靜電場零電勢點(diǎn)的選取

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上靜電場零電勢點(diǎn)的選取摘要：要知道靜電場中任意一點(diǎn)的電勢，就必須先選定零電勢點(diǎn)。本文就靜電場中遇到的各種經(jīng)典的帶電體物理模型的電勢如何選取零電勢點(diǎn)做出了討論。意在能夠更簡單的解決實(shí)際問題。關(guān)鍵詞：靜電場、電勢、電勢零點(diǎn)Abstract: to know the potential of any point in electrostatic field, zero potential points must be selected. This paper discusses how to select the zero potential point of the ele

2、ctric potential of the various classical electric-body physics models encountered in electrostatic field. It aims to solve practical problems more easily.Keywords: electrostatic field, electric potential, potential zero.引言：1.1電勢：單位正電荷Q從P點(diǎn)移到零電勢點(diǎn)P0時(shí)所做的功叫做P點(diǎn)的電勢。1靜電場是由靜止電荷所激發(fā)的電場。因?yàn)殪o電力是保守力，所以靜電場是保守場。我們通常

3、用電場強(qiáng)度和電勢來描述靜電場。電場強(qiáng)度主要是從力的角度研究電場，電勢主要從能的角度研究電場。本文主要討論靜電場中零電勢點(diǎn)如何選取來更簡單地解決一些實(shí)際的靜電場中的問題。我們知道電場力做功與電場強(qiáng)度有關(guān)，所以能夠找到電勢與電場強(qiáng)度的關(guān)系。如：設(shè)點(diǎn)電荷q從P點(diǎn)到p0點(diǎn)時(shí)電場力做的功為A，則P點(diǎn)的電勢為：V=是與的夾角，1.2電勢零點(diǎn)：從上式可知，電勢V與電場強(qiáng)度E的積分關(guān)系可以看出：空間中任意一點(diǎn)的電勢是由電場強(qiáng)度沿某條電場曲線的線積分所得到的。電勢是標(biāo)量場，參考點(diǎn)的電勢為零。所以P0點(diǎn)就是電勢零點(diǎn)。21.3電勢差的定義：靜電場中任意兩點(diǎn)間電勢之差叫做該兩點(diǎn)之間的電勢差。3所以V= （1）例：A

4、B兩點(diǎn)的電勢差為： 設(shè)P0為電勢零點(diǎn)，有：VA= VB= （2）VAVB= = （3）從上式可以看出選取不同的電勢零點(diǎn)，靜電場中各點(diǎn)電勢計(jì)算會得到不同的值，但是任意兩點(diǎn)間電勢差卻始終保持不變，這就說明雖然選擇的零電勢點(diǎn)不一樣，描述電場的路徑不一樣，但依舊是同一個(gè)靜電場。也就是說同一個(gè)靜電場可以采用無數(shù)種路徑來表征。所以靜電場電勢零點(diǎn)的選取是任意的。2.1零電勢點(diǎn)選擇的限制性零電勢點(diǎn)的選取雖然是任意的，但在解決實(shí)際的問題中。零電勢點(diǎn)的選取一般不能任意選取。選取的零電勢點(diǎn)必須要有意義。在有意義的前提下，零電勢點(diǎn)的選取還要盡可能的使解決問題的時(shí)候足夠簡便。2.2點(diǎn)電荷產(chǎn)生的靜電場的情況（1）選取無窮

5、遠(yuǎn)處為零電勢點(diǎn) 注：此時(shí)r的指數(shù)為2 VP = = = =+ = + 0 = （1） （2）選取r=0處為電勢零點(diǎn)時(shí) VP= = = = （ + ）= （2） 很明顯，此時(shí)電勢沒有確定的值，也就是說此時(shí)VP沒有意義。（3）電勢零點(diǎn)選在r=0 到無限遠(yuǎn)處之間的任意一點(diǎn)P0，則： 同理：VP = =( -+) （3）此時(shí)VP雖然有確定的值（也就是此時(shí)的VP有意義），但與（1）式比較卻要復(fù)雜的多。從（1）、（2）、（3）式得：點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場中，選取點(diǎn)電荷所處空間為零電勢點(diǎn)是不行的，因?yàn)槿绻x取r=0處的點(diǎn)為零電勢點(diǎn)，則VP=,沒有任何意義。為了使問題簡單化也不便在源點(diǎn)和無限遠(yuǎn)之間的任意空間位置選取

6、零電勢點(diǎn)，通常選取無限遠(yuǎn)處的電勢為零。若選取無限遠(yuǎn)處的電勢為零，則空間中距離源點(diǎn)Q任意距離r所在位置的電勢為Vr=。2.3電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，零電勢點(diǎn)通常選取在無限遠(yuǎn)處。電荷分布在有限區(qū)域也就是說是一個(gè)有限大的帶電體。帶電體周圍存在激發(fā)電場，每點(diǎn)都有確定的電場強(qiáng)度，在帶電體附近的空間位置，電場線密集，根據(jù)E = 可知，隨著距離r的增大，E是減小的,再根據(jù)VP= 可知：電勢也是減小的。從無窮遠(yuǎn)的地方看這個(gè)帶電體時(shí)，我們可以把有限大的帶電體看成是一個(gè)點(diǎn)電荷，那么就和點(diǎn)電荷的情況類似，選取無限遠(yuǎn)處的電勢為零電勢點(diǎn)是最簡潔的。下面舉幾個(gè)例子來說明。2.3.1均勻帶電球面電場的電勢分布已知球的半徑為R

7、，電荷為q。ACBR Or（1） 選取無窮遠(yuǎn)處為零電勢點(diǎn)。（V=0）已知:均勻帶電球面在空間中激發(fā)的場強(qiáng)方向沿半徑向外，場強(qiáng)大小為： E = （ r > R ） E = 0在球外（含球面）任取一點(diǎn)A，設(shè)其與球心O的距離為r:則 V= 其中P0在無窮遠(yuǎn)處，選QA的延長線為積分路徑。此路徑上的電場強(qiáng)度與點(diǎn)電荷的場強(qiáng)一樣，所以積分結(jié)果也應(yīng)該與點(diǎn)電荷的有關(guān)結(jié)果相同。既：V = = = 【注：此時(shí)r的指數(shù)為2】再在球內(nèi)取一點(diǎn)B，其與O的距離也用r表示。因?yàn)榍騼?nèi)外的電場分布情況不同，所以電場強(qiáng)度也不一樣，故積分要分為兩段進(jìn)行：V = + = 0 + = ( r < R )它的電勢函數(shù)圖像為：

8、VrR 2.3.2均勻帶電圓盤軸線上的電勢分布 已知圓盤的半徑為R，電荷面密度為；選取無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，則：V = = = 函數(shù)圖像為： V Z Z從以上兩個(gè)例題可以看出：電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，可以選擇無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)。先求出電場強(qiáng)度，再根據(jù)電場強(qiáng)度與電勢的關(guān)系，選擇合適的積分路徑，計(jì)算電場中某一點(diǎn)的電勢。2.4 電荷分布在無限區(qū)域時(shí)零電勢點(diǎn)的選取，通常選在一個(gè)確定的點(diǎn)上。無限大的帶電體一般有：無限大的圓柱體、無限長的直導(dǎo)線、無限大的平面等。其上面的電荷分布在無限遠(yuǎn)的地方。在研究這些帶電體在周圍空間產(chǎn)生的電勢時(shí)，一般不選取無限遠(yuǎn)處為零電勢點(diǎn)，而要選取其周圍一點(diǎn)有限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)。3具體選取

9、哪一點(diǎn)下面我們從幾個(gè)例題來討論。2.4.1無限長均勻帶電直導(dǎo)線的電勢分布例，如圖所示，是一無限均勻帶電長直導(dǎo)線，電荷線密度為，求電場中任意一點(diǎn)的電勢。 r .A 解：已知E = （1）選取無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，則： V = = 【注：此時(shí)r的指數(shù)為1】 = （lnlnr）= 此時(shí)該表達(dá)式?jīng)]有確定的值，也就沒有任何意義！ （2）選取導(dǎo)線軸線上為電勢零點(diǎn)，則: V = = ln = （ln0 lnr） 同理，此表達(dá)式也無意義。 （3）選取帶電直導(dǎo)線附近某一點(diǎn)A為電勢零點(diǎn)，則： V = = ln = （lnrAlnr）此時(shí)V具有確定的值，有意義。若選取rA =1為電勢零點(diǎn)，則V = （ln1lnr）

10、= lnr此式是最簡潔的。 V r 由此可見，在遇到無限長均勻帶電直線在其周圍產(chǎn)生的電場的電勢時(shí)，一般選取帶電直線外一個(gè)有限距離確定的點(diǎn)來作為零電勢點(diǎn)。若選取rA=1米時(shí)電勢的表達(dá)式最簡潔。2.4.2電荷面密度為的無限大均勻帶電平面，求距平面為r處P點(diǎn)的電勢。 P r 解：由高斯定理可知，無限大均勻帶電平面的電場強(qiáng)度為： E = （1）選取無窮遠(yuǎn)處的電勢為零，則：V = = 【注：此時(shí)r的指數(shù)0】 此時(shí)V的表達(dá)式是無意義的。 （2）選取電場中有限空間任意場點(diǎn)P0為電勢零點(diǎn)，則： V = = 此時(shí)V有確定的值，有意義。 （3）選取帶電體表面為電勢零點(diǎn)，則： V = = 此時(shí)V也有確定的值，有意義

11、，但此式與上式比較要簡潔的多。綜上所述，若遇到求無限大均勻帶電平面的電勢，選取無窮遠(yuǎn)處為零電勢點(diǎn)是無意義的，可以選取有限空間中任意場點(diǎn)為零電勢點(diǎn)，也可選取該帶電平面它本身為零電勢點(diǎn)。此時(shí)電勢V的表達(dá)式最簡潔，方便我們求解問題。2.4.3半徑為R的無限長圓柱體內(nèi)均勻帶電體電荷體密度為，求柱體內(nèi)外的電勢。 R 解： 由 = 可以求出電場強(qiáng)度的分布： E內(nèi) = E外 = （1）選取無窮遠(yuǎn)處為零電勢點(diǎn)，則： V內(nèi) = = 【注：此時(shí)r的指數(shù)為0】 V外 = + = + = ln + （） 此時(shí)電勢V的表達(dá)式無意義。（2） 選取電場中任意有限空間一點(diǎn)P0為電勢零點(diǎn)，則：V內(nèi) = = （p0 - r）V外

12、 = + = + = ln + （p0 - R）此時(shí)電勢V的表達(dá)式有意義。（3） 選取無現(xiàn)長圓柱軸線上一點(diǎn)為電勢零點(diǎn)，則：V內(nèi) = = -V外 = + = ln 此時(shí)電勢V的表達(dá)式有意義且為最簡形式。綜上所述，若遇到求無限長均勻帶電圓柱體內(nèi)外的電勢分布時(shí)，一般選取軸線上的一點(diǎn)為電勢零點(diǎn)。3物理討論3.1求空間中點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場的電勢分布及電荷分布在有限區(qū)域時(shí)產(chǎn)生的電場的電勢分布的情況時(shí)，我們從無窮遠(yuǎn)的地方看這個(gè)有限區(qū)域時(shí)就可以把該帶電體或者該區(qū)域視為一個(gè)點(diǎn)電荷，比如均勻帶電球面和帶電圓盤等。遇到這種情況一般選取無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，選在源點(diǎn)處沒有任何意義，若選在源點(diǎn)附近的任意場點(diǎn)處雖有意義，但

13、在解題過程中會使電勢的表達(dá)式變得很復(fù)雜，不利于我們解決問題。3.2對于電荷分布在無限大區(qū)域的情況時(shí)，零電勢點(diǎn)一般選在一個(gè)確定的點(diǎn)上。這個(gè)點(diǎn)到底是在導(dǎo)體的表面上還是距離源點(diǎn)附近的場點(diǎn)上要具體問題具體分析。比如無限長的均勻帶電直線的時(shí)候，一般選取帶電直線外一點(diǎn)為零電勢點(diǎn)，最好的情況是選取r=1米的點(diǎn)，此時(shí)電勢V的表達(dá)式最簡單，方便我們求解。如遇到無限大均勻帶電平面時(shí)，一般選取帶電平面為零電勢點(diǎn)最簡潔。若遇到無限長的圓柱帶電體時(shí)，一般選取軸線為零電勢點(diǎn)為最簡潔。4數(shù)學(xué)討論從以上各個(gè)例子我們可以總結(jié)出電勢的一般表達(dá)式為：V = = 從上式可以看出零電勢的選取由m來決定，下面我對r的指數(shù)來討論。4.1當(dāng)m<1時(shí)，只有選取r=0處為零電勢點(diǎn)，即零電勢點(diǎn)選在帶電體表面才有確定的值，才有意義。也就是前面提到的無限大帶電平面的情況。4.2當(dāng)m=1時(shí)，這種情況零電勢點(diǎn)既不能選在無窮遠(yuǎn)處，也不能選在帶電體上，只能選在電場中有限空間的某一點(diǎn)上。比如無限長的帶電直線和無限長的帶電圓柱體這類問題。4.3當(dāng)m>1時(shí)，零電勢點(diǎn)選在無窮遠(yuǎn)處是最好的。比如點(diǎn)電荷以及電荷分布在有限空間的時(shí)候（帶電球