復(fù)合材料力學(xué)講義

1、復(fù)合材料力學(xué)講義第一部分 簡(jiǎn)單層板宏觀力學(xué)性能1.1 各向異性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變的廣義虎克定律可以用簡(jiǎn)寫符號(hào)寫成為： （11）其中i為應(yīng)力分量，Cij為剛度矩陣j為應(yīng)變分量對(duì)于應(yīng)力和應(yīng)變張量對(duì)稱的情形(即不存在體積力的情況)，上述簡(jiǎn)寫符號(hào)和常用的三維應(yīng)力應(yīng)變張量符號(hào)的對(duì)照列于表11。按表1l，用簡(jiǎn)寫符號(hào)表示的應(yīng)變定義為：表11 應(yīng)力應(yīng)變的張量符號(hào)與簡(jiǎn)寫符號(hào)的對(duì)照注：ij（ij）代表工程剪應(yīng)變，而ij（ij）代表張量剪應(yīng)變（12）其中u，v，w是在x，y，z方向的位移。在方程(12)中，剛度矩陣Cij有30個(gè)常數(shù)但是當(dāng)考慮應(yīng)變能時(shí)可以證明彈性材料的實(shí)際獨(dú)立常數(shù)是少于36個(gè)的存在有彈性位能

2、或應(yīng)變能密度函數(shù)的彈性材料當(dāng)應(yīng)力i作用于應(yīng)變dj時(shí)，單位體積的功的增量為： （13）由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式(11)，功的增量為： （14）沿整個(gè)應(yīng)變積分，單位體積的功為： （15）虎克定律關(guān)系式(11)可由方程(15)導(dǎo)出： （16）于是 （17）同樣 （18）因W的微分與次序無(wú)，所以： （19）這樣剛度矩陣是對(duì)稱的且只有21個(gè)常數(shù)是獨(dú)立的。用同樣的方法我們可以證明： （110）其中Sij是柔度矩陣，可由反演應(yīng)力變關(guān)系式來(lái)確定應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系式為 （111）同理 （112）即柔度矩陣是對(duì)稱的，也只有21個(gè)獨(dú)立常數(shù)剛度和柔度分量可認(rèn)為是彈性常數(shù)。在線性彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的一般表達(dá)式為：（113）實(shí)際

3、上，關(guān)系式(113)是表征各向異性材料的，因?yàn)椴牧闲阅軟](méi)有對(duì)稱平面這種各向異性材料的別名是全不對(duì)稱材料比各向異性材料有更多的性能對(duì)稱性的材料將在下面幾段中敘述各種材料性能對(duì)稱的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式的證明由蔡（Tais）等給出。如果材料有一個(gè)性能對(duì)稱平面應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式可簡(jiǎn)化為（114）對(duì)稱平是z0這種材料稱為單對(duì)稱材料單對(duì)稱材料有13個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。如果材料有兩個(gè)正交的材料性能對(duì)稱平面則對(duì)于和這兩個(gè)平面相垂直的第三個(gè)平面亦具有對(duì)稱性。在沿材料主方向的坐標(biāo)系中的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式是：（115）該材料稱為正交各向異性材料。注意到正應(yīng)力1 2 3和剪應(yīng)變23 31 13之間沒(méi)有像各向異性材料中存在的(例如由C

4、14的存在)相互作用。同樣，剪應(yīng)力和正應(yīng)變之間沒(méi)有相互作用，不同平面內(nèi)的剪應(yīng)力和剪應(yīng)變之間也沒(méi)有相互作用。還注意到在剛度矩陣中現(xiàn)在只剩下9個(gè)獨(dú)立常數(shù)。如果材料的每一點(diǎn)有一個(gè)各個(gè)方向的力學(xué)性能都相同的平面，那末該材料稱為橫觀各向異性材料例如，假定12平面是該特殊的各向同性平面，那末剛度中的下標(biāo)l和2是可以互換的這樣應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式中只有5個(gè)獨(dú)立常數(shù)且可寫成（116）如果材料有無(wú)窮多個(gè)性能對(duì)稱平面那么上述關(guān)系式就簡(jiǎn)化為各向同性材料的情形，此時(shí)剛度炬陣中只有2個(gè)獨(dú)立常數(shù)。 （117）五種最常用的材料性能對(duì)稱情形的應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系式見(jiàn)方程(118)，(119)，(120)，(121)和(122)。各向異性材

5、料(21個(gè)獨(dú)立常數(shù))（118）單對(duì)稱材料(13個(gè)獨(dú)立常數(shù))(對(duì)于z=0的平面對(duì)稱)（119）正交各向異性材料(9個(gè)獨(dú)立常數(shù))(1-20)橫觀各向同性材料(5個(gè)獨(dú)立常數(shù))(1-2平面是各向同性平而) （121）各向同性材料(2個(gè)獨(dú)立常數(shù)) （122）1.2正交各向異性材料的工程常數(shù)工程常數(shù)(也稱技術(shù)常數(shù))是廣義的彈性模量、泊松比和剪切模量以及其它性能常數(shù)這些常數(shù)可用簡(jiǎn)單試驗(yàn)如軸向拉伸和疲勞試驗(yàn)來(lái)確定因而具有明顯的物理解釋這些常數(shù)比上一節(jié)中使用的比較抽象的柔度和剛度矩陣更為直觀。最簡(jiǎn)單的試驗(yàn)是在已知載荷或應(yīng)力下測(cè)量相應(yīng)的位移或應(yīng)變這樣柔度矩陣比剛Sij比剛度矩陣Cij能更直接確定對(duì)正交各向異性材料

6、用工程常數(shù)表示的柔度矩陣為（123）其中E1 E2 E3分別為1，2，3方向上的彈性模量 ij為應(yīng)力在i方向作用時(shí)j方向的橫向應(yīng)變的泊松比即 （124）此處i0，其它應(yīng)力全為零G23 G31 G12依次為23，31，12平面的剪切模量。對(duì)于正交各向異性材料，只有9個(gè)獨(dú)立常量，因?yàn)?（125）這是由于柔度矩陣是方程(19)證明的對(duì)稱剛度矩陣(Cij)的逆陣，當(dāng)用工程常數(shù)代入方程(125)時(shí)，可得 （126）這樣正交各向異性材料必須滿足這三個(gè)互等關(guān)系。只有12 13和23需要進(jìn)一步研究，因?yàn)?2 13和23能用前三個(gè)泊松比和彈性模量來(lái)表達(dá)后三個(gè)泊松比亦不應(yīng)忽視，因?yàn)樵谀承┰囼?yàn)中它們可以測(cè)到在正交各

7、向異性材料中12和21的區(qū)別可用圖11來(lái)說(shuō)明，該圖表示了兩種在單向應(yīng)力作用下的正方形單元。第種情況應(yīng)力作用在圖11的1方向。由方程(120)和(123)得到應(yīng)變?yōu)?（127）所以變形為 圖1-1 12和21的區(qū)別 （128）其中裁荷方向由上標(biāo)表示第二種情況是，伺樣的應(yīng)力值作用在圖21中2方向，可得應(yīng)變?yōu)?（129）而變形為 （130）顯然，如果E1E2，則1122。但是，由互等關(guān)系，不管E1和 E2關(guān)系如何，12=21這是用貝蒂(Betti)定理來(lái)處理各向異性材料的一個(gè)推廣。即當(dāng)應(yīng)力作用在2方向引起的橫向變形(或橫向應(yīng)變)和應(yīng)力作用在1方向引起的相同。由于剛度矩陣和柔度矩陣是互為逆陣，由矩陣代

8、數(shù)可得正交各向異性材料的矩陣之間的關(guān)系為（132）其中 （133）在方程(132)中，符號(hào)S和C在每一處都可互換以得到逆轉(zhuǎn)關(guān)系式用工程常數(shù)表示正交各向異性材料的剛度矩陣Cij可由方程(123)表示的柔度矩陣Sij的求逆得到，或者把Sij代入方程(132)和(133)得到方程(115)中的非零剛度是（134）其中（135）特別指出，假如要明確一種材料是否是正交各向異性的，可以從各種角度進(jìn)行力學(xué)性能試驗(yàn)，看它是否存在剪力耦合影響的方向，由此確定材料是否是正交各向異性的、各向同性的、或是其它的。確定材料主方向的最簡(jiǎn)單方法是直觀法但是，應(yīng)用直觀法材料的特性必須能很容易地用肉眼看出。例如在用硼環(huán)氧帶制成

9、的纖維增強(qiáng)簡(jiǎn)單層板中(圖19)，容易看出縱向就是l方向同樣，2方向在帶平面中垂直于縱向的方向而3方向則由垂直于帶平面定出。1.3 彈性常數(shù)的限制 各向同性材料對(duì)各向同性材料，彈性常數(shù)必須滿足某些關(guān)系式如剪切模量可由彈性模量貝E和泊松比，確定 （136）為了使E和G總是正值，即正的正應(yīng)力或剪應(yīng)力乘上對(duì)應(yīng)的正應(yīng)變或剪應(yīng)變產(chǎn)生正功，于是 （137）同樣，如果各向同性體承受著靜壓力P的作用，體積應(yīng)變(即三個(gè)正應(yīng)變或拉伸應(yīng)變之和)定義為 （138）于是體積模量 （139）是正值只要E是正值，則 （140）因?yàn)槿绻w積模量是負(fù)值，則靜壓力將引起各向同性材料體積膨脹因此對(duì)各向同性材料，泊松比的范圍是 （14

10、1） 正交各向異性材料正交各向異性材料彈性常數(shù)間的關(guān)系較為復(fù)雜為了避免陷入基于各向同性材料工作基礎(chǔ)上的錯(cuò)覺(jué)，那些關(guān)系式應(yīng)認(rèn)真研究，首先，應(yīng)力分量和對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量的乘積表示應(yīng)力所做的功，所有應(yīng)力分量所做的功必須是正值，以免產(chǎn)生能量該條件提供了彈性常數(shù)數(shù)值上的熱力學(xué)限制事實(shí)上對(duì)前面各向同性材料所做的就是這個(gè)限制的結(jié)果該限制由倫普里爾(lempriere)推廣到正交各向異性材料。他要求聯(lián)系應(yīng)力應(yīng)變的矩陣在形式上是正定的，即有正的主值或不變量于是，剛度和柔度矩陣兩者都是正定的這個(gè)數(shù)學(xué)條件可由下述物理論證來(lái)代替，如每次只有一個(gè)正應(yīng)力作用，對(duì)應(yīng)的應(yīng)變由柔度矩陣對(duì)角線元素決定于是，這些元素必須是正的，即 （

11、142）或用工程常數(shù)表示 （143） 同樣，在適當(dāng)?shù)南拗葡?，可能只有一個(gè)拉伸應(yīng)變的變形再則，功只是由相應(yīng)應(yīng)力產(chǎn)生的這樣，由于所作的功是由剛度矩陣的對(duì)角線元素決定的，這些元素必須是正的，即 （144）由方程(134) （145）同時(shí)，因?yàn)檎ň仃嚨男辛惺奖仨毷钦?，?（146）由方程(132)，根據(jù)剛度矩陣是正值導(dǎo)出 （147）利用柔度矩陣的對(duì)稱性方程(112)，得 （148）于是方程(145)可以寫為 （149）如果Sij用工程常數(shù)表示，方程(149)也可以從方程(147)得到同樣，方程(146)可以表示為（150）亦可改寫為（151）為了得到用另外二個(gè)泊松比32和13來(lái)表達(dá)一個(gè)泊松比21界

12、限，方程(151)可進(jìn)一步化為(152)對(duì)32和13可得相似的表達(dá)式。 前述對(duì)正交各向異性材料工程常數(shù)的限制，可以用來(lái)檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，看它們?cè)跀?shù)學(xué)彈性模型的范圍內(nèi)是否與實(shí)際相一致在硼環(huán)氧復(fù)合材料的試驗(yàn)中，迪克森(Dickerson)和戴馬蒂諾(DiMartino)報(bào)道說(shuō)，在1方向加載荷引起2方向應(yīng)變的泊松比(12) 高達(dá)1.97，兩個(gè)方向的彈性模量是E1=11.86*106磅/英寸2，E2=1.33*106磅/英寸2，于是 (153) 和條件 (154)是滿足的。因此，即使我們按照各向同性材料的直覺(jué)知識(shí)不能接受這么大的數(shù)值，但12197卻是一個(gè)合理的數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)沒(méi)有報(bào)道充分的資料以證明行列式條件(

13、246)，這個(gè)條件可能是比較嚴(yán)格的。文獻(xiàn)報(bào)道了另一個(gè)泊松比21為0.22，這個(gè)值滿足對(duì)稱條件或互等關(guān)系(148)。只有測(cè)定的材料性能滿足限制條件，我們才有信心著手用這種材料設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)物。否則，我們就有理由懷疑材料模型或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)，或者二者都懷疑。1.4 正交各向異性簡(jiǎn)單層板的強(qiáng)度 強(qiáng)度概念在描述層合板時(shí)，正交各向異性簡(jiǎn)單層板的強(qiáng)度特性如同剛度特性一樣是一個(gè)重要的基礎(chǔ)。因?yàn)橐玫胶?jiǎn)單層板所有可能方向的強(qiáng)度特性事實(shí)上是不可能的，必須確定一個(gè)方法，以得到用材料主方向的特性表示任意方向上的特性。在此，眾所周知的主應(yīng)力和主應(yīng)變的概念是無(wú)價(jià)值的。這里的中心點(diǎn)是主應(yīng)力和主應(yīng)變是與材料方向無(wú)關(guān)的最大值；應(yīng)力和應(yīng)變

14、的方向?qū)Ω飨蛲圆牧虾翢o(wú)意義。因?yàn)檎桓飨虍愋圆牧系闹鲬?yīng)力軸和主應(yīng)變軸不一定是一致的。還有，在一個(gè)方向的強(qiáng)度比另一個(gè)方向低，所以最大應(yīng)力不一定是控制設(shè)計(jì)的應(yīng)力，必須合理比較實(shí)際的應(yīng)力場(chǎng)和許用的應(yīng)力場(chǎng)。前面幾節(jié)中在剛度關(guān)系方面已完成的工作可用作計(jì)算實(shí)際應(yīng)力場(chǎng)的基礎(chǔ)，尚待確定的是許用應(yīng)力場(chǎng)。建立在材料主方向的許用應(yīng)力或強(qiáng)度，是研究正交各向異性簡(jiǎn)單層板強(qiáng)度的基礎(chǔ)。對(duì)于應(yīng)力作用在其自身平面內(nèi)的簡(jiǎn)單層板，如果簡(jiǎn)單層板的拉伸強(qiáng)度和壓縮強(qiáng)度是相等的，它具有三個(gè)基本強(qiáng)度：X軸向或縱向強(qiáng)度Y橫向強(qiáng)度S剪切強(qiáng)度(單位：力面積，即許用應(yīng)力)。這些強(qiáng)度的方向表示在圖12中；顯然，這些強(qiáng)度是應(yīng)力1、2、12。單獨(dú)作用的

15、結(jié)果圖12 單向增強(qiáng)簡(jiǎn)單層板基本強(qiáng)度的確定X=50000磅/英寸2Y=1000磅/英寸2S=2000磅/英寸2根據(jù)纖維的方向，像強(qiáng)度一樣剛度在l方向高而在2方向低。假定在12平面內(nèi)的應(yīng)力是1=45000磅/英寸22=2000磅/英寸212=1000磅/英寸2那末，最大主應(yīng)力顯然低于最大強(qiáng)度。然而，2比Y大，這樣簡(jiǎn)單層板必定在所加應(yīng)力下破壞。在正交各向異性簡(jiǎn)單層扳中，要注意的關(guān)鍵是強(qiáng)度是應(yīng)力方向的函數(shù)。相反，對(duì)各向同性材料，強(qiáng)度和施加于物體上的應(yīng)力方向無(wú)關(guān)。如果材料的拉伸和壓縮性能不相等（多數(shù)復(fù)合材料都是如此)，那末下述強(qiáng)度是必須的：Xt軸向或縱向拉好強(qiáng)度XC軸向或縱向壓縮強(qiáng)度Yt橫向拉伸強(qiáng)度Y

16、c橫向壓縮強(qiáng)度，S剪切強(qiáng)度上述強(qiáng)度必須定義在材料主方向上。材料主方向的剪切強(qiáng)度和拉伸與壓縮性能的差別無(wú)關(guān)，它必須由純剪應(yīng)力確定。即對(duì)于拉伸和壓縮呈現(xiàn)不同性能的材料，不管剪應(yīng)力是正的還是負(fù)的，都具有相同的最大值。觀察圖13中單向增強(qiáng)簡(jiǎn)單層板上作用著正的或負(fù)的剪應(yīng)力，可知上述陳述是合理的。剪應(yīng)力正負(fù)的規(guī)定和帕加諾與周(Chou)的規(guī)定是一致的。在圖13中，標(biāo)明了正的和負(fù)的剪應(yīng)力的應(yīng)力場(chǎng)之間沒(méi)有區(qū)別。這兩個(gè)應(yīng)力場(chǎng)彼此鏡面對(duì)稱。即使用圖13的下半部分來(lái)檢驗(yàn)主應(yīng)力時(shí)也是如此。于是在兩種情況下的剪應(yīng)力的最大值是相同的。 圖13在材料主方向上的剪應(yīng)力 圖14 在和材科主方向成45o角的剪應(yīng)力但是，在非材料主

17、方向上的剪應(yīng)力的最大值依賴于剪應(yīng)力的符號(hào)。例如，在和材料主方向成45o時(shí)，正的和負(fù)的剪應(yīng)力在纖維上產(chǎn)生符號(hào)相反的正應(yīng)力，如圖14所示。圖中對(duì)于正的剪應(yīng)力，纖維方向有拉伸應(yīng)力，而垂直纖維的方向上有壓縮應(yīng)力對(duì)于負(fù)的剪應(yīng)力，纖維方向存在著壓縮應(yīng)力，而拉伸應(yīng)力垂直于纖維然而材料的法向強(qiáng)度和法向剛度在拉伸和壓縮時(shí)是不同的。因此對(duì)于作用在和材料主方向成45o的正的和負(fù)的剪應(yīng)力的表觀剪切強(qiáng)度和剪切剛度是不同的。這個(gè)道理可以由簡(jiǎn)單的單向增強(qiáng)簡(jiǎn)單層板推廣到織物材料。上述例子只是分析具有不同拉伸和壓縮性能的正交各向異性材料所遇到的因難之一。此外這個(gè)例子也說(shuō)明了，在材料主方向上的那些基本資料是怎樣轉(zhuǎn)換到其它有用的依

18、賴于所考慮的應(yīng)力場(chǎng)坐標(biāo)的方向這樣的轉(zhuǎn)換僅僅指出不管是強(qiáng)度還是剛度，這些基本資料是張量形式的，因此服從張量轉(zhuǎn)換的常用規(guī)則。對(duì)于拉伸和壓縮具有不同強(qiáng)度和剛度的材料的這個(gè)課題，不準(zhǔn)備探入研究(除了報(bào)道不同強(qiáng)度之外)，因?yàn)閷?duì)這種材料的研究仍處于初始階段但是這個(gè)課題對(duì)于一般的復(fù)合材料是十分重要的，即使不是纖維增強(qiáng)層合復(fù)合材料。 強(qiáng)度和剛度的實(shí)驗(yàn)確定對(duì)于拉伸和壓縮性能相等的正交各向異性材料，可以進(jìn)行一定的基本試驗(yàn)來(lái)得到材料主方向的性能。如果正確地進(jìn)行試驗(yàn)，一般可以同時(shí)求得材料的強(qiáng)度和剛度特性剛度特性是述月E1 E2 12 21中只有三個(gè)是獨(dú)立的強(qiáng)度特性是X軸向或縱向強(qiáng)度(1方向)Y橫向強(qiáng)度(2方向)S剪切

19、強(qiáng)度(12平面內(nèi))通過(guò)下述幾個(gè)試驗(yàn)，可以得到上述的基本剛度和強(qiáng)度數(shù)據(jù)。試驗(yàn)的基本原則是，當(dāng)載荷從零增至極限載荷或破壞載荷時(shí)，材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的這樣的線性關(guān)系對(duì)玻璃環(huán)氧復(fù)合材料是典型的，對(duì)于硼環(huán)氧復(fù)合材料也是十分合理的。而剪切性能卻完全是非線性的，直到破壞為止。這個(gè)到破壞為止的線彈性特性和直到塑性開(kāi)始之前呈現(xiàn)線彈性性能的物體的分析是完全相似的因此塑性理論的某些概念例如屈服函數(shù)，對(duì)于強(qiáng)度理論是有用的模擬，這點(diǎn)將在后面討論。簡(jiǎn)單層板的剛度和強(qiáng)度特性的試驗(yàn)測(cè)定中的關(guān)鍵，是使試件承受均勻應(yīng)力狀態(tài)。對(duì)于各向同性材料達(dá)樣的加裁是比較容易的。然而，對(duì)于正交各向異性復(fù)合材料當(dāng)載荷作用在非材料主方向時(shí)此時(shí)

20、的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式由方程(155) 給出，這個(gè)正交各向異性性能將導(dǎo)致：(1)正應(yīng)力和剪應(yīng)變(2)剪應(yīng)力和正應(yīng)變(3)正應(yīng)力和彎曲曲率(4)彎曲應(yīng)力和正應(yīng)變之間出現(xiàn)藕合影響這樣為了保證得到所期望的數(shù)據(jù)，必須特別謹(jǐn)慎。(155)首先考慮一單向增強(qiáng)簡(jiǎn)單層板平片在1方向的單向拉伸試驗(yàn)如圖15所示。在這個(gè)試驗(yàn)中測(cè)量應(yīng)變1和2，由定義： (156)其中A是垂直于作用載荷的試件橫截面積。第二，考慮一單向增強(qiáng)簡(jiǎn)單層扳平片在2方向的單向拉伸試驗(yàn)如圖16所示像第一種試驗(yàn)?zāi)菢?，測(cè)出1和2，這樣 (157)其中A也是垂直于作用載荷的試件橫截面積。圖15在1方向作用單向載荷 圖16在2方向作用單向載荷此時(shí)，剛度性能必須滿

21、足互等關(guān)系式： (158)否則就存在著三種可能性(1)測(cè)量的數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確(2)進(jìn)行的計(jì)算有錯(cuò)誤(3)材料不能夠用線彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式描述 第三考慮一簡(jiǎn)單層板平片，在和l方向成45o角的單向拉伸試驗(yàn)如圖17所示。單獨(dú)測(cè)量x，顯然 (157)應(yīng)用方程(159)中轉(zhuǎn)換關(guān)系式 (158) (159) 其中，只有G12是未知的。于是 (160)對(duì)于強(qiáng)度，不存在像方程(160)一樣的關(guān)系式因?yàn)閺?qiáng)度沒(méi)有必要像剛度一樣轉(zhuǎn)換因此，不可能依賴這個(gè)試驗(yàn)來(lái)決定極限剪應(yīng)力S，因?yàn)榘殡S的剪切破壞并不引起純剪切變形所以，必須考慮得到S的其它方法。(161)然而，在轉(zhuǎn)到?jīng)Q定剪切強(qiáng)度的其它方法之前，評(píng)論進(jìn)行第三種試驗(yàn)的難易程度是

22、合適的。顯然，由方程(161)可見(jiàn)，由于S16的存在，在正應(yīng)力x和剪應(yīng)變xy之間存在著藕合影響這樣，雖然只有P力表示在圖17中，試驗(yàn)并不能正確地進(jìn)行，除非作用力是均勻地橫貫于端部，且簡(jiǎn)單層板的端部像圖18的左圖那樣自由變形否則，如果簡(jiǎn)單層板的端部嵌在試驗(yàn)機(jī)中，并作用著合力P則簡(jiǎn)單層板將由剪切變形受到限制而扭曲成如圖18右圖中的形式如果和寬度相比試件足夠長(zhǎng)，在這種試件的中部，其變形相似于圖18所示的沒(méi)有限制的簡(jiǎn)單層板的剪切和拉伸。這就是說(shuō)，遠(yuǎn)離圣紹南(gtvenant)端部效應(yīng)，試驗(yàn)的方式是無(wú)關(guān)緊要的然而在正常情況下，我們不能選用足夠多的材料來(lái)得到有用的標(biāo)距段。圖17單向裁荷作用在和1方向成45

23、o角 圖18載荷自纖維成45o角的單向增強(qiáng)簡(jiǎn)單層扳的變形圖17和18表示的非鈾向試驗(yàn)的另一個(gè)特性，實(shí)際上不是測(cè)彈性模量Ex，而是測(cè)量了轉(zhuǎn)換后的二維剛度Q11除非試件有高的長(zhǎng)寬比。這個(gè)矛盾的原因在于，在試件中幾何上容許的應(yīng)變狀態(tài)強(qiáng)烈地依賴于幾何形狀。如果試件是長(zhǎng)而細(xì)的，按照圣維南原理，試件端部夾緊的邊界條件是不重要的因此可以得到純粹的單向應(yīng)變： (162) 然而，對(duì)短而粗的試件端部限制：x0，y=xy =0將導(dǎo)致應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系： (163) 讀者可利用所述條件和推導(dǎo)x的關(guān)系來(lái)證明方程(162)和(163)。方程（262）的Ex和方程(163)中的Q11的區(qū)別是顯著的，它可通過(guò)石墨環(huán)氧試件的圖19得

24、到最好的說(shuō)明圖中，對(duì)于和纖維方向成30o角的非軸向試驗(yàn)，Q11的值比Ex大10.4倍Q66和Qxy相比亦存在相似的差別。對(duì)于E1E2的值較低的材料，Q11和Ex之間的差別是較小的Q11和Ex之間的差別的實(shí)際意義是非軸向試件的長(zhǎng)寬比必須足夠大以保證測(cè)量的是Ex而不是Q11。圖19 剛度圓Q66和Qxy與彈性模量Gxy和Ex 的比較討論的最后一個(gè)試驗(yàn)實(shí)際上包括測(cè)定剪切模量和強(qiáng)度的一組試驗(yàn)。討論了幾個(gè)試驗(yàn)。因?yàn)槊恳粋€(gè)試驗(yàn)都有缺點(diǎn)而且在某種程度上，它們沒(méi)有被普遍承認(rèn)為是最好的剪切性能試驗(yàn)。由惠特尼，帕加諾和派普斯描述的管子扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)簡(jiǎn)明地表示在圖110中。圖中，薄的圓管在兩端承受扭矩T管子由全部平行于管

25、軸，或者全部周向的多層纖維薄片組成。如果管壁很薄，有理由確信在整個(gè)壁厚內(nèi)是等應(yīng)力狀態(tài)的。然而，由于管壁簿，端部夾固困難。通常，管子的端部由附加膠按層來(lái)加厚，以使加栽時(shí)，破壞發(fā)生在管子中間的均勻應(yīng)力部分。制造扭轉(zhuǎn)試件管子的費(fèi)用高，且需要比較完善的測(cè)試設(shè)備如果測(cè)得在剪應(yīng)力12作用下的剪應(yīng)變12則 (164) (165)也可得到應(yīng)力應(yīng)變曲線的線性部分的剪切彈性模量 (166)然而，典型的剪應(yīng)力剪應(yīng)變曲線是完全非線性的，如圖110所示因此，如像韓(Hahn)和蔡(tsai)所做的那樣，在實(shí)際分析中應(yīng)該用完全的應(yīng)力應(yīng)變曲線代替初始“彈性”模量。盡管如此，大多數(shù)復(fù)合材料仍然是用方程(166)給出的初始彈性

26、模量進(jìn)行分析的。圖110 管子扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)另一個(gè)用來(lái)測(cè)量復(fù)合材料剪切模量和剪切強(qiáng)度的試驗(yàn)是肖克(Shockey)提供的“十字梁”試驗(yàn)，他評(píng)價(jià)的復(fù)合材料簡(jiǎn)單層板為夾層梁的面板，梁的芯子的彈性模量約比簡(jiǎn)單層板小二個(gè)數(shù)量級(jí)。如圖111表示的承受著載荷的十字梁。這樣產(chǎn)生了一個(gè)薄膜應(yīng)力狀態(tài)，與x抽成45o方向，可能是均勻純剪應(yīng)力。然面由于交叉角處的應(yīng)力集中，均勻應(yīng)力狀態(tài)只是在十字中心才達(dá)到。破壞在交叉角處開(kāi)始。所以十字梁試驗(yàn)不是一個(gè)合適的測(cè)量剪切強(qiáng)度和剪切剛度的方法。 還有一種剪切強(qiáng)度和剪切剛度試驗(yàn)，它是由惠特尼(Whitney)，斯坦斯巴杰(Stansbarger)和豪厄爾(howell)所描述的 “軌道

27、剪切”試驗(yàn)。用兩根軌道在簡(jiǎn)單層板兩對(duì)邊用螺栓連結(jié)起來(lái)，如圖112所示，一對(duì)在層合板的頂部伸出而另一對(duì)在層合板的底部伸出，組合件放置在萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)加載夾頭之間加壓。這樣，簡(jiǎn)單層板中引起剪切，考慮到端部影響(例如簡(jiǎn)單層板頂部和底部的自由邊)，這種試件的幾何形狀必須仔細(xì)選擇。這些和其它一些影響可能導(dǎo)致測(cè)定的強(qiáng)度低于實(shí)際情況。盡管如此“軌道剪切”試驗(yàn)在航空工業(yè)中是廣泛應(yīng)用的，因?yàn)樗?jiǎn)單、便宜而且還能用來(lái)做高低溫的試驗(yàn)。圖111 夾層十字梁試驗(yàn) 圖112 “軌道剪切”試驗(yàn) 第二部分 簡(jiǎn)單層板的微觀性能2.1 剛度的材料力學(xué)分析方法材料力學(xué)方法的主要特點(diǎn)是對(duì)復(fù)合材料的力學(xué)性能作一些簡(jiǎn)化假設(shè)。最主要的假設(shè)是：

28、在單向纖維復(fù)合材料中，纖維和基體在纖維方向的應(yīng)變是一致的，如圖21所示，由于基體和纖維的應(yīng)變是相同的，顯然垂直于1軸的截面在承載前是平面，在承載后仍是平面上述假設(shè)是材料力學(xué)方法最基本的假設(shè)，如在梁、板和殼體理論中常用的那樣。在此基礎(chǔ)上，我們將導(dǎo)出單向纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的表觀正交各向異性彈性模量的材料力學(xué)表達(dá)式。圖21 在1方向承裁的代表性體積單元 E1 的確定要確它的第一個(gè)彈性模量是在復(fù)合材料的1方向上，即纖維方向的彈性模量。由圖21 （21）根據(jù)基本假設(shè)，式中1適用于纖維和基體兩者的應(yīng)變。如果兩種組分材料都處于彈性狀態(tài)，則應(yīng)力是 （22）平均應(yīng)力1作用在描截面A上，f作用在纖維的橫截面Af上，

29、m作用在基體的橫截面Am上。作用在復(fù)合材料單元上的合力是 （23）將(22)式代入(23)式并認(rèn)為 （24）顯然 （25）纖維和基體的體積比可寫成 （26）這是纖維方向表現(xiàn)彈性模量的混合律表達(dá)式，混合律如圖22所示?；旌下杀硎?，當(dāng)Vf從0l變化時(shí)，表現(xiàn)彈性模量E1從Em線性變化到Ef圖22 E1隨纖維體積含量的變化 圖23在2方向承載的代表性體積單無(wú) E2 的確定下面研究垂直于纖維方向的“表觀”彈性模量E2。在材料力學(xué)方法中，假定纖維和基體承受著同一個(gè)橫向應(yīng)力2，如圖23所示。因此纖維和基體的應(yīng)變是 （28）f作用的橫向尺寸近似乎均值為Vf W。作用的為VmW?？偟臋M向變形為 （29）或 （2

30、10）用(28)式代入后，它成為 （211）但 （212）因此 （213）這是在垂直纖維方向的表觀彈性模量的材料力學(xué)表達(dá)式。方程(313)可以無(wú)量綱化，成為 （214）表3給出了三個(gè)基體對(duì)纖維模量比E2Em值表31 對(duì)不同EmEf 和Vf值給出E2Em值在圖24中，如果Vf1，則預(yù)測(cè)的模量即為纖維模量。如果作用的是拉伸應(yīng)力2，那就意味著纖維之間的粘結(jié)是理想的如果作用的是壓縮應(yīng)力2，并不意味著要這種粘結(jié)。即使在Ef10 Em時(shí)，需要50%以上的纖維體積含量才能使橫向模量提高到基體模量的兩倍。這就是說(shuō)，除非纖維的百分比很高，否則纖維對(duì)橫向模量的提高不能起大的作用。顯然，上述推導(dǎo)中包括的假設(shè)并不是完全一致性的按照(28)式，在纖維和基體界面上的橫向應(yīng)變是不一致的，而且纖維和樹(shù)脂的橫向應(yīng)力也不相同。相反垂直于纖維和基體邊界面上的位移完全一致將形成