空間點線面的位置關系

1、三好高中生（ID：sanhao-youke），為高中生提供名師公開課和精品資料?？臻g點線面的位置關系編稿：孫永釗 審稿: 張林娟【考綱要求】（1）理解空間直線、平面位置關系的定義；（2）了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理；（3）能運用公理、定理和已經(jīng)獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題?！局R網(wǎng)絡】空間點線面位置關系三個公理、三個推論平面平行直線異面直線相交直線公理4及等角定理異面直線所成的角異面直線間的距離直線在平面內(nèi)直線與平面平行直線與平面相交空間兩條直線概念垂直斜交空間直線與平面空間兩個平面兩個平面平行兩個平面相交三垂線定理直線與平面所成的角【考點梳理】考點一、平面的基本性質1、

2、平面的基本性質的應用（1）公理1：可用來證明點在平面內(nèi)或直線在平面內(nèi)；（2）公理2：可用來確定一個平面，為平面化作準備或用來證明點線共面；（3）公理3：可用來確定兩個平面的交線，或證明三點共線，三線共點。2、平行公理主要用來證明空間中線線平行。3、公理2的推論：（1）經(jīng)過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面；（2）經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；（3）經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。4、點共線、線共點、點線共面（1）點共線問題證明空間點共線問題，一般轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點，再根據(jù)公理3證明這些點都在這兩個平面的交線上。（2）線共點問題證明空間三線共點問題，先證兩條直線交

3、于一點，再證明第三條直線經(jīng)過這點，把問題轉化為證明點在直線上。要點詮釋：證明點線共面的常用方法納入平面法：先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內(nèi)；輔助平面法：先證明有關的點、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面、重合?？键c二、直線與直線的位置關系（1）位置關系的分類（2）異面直線所成的角定義：設a,b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線aa,bb,把a與b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.范圍：要點詮釋：證明兩直線為異面直線的方法：1、定義法（不易操作）2、反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴密的推理，導出

4、矛盾，從而否定假設肯定兩條直線異面。此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到。3、客觀題中，也可用下述結論：過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線，如圖：考點三、直線和平面、兩個平面的位置關系1、直線和平面的位置關系位置關系直線a 在平面內(nèi)直線a與平面相交直線a與平面平行公共點有無數(shù)個公共點有且只有一個公共點沒有公共點符號表示圖形表示2、兩個平面的位置關系位置關系圖示表示法公共點個數(shù)兩平面平行0兩平面相交斜交有無數(shù)個公共點在一條直線上垂直有無數(shù)個公共點在一條直線上考點四、平行公理、等角定理平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（但垂直于同一條直線的兩直線的位置關系可能平行，可能相

5、交，也可能異面）空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。要點詮釋：（1）以空間幾何體為載體，考查邏輯推理能力；（2）通過判斷位置關系，考查空間想象能力；（3）應用公理、定理證明點共線、線共面等問題；（4）多以選擇、填空的形式考查，有時也出現(xiàn)在解答題中。【典型例題】類型一、異面直線的判定例1（2014秋 奉新縣校級月考）如圖所示，三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中點（1）（文）求證AE與PB是異面直線（理）求異面直線AE和PB所成角的余弦值；（2）求三棱錐AEBC的體積【解析】（1）（文）證明：假設AE與PB共面，設

6、平面為，A，B，E，平面即為平面ABE，P平面ABE，這與P平面ABE矛盾，所以AE與PB是異面直線（理）取BC的中點F，連接EF、AF，則EFPB，所以AEF或其補角就是異面直線AE和PB所成角BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA平面ABC，AF=，AE=，EF=；cosAEF=，所以異面直線AE和PB所成角的余弦值為（2）因為E是PC中點，所以E到平面ABC的距離為PA=1，VAEBC=VEABC=×（×2×2×）×1=舉一反三：【變式】2014秋 龍子湖區(qū)校級月考）已知空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點，F(xiàn)、

7、G分別是邊BC、DC的三等分點（如圖），求證：（1）對角線AC、BD是異面直線；（2）直線EF和HG必交于一點，且交點在AC上【證明】（1）假設對角線AC、BD在同一平面內(nèi)，則A、B、C、D都在平面內(nèi)，這與ABCD是空間四邊形矛盾，AC、BD是異面直線（2）E、H分別是AB、AD的中點，EHBD又F、G分別是BC、DC的三等分點，F(xiàn)GBDEHFG，且EHFGFE與GH相交設交點為O，又O在GH上，GH在平面ADC內(nèi)，O在平面ADC內(nèi)同理，O在平面ABC內(nèi)從而O在平面ADC與平面ABC的交線AC上類型二、平面的基本性質及平行公理的應用例2如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，BAD=FAB

8、=900，BCAD，BEFA，G、H分別為FA、FD的中點。（1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；（2）C、D、F、E四點是否共面？為什么？【解析】（1）（2）方法一：方法二：如圖，延長FE，DC分別與AB交于點M，BEAF，B為MA中點。BCAD，B為中點，M與重合，即FE與DC交于點M（），C、D、F、E四點共面?！军c評】（1）G、H為中點GHAD，又BCAD GHBC；（2）方法一：證明D點在EF、GJ確定的平面內(nèi)。方法二：延長FE、DC分別與AB交于M，可證M與 重合，從而FE與DC相交。類型三、異面直線所成的角例3空間四邊形ABCD中，AB=CD且AB與CD所成的角為300，E、F

9、分別是BC、AD的中點，求EF與AB所成角的大小?！敬鸢浮咳C的中點G，連接EG、FG，則EG/AB，GF/CD，且由AB=CD知EG=FG，GEF（或它的補角）為EF與AB所成的角，（或它的補角）為與所成的角。與CD所成的角為300，=300或1500。由EG=FG知EFG為等腰三角形，當=300時，GEF=750；當=1500時，GEF=150。故EF與AB所成的角為150或750?！窘馕觥恳驟F與AB所成的角，可經(jīng)過某一點作兩條直線的平行線，考慮到E、F為中點，故可過E或F作AB的平行線。取AC的中點，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一個三角形中求解?！军c評】（1）求異面直線所成

10、的角，關鍵是將其中一條直線平移到某個位置使其與另一條直線相交，或將兩條直線同時平移到某個位置，使其相交。平移直線的方法有：直接平移中位線平移補形平移；（2）求異面直線所成角的步驟：作：通過作平行線，得到相交直線；證：證明相交直線所成的角為異面直線所成的角；求：通過解三角形，求出該角。類型四、點共線、線共點、線共面問題例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，對角線A1C與平面BDC1交于O，AC、BD交于點M求證：點C1、O、M共線CODABMB1C1D1A1【證明】A1ACC1確定平面A1CA1C面A1C O面A1COA1C面BC1D直線A1CO O面BC1DO在面A1C與平面BC1D的交線C1M上C1、O、M共線舉一反三：【高清課堂：空間點線面的位置關系例2】【變式】如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延長線交于M，RQ、DB的