教學(xué)案例15-石治安

1、教學(xué)案例課題：10.4探索三角形相似的條件（2） 新民中學(xué) 石治安教材分析：探索三角形相似的條件（2）選自義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（蘇科版）八年級下冊第十章圖形的相似。 圖形的相似這一章是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。它是研究全等圖形的繼續(xù)和深化.由全等進(jìn)入相似，即由保距變換進(jìn)入保角變換，使認(rèn)識擴(kuò)大到了一個(gè)新的領(lǐng)域，具體表現(xiàn)在：線段關(guān)系從相等發(fā)展到成比例。同時(shí)，后續(xù)知識三角函數(shù)的概念、解直角三角形、圓的一些性質(zhì)也是以相似形為基礎(chǔ)的。所以圖形的相似在整個(gè)教材中起著承上啟下的作用。 相似三角形在數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，根據(jù)定義判定兩個(gè)三角形相似又過于麻煩，因此尋找三角形相似的條件有必要，也

2、值得去探索，是本章的重要內(nèi)容。三角形相似的條件課本共分為三課時(shí)，分別在每一課時(shí)介紹一種三角形相似的條件。探索三角形相似的條件（2）是第二課時(shí)，它是在相似條件一的基礎(chǔ)上產(chǎn)生，而它的研究方法又為相似條件三的研究做出了示范，起著承上啟下的作用.因此探索三角形相似的條件（2）在本章中更是重中之重。教學(xué)目標(biāo)：1、通過實(shí)踐和探索，得出兩個(gè)三角形具備有兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等的條件，即可判斷這兩個(gè)三角形相似的方法。2、會(huì)選擇適當(dāng)?shù)臈l件判斷兩個(gè)三角形相似。3、經(jīng)歷“猜想驗(yàn)證推廣說理應(yīng)用”的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展合情推理和有條理的表達(dá)能力。教學(xué)重點(diǎn)： 經(jīng)歷探索三角形相似的條件的過程及其應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)： 三角形相

3、似條件的說理（證明）和應(yīng)用。設(shè)計(jì)理念： 任何數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)都會(huì)經(jīng)歷：“猜想驗(yàn)證推廣說理（證明）應(yīng)用”這一過程，它是研究數(shù)學(xué)的基本思路。 本節(jié)課先通過對特殊的相似三角形（相似比為1的三角形，即全等三角形）的邊角邊判定條件的研究，從而科學(xué)、大膽地提出猜想，接著用測量的辦法來驗(yàn)證猜想，然后對我們的猜想做進(jìn)一步的推廣，為了確保猜想的正確性，再運(yùn)用已有的知識加以論證、說明，最后對探索到的數(shù)學(xué)知識又加以應(yīng)用。 充分地體現(xiàn)了課標(biāo)的過程教學(xué)，也完美地展示了數(shù)學(xué)研究的基本思路。教學(xué)實(shí)錄：1、 情境創(chuàng)設(shè)，提出猜想開始語：同學(xué)們，在上一節(jié)課的探索中，我們知道：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那

4、么這兩個(gè)三角形相似。那么三角形的相似還有沒有其它條件呢？今天我們再次踏上探索之旅途。出示課題：10.4探索三角形相似的條件（2）板書師：常言道“溫故而知新”，下面邀請一位同學(xué)回憶一下三角形全等條件邊角邊（SAS）的內(nèi)容？生：如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對應(yīng)相等，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形全等。教師板書： 兩邊對應(yīng)相等 夾角相等師：如圖，在和中， .根據(jù)邊角邊（SAS）判定條件來判斷和全等，還需要添加什么條件？生：還需要添加條件：，教師板書：（此板書在下面的教學(xué)過程中需要改變）12在和中因?yàn)椋詭煟喝绻褩l件：，改寫成：。 那么和是否還全等？（在剛才的板書中改寫）生：是的，因?yàn)?/p>

5、條件，和條件是等價(jià)的，所以兩個(gè)三角形仍然是全等的。師：回答的很好！那么這兩個(gè)三角形除了是全等關(guān)系外，還是什么關(guān)系？（學(xué)生思考）生：相似吧，因?yàn)槿热切问窍嗨票葹?的特殊的相似三角形。（教師把剛才板書中的中的“”改成“”.）改動(dòng)后的板書： 在和中因?yàn)樗詭煟旱拇_如此！也就是說：如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對應(yīng)成比例（比值為1），并且夾角相等.那么這兩個(gè)三角形相似.師：偉大的科學(xué)家牛頓曾說過：沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造. 那么對于三角形相似的條件，你們有什么大膽的猜想呢？（學(xué)生想說，但又不敢說。但在教師的鼓勵(lì)下，有同學(xué)鼓起了勇氣.）生：我的猜想是：如果把比值改成2，兩個(gè)三

6、角形可能也是相似的. 教師在課件中出示猜想：在和中，如果，那么和 相似嗎？2、 探索活動(dòng)，揭示新知活動(dòng)一 操作、觀察 （驗(yàn)證猜想）師：在古希臘，人們經(jīng)常用測量的方法來研究圖形.今天，我們不防也用測一測、量一量的方法來驗(yàn)證我們的猜想.師：下面就讓我們用自己的雙手共同驗(yàn)證我們的猜想吧！如圖，在A和中， 師生共同操作：以A為內(nèi)角，畫ABC，使得師：同學(xué)們用量角器量一量和，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？ 生：和相等. 師：其他同學(xué)是否也有這樣的發(fā)現(xiàn)？ 眾生：是的！ 師：你能判斷和相似嗎？ 眾生 ：能. 師：誰能說說你的判斷理由？ 生：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似. 師：

7、通過驗(yàn)證，當(dāng)比值為2的時(shí)候，兩個(gè)三角形仍然相似. 活動(dòng)二：進(jìn)一步猜想，推廣k值 師：如果設(shè)比值為k.通過剛才的研究：當(dāng)k=1時(shí)，兩三角形生：相似師：當(dāng)k=2時(shí)，兩三角形生：相似師：此時(shí)，你還有什么更大膽的猜想？（學(xué)生很積極）生：k可以取一切實(shí)數(shù).生：不對，k可以取大于0的一切自然數(shù).生：k可以取大于0的一切實(shí)數(shù).生：和k無關(guān)，只要兩邊對應(yīng)成比例.師：同學(xué)們的猜想都很大膽，都具有牛頓的品質(zhì)，但對嗎？生：我們可以用測量的辦法加以驗(yàn)證??？師：對！下面就請同學(xué)們分別驗(yàn)證k=2.5、3、3.5、4的時(shí)候是否還相似.（學(xué)生通過測量的辦法分別驗(yàn)證著自己的猜想）師：你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？眾生：仍然相似.活動(dòng)二 說

8、理師：同學(xué)們剛才認(rèn)真的操作、仔細(xì)的觀察加深了我們猜想的可信度。但舉例有限，而k的取值卻無限，那么我們能否運(yùn)用已有的知識加以說明呢？教師在投影片上出示：如圖，在和中，如果A=A，試說明： 師：下面就讓我們沿著問題的路標(biāo)，向成功邁進(jìn)吧！教師出示問題1：問題1：如何在ABC中構(gòu)造出一個(gè)與ABC相似的三角形？（學(xué)生思考）生：作BC邊的平行線.（學(xué)生根據(jù)上一節(jié)的內(nèi)容很容易想到）師：非常棒！在AB邊上任找一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交AC于點(diǎn).根據(jù)上節(jié)課的知識，我們可以知道與ABC相似. 師：像這樣的三角形有多少個(gè)？生：無數(shù)個(gè).教師出示問題2： 問題2：點(diǎn)在什么位置時(shí)，所構(gòu)造的可能與全等？（學(xué)生思考） 生：時(shí). 教師出

9、示下圖： 師：假如和全等，而又和相似.那么就和相似. 師：和全等已經(jīng)有什么條件了？ 生：，. 師：還需要什么條件？ 生：或或 師：我們不妨從邊入手.教師出示問題3：問題3：如何說明（學(xué)生思考、討論）生： 因?yàn)?所以 又因?yàn)椋?所以 師：剛才嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，再次說明了猜想的正確性.師：請同學(xué)們用自己的語言總結(jié)出我們今天的發(fā)現(xiàn).（學(xué)生積極發(fā)言，通過前面的研究，基本都可以能說對）教師總結(jié)：如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。教師板書：3、 應(yīng)用結(jié)論，加深理解 師：通過前面的探索，我們又發(fā)現(xiàn)了一種判定兩三角形相似的方法，下面我們就應(yīng)用今日所學(xué)去解決更多的

10、數(shù)學(xué)問題. （1）教師出示思考思考：如圖，在ABC和ABC 中，B= B .要使ABCABC ，需要添加什么條件？ 生： 生：生：師：要說明兩個(gè)三角形相似，若已知一對等角，則可找另一對等角，或找夾已知等角的兩邊對應(yīng)成比例。 牛刀小試：課本 121頁 練習(xí) 第1題 （2）教師出示討論： 討論1：在ABC中，AB=8，AC=6.在AB邊上有一定點(diǎn)D，AD=4，在AC邊上有一動(dòng)點(diǎn)E.試問：當(dāng)AE= 時(shí)，ABC和ADE相似.（學(xué)生充分討論后，讓學(xué)生在課件中找出兩個(gè)三角形可能相似時(shí)點(diǎn)E的大概位置，如上圖兩點(diǎn)、）第一種情況：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在處時(shí)： 需要條件第一種情況：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在處時(shí)：需要條件 討論2：如圖，在A

11、BC中，AB=4，AC=2.問題1：在AB上取一點(diǎn)D，當(dāng)AD= 時(shí)，ACDABC；問題2：在AC的延長線上取一點(diǎn)E，當(dāng)CE= 時(shí)，AEBABC. 問題3：此時(shí)，BE與DC有怎樣的位置關(guān)系？為什么？（3）教師出示觀察： 觀察：如圖，將方格紙分成6個(gè)三角形.在、5個(gè)三角形中，與三角形相似的三角形有哪些？為什么？4、 小結(jié)與思考（1） 學(xué)生總結(jié)：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？（2） 教師總結(jié)：在今天的這節(jié)課中，我們通過“猜想驗(yàn)證推廣說理應(yīng)用”的過程，探索出三角形相似的條件。在這過程中，我們發(fā)揚(yáng)著“敢想、敢做；務(wù)實(shí)、嚴(yán)謹(jǐn)”的數(shù)學(xué)精神。在這過程中，我們感受著數(shù)學(xué)從已知到未知的魅力。希望同學(xué)們在今后的學(xué)

12、習(xí)中，繼續(xù)“探索數(shù)學(xué)世界、秉承數(shù)學(xué)精神、感受數(shù)學(xué)魅力”。5、 布置作業(yè)用今天所學(xué)的探索方法去探索三角形相似的其它條件。關(guān)于探索三角形相似的條件（2）的教學(xué)反思經(jīng)歷知識過程 滲透研究方法新民初級中學(xué) 石治安有人說：“數(shù)學(xué)課堂就是傳授數(shù)學(xué)知識”，其實(shí)這種想法是很片面的。數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不單單是傳授枯燥的數(shù)學(xué)知識，更重要的是通過數(shù)學(xué)知識這一載體，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和滲透數(shù)學(xué)研究方法。數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)研究方法的形成，不能依靠教師告訴學(xué)生，它是潛移默化的，它只能夠讓學(xué)生在一次又一次的數(shù)學(xué)活動(dòng)中感受它，應(yīng)用它。這樣有價(jià)值的數(shù)學(xué)活動(dòng)越多，學(xué)生對它的理解就越深刻。這就需要教師能夠提供給學(xué)生更多的數(shù)學(xué)活動(dòng)機(jī)

13、會(huì)，探究數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程就是一個(gè)很好的機(jī)會(huì)。為此，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成過程在這次課程改革中被提到一個(gè)尤為重要的地位。在這過程中，更能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)研究方法的滲透。下面，就結(jié)合我在我校對外公開中的探索三角形相似的條件（2）一課，談?wù)勥^程教學(xué)的得與失。本節(jié)課的主要內(nèi)容是“如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這樣的兩個(gè)三角形相似?！睉?yīng)該說學(xué)生對該知識是能夠比較容易掌握的，但為了能更好的培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，養(yǎng)成良好的研究習(xí)慣，在本節(jié)課的教學(xué)中，我從數(shù)學(xué)研究的一般思路“猜想驗(yàn)證推廣說理（證明）應(yīng)用”進(jìn)行了知識形成過程的教學(xué)，充分的展示出該知識的形成過程。下

14、面就從數(shù)學(xué)研究的一般思路一一說起。一、提出猜想在圖形的全等這一章的學(xué)習(xí)中，我們知道：根據(jù)全等三角形邊角邊判定條件判定兩個(gè)三角形全等，只需知道兩邊對應(yīng)相等，并且夾角相等。綜合這判定條件和相似三角形，可以從以下三個(gè)層次做進(jìn)一步的思考第一個(gè)層次：兩邊對應(yīng)相等可以做一個(gè)等價(jià)的改變兩邊對應(yīng)成比例，且比值為1。第二個(gè)層次：全等三角形是相似比為1的特殊的相似三角形，因此這兩個(gè)三角形除了 是全等關(guān)系，還是相似關(guān)系。第三個(gè)層次：相似三角形對邊的要求比全等三角形對邊的要求要寬松。但對角的要求是同等的。在以上三個(gè)層次的研究基礎(chǔ)上，提出科學(xué)、大膽的猜想：一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，如

15、果把比值條件放寬，比如把比值由1改為2的時(shí)候，那么兩個(gè)三角形是否還相似呢？猜想并不是胡想亂想，它的提出需要學(xué)生對已有的知識和需探究的知識有很深刻的理解，很深的洞察力。光有知識是遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到要求的。上面猜想的提出就是一個(gè)很好的例子，如果不能理解出上面的三層含義，就不會(huì)有這樣科學(xué)、合理的猜想。在這猜想提出的過程中，學(xué)生會(huì)更清楚全等和相似兩者之間的關(guān)系（特殊與一般的關(guān)系），也會(huì)在無意間感受、運(yùn)用著類比和從特殊到一般的數(shù)學(xué)研究方法。實(shí)際教學(xué)中，沒有同學(xué)敢提出自己的猜想，但他們的眼神告訴我，他們有猜想，但就不敢說。在我的鼓勵(lì)之下，最終有同學(xué)說出了自己的猜想，并且就是我所希望的猜想。造成這樣的原因可能是很平

16、時(shí)的教學(xué)過于嚴(yán)肅以及后面有聽課教師有關(guān)。二、測量驗(yàn)證猜想對嗎？我們需要對它做出一個(gè)判斷。測量法、特殊值法都是很好的驗(yàn)證方法。對于代數(shù)中的字母問題、公式等，特殊值法就可以很好的發(fā)揮它的作用。比如：對嗎？我們只需要找?guī)讉€(gè)數(shù)字代入就可以知道它的正確性。很明顯當(dāng)a=1,b=-1時(shí)，等式不成立。圖形問題則是測量法的舞臺，在本節(jié)課的實(shí)際教學(xué)就是采用測量法來加以驗(yàn)證的。如圖：在A和中， 師生共同操作：以A為內(nèi)角，畫ABC，使得用量角器量出和學(xué)生通過自己的測量，深信不已的把腦中的問好拉成了感嘆號。到此，學(xué)生已經(jīng)成功的邁出了探索的第一步，也是意義最重大的一步。在教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生畫圖的速度很慢，甚至有的同學(xué)量出的

17、角是不相等的，這就需要在平時(shí)加強(qiáng)對學(xué)生動(dòng)手能力的培養(yǎng)。三、合理推廣在數(shù)學(xué)知識不斷的增長中，推廣是一種很重要的數(shù)學(xué)研究方法。比值從1到2這一步的成功，一方面使學(xué)生加強(qiáng)了成功帶來的自信，另一方面更可以打開學(xué)生的思維空間，比值k能不能是其它的數(shù)值呢？或許與k的取值無關(guān)？他們在無意間對比值K做著推廣，這樣的想法可謂是出色的，他們已經(jīng)能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)研究中的一種重要的研究方法推廣。在數(shù)學(xué)知識的發(fā)展中，對數(shù)學(xué)知識的每一次推廣都具有劃時(shí)代的作用，比如：數(shù)域的推廣： 自然數(shù) 正數(shù) 有理數(shù) 實(shí)數(shù) 復(fù)數(shù)坐標(biāo)系的推廣：數(shù)軸 平面坐標(biāo)系 空間坐標(biāo)系或許對K值的推廣沒有上面兩個(gè)例子那樣復(fù)雜而又有意義，但本質(zhì)上確實(shí)一樣的，都

18、是對已有知識的更深層次的思考和推廣。在前面已有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，學(xué)生可以自行驗(yàn)證自己的猜想。在課堂中，一次又一次的發(fā)出感嘆，感受著數(shù)學(xué)的奧妙！甚至，有同學(xué)說相似和比值K沒有關(guān)系的更大膽的想法。四、嚴(yán)謹(jǐn)說理和比值k無關(guān)，這是經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)后的一個(gè)很大膽的想法。舉例畢竟有限，但k的取值卻是無限的，這就需要運(yùn)用已有的、確信無疑的知識來說明想法的正確性。在教學(xué)中，這是一個(gè)難點(diǎn)，一方面在這里要運(yùn)用到構(gòu)造法，另一方面要運(yùn)用到用比例線段證明線段相等。為了突破這兩個(gè)難點(diǎn)，在這里精心設(shè)置了三個(gè)問題：問題1：如何在ABC中構(gòu)造出一個(gè)與ABC相似的三角形？問題2：點(diǎn)在什么位置時(shí)，所構(gòu)造的可能與全等？問題3：如何說明問題1和問題2的設(shè)置是為了突破構(gòu)造法。這兩問題的設(shè)置有一定的臺階性，先想辦法構(gòu)造相似三角形，在此基礎(chǔ)上，再找出可能全等的三角形。在臺階的引導(dǎo)下，學(xué)生基本能夠構(gòu)造出想要的三角形。問題3的設(shè)置是為了解決用比例線段證明線段相等。這個(gè)問題設(shè)置的有探究的價(jià)值，同時(shí)也存在一定的難度，學(xué)生很少有人能夠想出方法。在教學(xué)中，該問題可以設(shè)置兩問，如下：問題a：從，你能得到什么比例式？（結(jié)論教師板書，便于學(xué)生思考）問題b：和有什么關(guān)系？為什么？這樣做既降低了難度，又有一定的思維空間，便于學(xué)生掌握運(yùn)用比例線段說明線段相等的方法。五、正確應(yīng)用學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的是應(yīng)用，應(yīng)用可以分兩種：一種是解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題；另一種是