《數(shù)學建?！吩O計性實驗任務書

1、數(shù)學建模設計性實驗任務書實驗：DVD在線租賃學時：4學時實驗目的：通過求解全國大學生數(shù)學建模競賽05年B題，掌握綜合運用數(shù)學軟件求解復雜問題的方法。實驗內(nèi)容：隨著信息時代的到來，網(wǎng)絡成為人們生活中越來越不可或缺的元素之一。許多網(wǎng)站利用其強大的資源和知名度，面向其會員群提供日益專業(yè)化和便捷化的服務。例如，音像制品的在線租賃就是一種可行的服務。這項服務充分發(fā)揮了網(wǎng)絡的諸多優(yōu)勢，包括傳播范圍廣泛、直達核心消費群、強烈的互動性、感官性強、成本相對低廉等，為顧客提供更為周到的服務?？紤]如下的在線DVD租賃問題。顧客繳納一定數(shù)量的月費成為會員，訂購DVD租賃服務。會員對哪些DVD有興趣，只要在線提交訂單，

2、網(wǎng)站就會通過快遞的方式盡可能滿足要求。會員提交的訂單包括多張DVD，這些DVD是基于其偏愛程度排序的。網(wǎng)站會根據(jù)手頭現(xiàn)有的DVD數(shù)量和會員的訂單進行分發(fā)。每個會員每個月租賃次數(shù)不得超過2次，每次獲得3張DVD。會員看完3張DVD之后，只需要將DVDa放進網(wǎng)站提供的信封里寄回（郵費由網(wǎng)站承擔），就可以繼續(xù)下次租賃。請考慮以下問題：1） 網(wǎng)站正準備購買一些新的DVD，通過問卷調(diào)查1000個會員，得到了愿意觀看這些DVD的人數(shù)（表1給出了其中5種DVD的數(shù)據(jù)）。此外，歷史數(shù)據(jù)顯示，60%的會員每月租賃DVD兩次，而另外的40%只租一次。假設網(wǎng)站現(xiàn)有10萬個會員，對表1中的每種DVD來說，應該至少準備

3、多少張，才能保證希望看到該DVD的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該DVD？如果要求保證在三個月內(nèi)至少95%的會員能夠看到該DVD呢？2） 表2中列出了網(wǎng)站手上100種DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當前需要處理的1000位會員的在線訂單（表2的數(shù)據(jù)格式示例如下表2，具體數(shù)據(jù)請從asp下載），如何對這些DVD進行分配，才能使會員獲得最大的滿意度？請具體列出前30位會員（即C0001C0030）分別獲得哪些DVD。（一次分配，每人三張，一共需要3000張，而現(xiàn)有數(shù)量一共有3007張，超出供應）3） 繼續(xù)考慮表2，并假設表2中DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0。如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你如何決定每種DVD的購買量，以

4、及如何對這些DVD進行分配，才能使一個月內(nèi)95%的會員得到他想看的DVD，并且滿意度最大？（一次分配，DVD數(shù)量不夠，需要進行二次分配）4） 如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你覺得在DVD的需求預測、購買和分配中還有哪些重要問題值得研究？請明確提出你的問題，并嘗試建立相應的數(shù)學模型。表1 對1000個會員調(diào)查的部分結(jié)果DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意觀看的人數(shù)200100502510表2 現(xiàn)有DVD張數(shù)和當前需要處理的會員的在線訂單（表格格式示例）DVD編號D001D002D003D004DVD現(xiàn)有數(shù)量10401520會員在線訂單C00016000C00020000C00030

5、003C00040000注：D001D100表示100種DVD, C0001C1000表示1000個會員, 會員的在線訂單用數(shù)字1,2,表示，數(shù)字越小表示會員的偏愛程度越高，數(shù)字0表示對應的DVD當前不在會員的在線訂單中。（注：表2數(shù)據(jù)位于文件B2005Table2.xls中, 可從asp下載）提示：對于問題1，在確定情況下，可假設10萬人中有2萬人愿意觀看DVD1。設需要N張DVD1，則由，可以解出N=6250。在隨機情況下，DVD1的需求數(shù)量是一個隨機變量，滿足二項分布： 其中，n為網(wǎng)站會員總數(shù)10萬；p為每個會員想看DVD1的概率200/1000。在95%的置信水平上，假設至多有M個會員

6、想看DVD1：要求求解出M，并畫出如下圖形：圖1 DVD1準備的數(shù)量與滿足題目條件的概率關系圖2 DVD1準備的數(shù)量與在95%的概率意義上所能滿足題目條件的關系對于問題2，可建立如下0-1規(guī)劃模型：其中cij是偏愛指數(shù)，其中0改成-1，其他數(shù)字如果是c，則用11-c代替。求解以上模型，列出前30個會員具體的分配方案，并畫出如下圖形：圖3 問題2分配方案中會員的相對滿意度對于問題3：網(wǎng)站購買的DVD越多（網(wǎng)站的滿意度越小），會員的滿意度也就越大 。對于每種DVD來說，越多人想看并且修正偏愛指數(shù)越高的DVD應該準備得越多。假設每種DVD需要購買的數(shù)量和該DVD的對應的非負修正偏愛指數(shù)的總和成正比： 計算出具體比例并畫出如下圖形：圖4 各種DVD的購買比率于是，如果確定了DVD總數(shù)，我們便可以確定購買方案，并且可以用問題2中的0-1規(guī)劃模型進行第一次分配。然而，由于我們并不能確切知道分配半個月內(nèi)哪些會員歸還了DVD，所以估算會員的滿意度有一定困難。我們在第一次分配之后，隨機產(chǎn)生60%的會員半個月內(nèi)歸還DVD，然后再次用0-1規(guī)劃模型進行下一次分配，最終計算得出滿意度。由于所給數(shù)據(jù)的均勻性，對于半個月內(nèi)哪60%的會員歸還DVD進行第二次分配對會員的滿意度的影響很小。要求按此思路計算出如下圖表：DVD總數(shù)60610001500200