yīng)用2 .高階、低階、同階和等價(jià)無(wú)窮小的定義與判定及其應(yīng)用難 點(diǎn)1 .兩個(gè)重要極限的應(yīng)用2 .等價(jià)無(wú)窮小量的判定及其在極限運(yùn)算中的應(yīng)用教學(xué)過(guò)程:一、組織教學(xué)點(diǎn)名、組織課堂紀(jì)律二、復(fù)習(xí)引入考察極限lim snxx 0 x觀察:當(dāng)x 0時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì)x(弧度)0.500.100.050.040.030.02.sin x x0.95850.9983
32、0.99960.99970.99980.9999.當(dāng)x當(dāng)x取正值趨近于0時(shí),sinA 1,即lim 3=1; xx 0 x取負(fù)值趨近于 0 時(shí),-x 0,-x0, sin(-x)0. 于是limx 0sin x limsin( x)(x)三、講授新課(二)兩個(gè)重要極限0 sin x1 lim =1x 0 x特點(diǎn):它是“思考:. x lim x 0 sin x解:解:解:1嗎?一 一 1求 lim x?sinxm0limxlimx小 sinlim 0xsin 2x sin2x”= lim ?2=2,x xsin x 10 2x1 (三角形代表同一變量)xsin x=limx1 -?sin x=0
33、x一 一 1求 lim x?sinc 1lim x?sin= lim.1 sinx -1=求sin 3xsin 4xsin 3xlim = limsin 3x 3x 4xx 0 sin 4x x一 3x4x sin 4x3 =-4(復(fù)習(xí)二倍角)cos22. 2=cossin2=2 cos21=1-2 sin2 cos1 cos 2. 2 sin1 cos2求典1 cosx解:原式=limx 02 x 2sin 22x=lx_x_._xsin11 sin(2)2?:=: lim 2x22 x 0 x注:1、乘積的極限寫(xiě)成極限的乘積時(shí),必須每個(gè)乘積的極限存在。2、非弦函數(shù)化有弦函數(shù)課堂練習(xí)(一)求
34、卜列極限,2,2 ,3.sin x_sin 4x _x1、 lim 2、 lim 3、 lim 氣x 0 xx 0 xx 0 3sin 2x1一一一sin 4x4、lim x?tan5、lim x ?cot x 6、lim _xxx 0x 0 Jx 1 1考察極限lim (1+1) x xx觀察:當(dāng)x +時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì)x1210100010000100000100000.(1 1)x x22.252.5942.7172.71812.71822.71828.當(dāng)x取正值并無(wú)限增大時(shí),(1 1)x是逐漸增大的,但是不論x如何大,(1 2)x的值總 xx不會(huì)超過(guò)3.實(shí)際上如果繼續(xù)增大 x.即當(dāng)x +
35、時(shí),可以驗(yàn)證(1 2)x是趨近于一個(gè)確定的 x無(wú)理數(shù) e= 2.718281828.當(dāng)x -時(shí),函數(shù)(1 1)x有類(lèi)似的變化趨勢(shì),只是它是逐漸減小而趨向于e.x20 lim (1+1) x = exx特點(diǎn):(1) lim(1+無(wú)窮小)無(wú)否大案,即1型; x 一,1(2) “無(wú)窮小”與“無(wú)窮大”的解析式互為倒數(shù),lim (1 1) e11推廣: lim (1 x)x e limo(1) e例 5 lim (1+ ) 3xx2x133解:原式=lim (1 -)2x2=e2 x2x一1 一例 6 lim (1+ )x2x3解:原式=lim (1+)? (1+)= lim (1+)? lim (1+
36、 )=e2x2x2xx2xx2xx?33 =e3、 lim (1+ ) x x1解:原式=lim (1+ x x3一2 v例 8 lim (1 ) xv解:原式=lim 1+(x21_x?( 2)x= lim 1+ 2=ex x x一2 xv例 9 lim ()x 3 x解:原式=lim (3x-1) x = lim(1)x = lim(1 + )x 3 x x 3 x x x 31 x 313=lim (1+)?(1+) = ex x 3x 3課堂練習(xí)(二)P26 習(xí)作題 1 (4) ( 8)(三)無(wú)窮小的比較例:當(dāng) x 0 時(shí), =3x, =x2 ,= sin x但 lim x=0x 0
37、3x3x lim f = x 0 xlimx 03x 3為了比較無(wú)窮小趨于零的快慢,引入無(wú)窮小階定義:設(shè)某一極限過(guò)程中,與都是無(wú)窮小,且lim = c(1)若C=0,則稱(chēng)是比高階的無(wú)窮小,記成 =0()也稱(chēng)是比低階的無(wú)窮小。(2)若C 0,則稱(chēng) 與是同階無(wú)窮小。特別:若C=1,則稱(chēng) 與 是等價(jià)無(wú)窮小,記為 等價(jià)無(wú)窮小在求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)有重要作用。常用的幾個(gè)等價(jià)無(wú)窮小代換:2x當(dāng) x 0 時(shí),有 sinx x tanxx arcsinx x arctanx x 1 cosx2ln(1+x)_xx e 1 x例10解:sin 3x 求lim x 0 sin 4xsin3xlim =limx
38、 0 sin 4x x 03x _ 3=一4x 4例11求1xm01 cosx2 x解:lim 1 x 0cosx2 x=lim2 xT_ 12 ox 2例12求1xm0tan 2xsin 5x解:limx 0例13lxm0tan 2x=limsin 5x x 0tanx sin x3x2x 2=一5x 5解:sin x(1 cosx)lim 3= limx 0 x cosx x 0x?1x221132=lim =-x ?cosx x 0 2cosx 2注:10用等價(jià)代換時(shí),必須對(duì)分子或分母的整體替換(或?qū)Ψ肿?、分母的因式進(jìn)行替換)20分子或分母中若有“-”號(hào)連接的各部分不能分別作替換。四、練
39、習(xí)求下列式子的極限:1 3xlim (1+ )x 2x五、歸納小結(jié)掌握兩個(gè)重要極限,lxm0tan2xsin 5xsin 3x lim x 0 sin 4xlimx3、x(1+ 一)會(huì)運(yùn)用兩個(gè)重要極限求極限,理解高階、低階、量的定義,掌握判定等價(jià)無(wú)窮小量的充要條件及常用等價(jià)無(wú)窮小量,同階及等價(jià)無(wú)窮小會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量求函數(shù)的極限。特別地,用等價(jià)代換時(shí),必須對(duì)分子或分母的整體替換(或?qū)Ψ肿印⒎帜傅囊蛱?hào)連接的各部分不能分別作替換。式進(jìn)行替換),分子或分母中若有“ +” “-” 課后作業(yè):求下列極限.sin3xsin3xv3、x1叫(2) limn .廠 (3) lim(1 3x)x (4) 而(1)x 0 xx 0 sin 5xx ox x反思錄:備課教案第五周 星期五課 題函數(shù)的連續(xù)性所需課時(shí)2教學(xué)目的1 .理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù)),會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型。2 .了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性,3 .了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值、最小值定理和介值定理),并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。重 點(diǎn)1 .函數(shù)連續(xù)性的有關(guān)概念及其應(yīng)用2 .間斷點(diǎn)及其分類(lèi)難 點(diǎn)1 點(diǎn)連續(xù)性及復(fù)合函數(shù)連續(xù)性的概念及其應(yīng)用2 .函數(shù)的連續(xù)性的判定教學(xué)過(guò)程:一、組織教學(xué)點(diǎn)名、組織
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