天津大學生數學競賽

1、 2011年天津市大學數學競賽試題(理工類)一. 填空題（本題15分，每小題3分）:1. 設是連續(xù)函數, 且, 則2. 設 , 若則3.4. 設是連續(xù)函數, 且其中由x軸、y軸以及直線圍成, 則5. 橢球面平行于平面的切平面方程為和二. 選擇題（本題15分，每小題3分）:1. 設則在處(A) , (B) , (C) , (D) 不可導. 答: (A)2. 設函數具有二階導數, 且滿足方程已知則(A) 在的某個鄰域中單調增加, (B)在的某個鄰域中單調增少, (C)在處取得極小值, (D) 在處取得極大值.答: ( C) 3. 圖中曲線段的方程為, 函數在區(qū)間上有連續(xù)的導數, 則積分表示 (A)

2、直角三角形AOB的面積, (B) 直角三角形AOC的面積, (C) 曲邊三角形AOB的面積, (D) 曲邊三角形AOC的面積. 答: (D)4. 設在區(qū)間上的函數且令則(A) (B) (C) (D) 答: (C ) 5. 設曲面取上側為正,是在的部分, 則曲面積分(A) (B) (C) (D) 答: (B) 三. (6分) 設函數其中函數處處連續(xù). 討論在處的連續(xù)性及可導性. 解因此, 在處連續(xù).因此, 在處可導, 且四. (6分) 設函數由方程確定, 又函數由方程確定, 求復合函數的導數解方程兩邊對求導當t=0時, x=0, 故方程兩邊對x求導當時,故因此,五. (6分) 設函數在上二階可導

3、，且，記，求的導數，并討論在處的連續(xù)性.解由已知的極限知從而有當時, 從而有因為所以, 在處連續(xù).當時,在處, 由有所以, 而故在處連續(xù).六. (7分) 設函數在上可導, 且滿足: () 研究在區(qū)間的單調性和曲線的凹凸性. () 求極限解() 當時, 有故在區(qū)間單調增加. 從而當時, 也單調增加. 可見, 曲線在區(qū)間向下凸.(或當時, 可得可見, 曲線在區(qū)間向下凸. ) () 由題設知, 應用洛必達法則七. (7分) 設在上具有連續(xù)導數, 且試證證令則在連續(xù), 且對,又由題設知, 當時, 令則在上連續(xù), 且故有因此于是在上單調增加, 取, 即得所證結論成立.八. (7分) 設函數具有二階導數,

4、 且直線是曲線上任意一點處的切線, 其中記直線與曲線以及直線所圍成的圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積為試問為何值時取得最小值.解切線的方程為即于是可見, 在連續(xù), 在可導. 令,由于在內有唯一的駐點并且, 當時, ; 當時, 因此, 在處取得最小值.九. (7分) 計算其中為從點沿圓周在第一象限部分到點的路徑.解令則取點作有向直線段其方程為從0變到1).作有向直線段其方程為從0變到1). 由曲線、有向直線段和形成的閉曲線記為(沿順時針方向), 所圍成的區(qū)域記為, 則十. (8分) 設（1）有向閉曲線是由圓錐螺線：，（從0變到）和有向直線段構成，其中，；（2）閉曲線將其所在的圓錐面劃分成兩部分，

5、是其中的有界部分. （）如果表示一力場，求沿所做的功；（）如果表示流體的流速，求流體通過流向上側的流量. (單位從略）解（）作有向直線段其方程為從變到0).所求沿所做的功為.（）所在的圓錐面方程為，曲面上任一點處向上的一個法向量為在面上的投影區(qū)域為, 在極坐標系下表示為:故所求流體通過流向上側的流量為.注: ()的另一解法應用Stokes公式，可得.十一. (8分) 設函數在心形線所圍閉區(qū)域上具有二階連續(xù)偏導數, 是在曲線上的點處指向曲線外側的法向量(簡稱外法向), 是沿的外法向的方向導數, 取逆時針方向. () 證明: () 若求的值.() 證由方向導數的定義其中, 是相對于x軸正向的轉角.設是L的切向量相對于x軸正向的轉角, 則或故() 解應用格林公式由對稱性十二.(8分) 設圓含于橢圓的內部, 且圓與橢圓相切于兩點(即在這兩點處圓與橢圓都有公共切線).() 求與滿足的等式; () 求與的值, 使橢圓的面積最小.解 () 根據條件可知, 切點不在軸上. 否則圓與橢圓只可能相切于一點. 設圓與橢圓相切于點, 則既滿足橢圓方程又滿足圓方程, 且在處橢圓的切線斜率等于圓的