定積分的求法與應(yīng)用

1、摘要由于定積分在數(shù)學(xué)中的重要地位，對于定積分的求法和應(yīng)用的研究就有不可低估的作用。首先，本文主要根據(jù)定積分的定義、性質(zhì)、被積函數(shù)的奇偶性和對稱性、以及某些具有特征的函數(shù)總結(jié)了牛頓萊布尼茲公式、換元法、分部積分、湊微分、數(shù)學(xué)軟件Mathematic等方法；其次，對于定積分的應(yīng)用，在本文中歸納總結(jié)了數(shù)學(xué)應(yīng)用，如求面積、體積、平面曲線的弧長、數(shù)學(xué)建模、在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用等和物理應(yīng)用，如功、求液體對平面薄板的壓力等以及在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：定積分；分部積分；極限；弧長AbstractDue to the important position of the definite integral in

2、 the mathematics, researching on methods and the application of the definite integral can not be underestimated. Firstly, in this paper, according to the definition, the nature, the integrand parity and symmetry of the definite integral ,and certain characteristics of the function,I summarize Newton

3、 Leibnitz formula, changing element method, integration by parts, gather together differential methods and Mathematical software Mathematic; Secondly, for the application of the definite integral in this article ,I summarize the application of mathematics, such as beg of area, volume, arc length of

4、the plane curve，mathematical modeling ,the application in elementary mathematics and physics application, such as power, letting the pressure plate to plane liquid such as well as the application in economics. Keywords:the definite integral;integration by parts;limition; arc length 目錄第1章引言1第2章定積分的求法

5、12.1 定積分概念12.2 定積分的求法22.2.1 運(yùn)用定義求定積分22.2.2 運(yùn)用幾何意義求定積分22.2.3 運(yùn)用牛頓萊布尼茨公式求定積分32.2.4 運(yùn)用換元積分法求定積分32.2.5 運(yùn)用分部積分法求定積分42.2.6 運(yùn)用湊微分法求定積分52.2.7 運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件Mathematic求定積分6第3章定積分的應(yīng)用63.1 定積分的數(shù)學(xué)應(yīng)用63.1.1 求平面圖形的面積63.1.2 由平面截面面積求體積83.1.3 求平面弧長93.1.4 在數(shù)學(xué)建模中的簡單應(yīng)用103.1.5 在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用103.2 定積分的物理應(yīng)用113.2.1 變力作功11液體靜壓力123.3 定積分的經(jīng)

6、濟(jì)應(yīng)用13第4章結(jié)論14第5章參考文獻(xiàn)15第6章致謝16定積分的求法與應(yīng)用作者：雷蕾 指導(dǎo)老師：王勇第1章 引言目前，對于定積分的求法和應(yīng)用的研究是比較全面和完善的。但是，對于定積分的求法與應(yīng)用的研究沒有停止，了解了定積分的基本概念后，我們要學(xué)會總結(jié)歸納定積分的一般性求法以及具有特殊特征的函數(shù)的求法。同時(shí)，將定積分應(yīng)用于數(shù)學(xué)問題的求解中以及物理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)的實(shí)際問題中是非常必要的。理論聯(lián)系實(shí)際，對于生活中出現(xiàn)的現(xiàn)象，學(xué)會用定積分求解也是一種非常重要的工具。第2章定積分的求法2.1 定積分概念定義1：設(shè)閉區(qū)間,上有個(gè)點(diǎn)，依次為=<<<<<=,它們把,分成個(gè)小區(qū)間=,

7、=1,2,.這些分點(diǎn)或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對,的一個(gè)分割，記為,或,。（詳見13）定義2：設(shè)是定義在,上的一個(gè)函數(shù)。對于,的一個(gè)分割,，任取點(diǎn), =1,2,，并作和式，稱此和式函數(shù)在,上的一個(gè)積分和。（詳見13）定義3：設(shè)是定義在,上的一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)。若對任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對,的任何分割，以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要<,就有，則稱函數(shù)在區(qū)間,上可積；數(shù)在,上的定積分，記作.其中，稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，,稱為積分區(qū)間，、分別稱為這個(gè)定積分的下限和上限。（詳見13）2.2 定積分的求法2.2.1運(yùn)用定義求定積分首先，我們考慮用定積分的定義來求解。根據(jù)定義，分三步

8、求解：將,分成個(gè)小區(qū)間，求得分割；近似求和；取極限.例1 用定義計(jì)算.解 （1）分割 把等分，=， （2）近似求和 取=，=（3）取極限= 說明：這種利用定義，“三步走”的方法，求出積分和的極限來計(jì)算定積分一般而言是比較困難的。下面會介紹幾種簡便的方法。2.2.2 運(yùn)用幾何意義求定積分定積分的幾何意義：連續(xù)曲線在,上形成的曲邊梯形面積為；對于,上的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，定積分的幾何意義就是該曲邊梯形的面積；當(dāng)，時(shí)，這時(shí)是位于軸下方的曲邊梯形面積的相反數(shù)，稱為“負(fù)面積”。（詳見1）例2 利用定積分的幾何意義，證明.解 令，顯然， 則由和直線，所圍成的曲邊梯形是單位圓位于軸上方的半圓.如圖1所示.因?yàn)?/p>

9、 單位圓的面積，所以 半圓的面積為.由定積分的幾何意義知： .說明：對于一般圖形的表達(dá)式，能夠清楚地畫出在坐標(biāo)軸中的圖像。然后求出在上下限所規(guī)定的范圍內(nèi)，圖像表示的面積，就可得出定積分的結(jié)果。推廣：對于本題中將上下限改為，則半圓的面積為，即定積分的值。這種方法是十分直接簡單的。2.2.3 運(yùn)用牛頓萊布尼茨公式求定積分定理1 若函數(shù)在,上連續(xù)，且存在原函數(shù)，即，則在,上可積，且.這稱為牛頓萊布尼茨公式，也常寫成.（詳見1） （1）例3 利用牛頓萊布尼茨公式計(jì)算.解 由公式（1） 說明：題中函數(shù)的原函數(shù)為，. 牛頓萊布尼茨公式解題法，首先要求用不定積分求出函數(shù)的原函數(shù)，然后利用公式即可算出。這種方

10、法不僅為定積分計(jì)算提供了一個(gè)有效地方法，而且在理論上把定積分與不定積分聯(lián)系了起來。2.2.4 運(yùn)用換元積分法求定積分定理2 若函數(shù)在,上連續(xù)，在上連續(xù)可微，且滿足，則有定積分換元公式：.（詳見12） (2)例4 計(jì)算.解 令，當(dāng)從變成時(shí)，從增到。于是由公式（2）及得到+- 對最末的第二個(gè)定積分作變換，有=， 它與上面的第三個(gè)定積分相消，故得=. 說明：事實(shí)上，例4中的被積函數(shù)的原函數(shù)雖然存在，但是難以用初等函數(shù)來表示，因此無法直接使用牛頓萊布尼茨公式?？墒峭ㄟ^用定積分的性質(zhì)和公式（2），消去了其中無法求出原函數(shù)的部分，最終得出這個(gè)定積分的值。2.2.5 運(yùn)用分部積分法求定積分定理3 若為,上的

11、連續(xù)可微函數(shù)，則有定積分分布積分公式：.（詳見1） （3）例5 計(jì)算.解 由公式（3）=說明：本例題5中，令=，代入公式即可立刻算出結(jié)果。若被積函數(shù)是冪函數(shù)乘以對數(shù)函數(shù)，一般情況考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)為。（詳見4）例6 計(jì)算.解 令=，代入公式（3）得，=例7計(jì)算解 令，代入公式（3）得，=說明：由例題6和例題7可看出，若被積函數(shù)是冪函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)或者冪函數(shù)乘以正（余弦函數(shù)，設(shè)冪函數(shù)為，使得其降冪一次。（詳見4）2.2.6 運(yùn)用湊微分法求定積分定理4 設(shè)函數(shù)在上有定義，在上可導(dǎo)，則函數(shù)。若在上存在原函數(shù)，則在上也有原函數(shù)，即（詳見2） (4)例8計(jì)算解 = =說明：本例題中湊微分，利用

12、，然后通過換元令就可以得到最簡單的積分公式，結(jié)果也就出來了。（詳見4）例9 計(jì)算解 = = = =說明：當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分。（詳見4） 運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件Mathematic求定積分基本原理：（1）使用矩陣法求定積分，即定義的三步求解：將,分成個(gè)小區(qū)間，求得分割；近似求和；取極限 （2）用牛頓萊布尼茨公式。上面已經(jīng)詳細(xì)敘述原理內(nèi)容。定積分的應(yīng)用中需要使用的Matheatic語句：Sum(總和)，NSum(總和的近似值)，Integratef,x,a,b（求定積分），NIntegratef,x,a,b（求定積分的近似值），N(表達(dá)式的近似值)例10用數(shù)學(xué)軟件求定積分.解 定

13、義函數(shù)和式，計(jì)算和式的數(shù)值，輸入以下語句： tn:=NSumExpi/n/n,i,1,n求出t100 t500 t1000 t5000 t10000 t50000 t100000 t500000就可以確定定積分的近似值了。 再輸入以下語句得到結(jié)果，NIntegrateExpx,x,0,1與上面的數(shù)值加以比較。 用牛頓萊布尼茨輸入以下語句： bx:=IntegrateExpx,x Nb1-b0加以驗(yàn)證。第3章 定積分的應(yīng)用3.1 定積分的數(shù)學(xué)應(yīng)用3.1.1求平面圖形的面積（1）直角坐標(biāo)系下面積的計(jì)算由曲線和直線所圍成曲邊梯形的面積.求由兩條曲線，及直線所圍成平面的面積（如圖2所示）.下面用微元法

14、求面積.取為積分變量，.在區(qū)間上任取一小區(qū)間，該區(qū)間上小曲邊梯形的面積可以用高，底邊為的小矩形的面積近似代替，從而得面積元素. 寫出積分表達(dá)式，即.（詳見7）（5）例11求曲線與所圍圖形的面積.解 畫出所圍的圖形（如圖3所示）。由方程組得兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，取為積分變量，.將兩曲線方程分別改寫為得所求面積為 .說明：對于直角坐標(biāo)系內(nèi)的平面圖形面積，一般先接觸交點(diǎn)坐標(biāo)，確定定積分的上下限。其次，用公式（5）代入，可以算出面積了。（2）極坐標(biāo)系下面積的計(jì)算設(shè)曲邊扇形由極坐標(biāo)方程與射線所圍成（如圖4所示）.下面用微元法求它的面積A.以極角為積分變量，它的變化區(qū)間是，相應(yīng)的小曲邊扇形的面積近似等于半

15、徑為，中心角為的圓扇形的面積，從而得面積微元為于是，所求曲邊扇形的面積為 .（詳見7）（6） 例12計(jì)算心形線所圍圖形的面積（如圖5）.解 此圖形對稱于極軸，因此所求圖形的面積是極軸上方部分圖形面積的兩倍.對于極軸上方部分圖形，取為積分變量， ，由對稱性及公式（6）得：.說明：對于一般的幾何圖形，知道其極坐標(biāo)方程的表示方法。然后，根據(jù)題目確定極角的范圍，再由公式（6）代入，解定積分就可以得出結(jié)果。3.1.2 由平面截面面積求體積設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線和直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成.取為積分變量，它的變化區(qū)間為，在上任取一小區(qū)間，相應(yīng)薄片的體積近似于以為底面圓半徑，為高的小圓柱體的體積

16、，從而得到體積元素為，于是，所求旋轉(zhuǎn)體體積為.（詳見7）（7）例13求由橢圓繞軸及軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解 (1)繞軸旋轉(zhuǎn)的橢球體如圖6所示,它可看作上半橢圓與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成.取為積分變量,由公式所求橢球體的體積為.(2)繞軸旋轉(zhuǎn)的橢球體,可看作右半橢圓與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成（如圖7所示）,取為積分變量, ,由公式所求橢球體體積為.當(dāng)時(shí),上述結(jié)果為,這就是大家所熟悉的球體的體積公式.3.1.3 求平面弧長（1）直角坐標(biāo)系下弧長的計(jì)算定理5 設(shè)平面曲線由參數(shù)方程給出。若為一條光滑曲線，則是可求長的，且弧長為.（詳見1）(8)例14 線一拱的弧長。解 ，由公式（8）得（2

17、）極坐標(biāo)系下弧長的計(jì)算定理6 若平面曲線由極坐標(biāo)方程，當(dāng)在上連續(xù)，且與不同時(shí)為零時(shí)，此極坐標(biāo)曲線為一光滑曲線。這時(shí)弧長公式為.（詳見1）（9）例15 心形線的周長。解 由公式（9）得說明：根據(jù)已知函數(shù)的表達(dá)式，如果可以用極坐標(biāo)表示，選擇公式（9）;若不能簡便的極坐標(biāo)表示出來，用直角坐標(biāo)系下的公式，選擇（8）。3.1.4 在數(shù)學(xué)建模中的簡單應(yīng)用定積分在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用是比較廣泛的，主要是動態(tài)優(yōu)化模型、統(tǒng)計(jì)回歸模型和概率模型等。下面主要介紹一個(gè)簡單的短程線問題，了解動態(tài)優(yōu)化問題。短程線問題：給定任意曲面上的兩個(gè)點(diǎn)，如圖8，求連接它們的長度最短的光滑曲線。地球近似于一個(gè)橢圓體，由甲地飛往乙地的最短航

18、線是橢球表面上連接甲乙兩地的最短程線。由于北極上空對民航的開放，從北京飛往北美的航線比原來需要飛越太平洋時(shí)縮短了很多，就是因?yàn)榭梢圆捎媒咏诙坛叹€的航線。這個(gè)問題在數(shù)學(xué)上可以表述如下：給定曲面方程，已知曲面上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，在曲面上求兩點(diǎn)的曲線，使得該曲線的長度最短。 因?yàn)榍€的弧長為，所以曲線的長度是。短程線問題歸結(jié)為在曲面上求曲線，即滿足的條件下，使得達(dá)到最小。（詳見8）3.1.5在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用（1）證明不等式 用積分證明不等式，一般利用積分如下性質(zhì)：設(shè)與都在上可積，且，則。特別地，當(dāng)時(shí)，有。（詳見8）例16 證明：貝努利不等式，已知且，且時(shí)，求證 解 若或且時(shí)， 因此 即 若或且時(shí)，

19、 因此 即綜上可得：當(dāng)且，且時(shí)，有說明：利用定積分的性質(zhì)，能夠容易的得出貝努利不等式。由上面證明推廣，去掉時(shí)，結(jié)論仍然成立。所以，我們得到一般性結(jié)論：設(shè)，則若時(shí)，有；若或時(shí)，有；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩邊等式成立。（2）求和根據(jù)微分與積分互逆運(yùn)算的關(guān)系，先對和式積分，利用已知的數(shù)列求和，得到積分和，再求導(dǎo)即可。（詳見8）例17 求和， 解 設(shè)， 對和式積分，對和式求導(dǎo)，（3）因式分解 化簡代數(shù)式，把原式中某字母看成自變量，其余字母看作常量。令原式為，先對其求導(dǎo)，再積分，確定積分常數(shù)，可以達(dá)到分解因式的目的。（詳見8）例 18 化簡解設(shè)原式為=，把看作變量，、看作常量；對求導(dǎo)，得對積分，得 確定常數(shù) 于是

20、有，3.2 定積分的物理應(yīng)用3.2.1 變力作功由物理學(xué)知道,物體在常力的作用下,沿力的方向作直線運(yùn)動,當(dāng)物體發(fā)生了位移時(shí),力對物體所作的功是.但在實(shí)際問題中,物體在發(fā)生位移的過程中所受到的力常常是變化的,這就需要考慮變力作功的問題.由于所求的功是一個(gè)整體量,且對于區(qū)間具有可加性,所以可以用微元法來求這個(gè)量.設(shè)物體在變力的作用下,沿軸由點(diǎn)移動到點(diǎn),如圖9所示,且變力方向與軸方向一致.取為積分變量,a x x+dx b xF(x)圖9.在區(qū)間上任取一小區(qū)間,該區(qū)間上各點(diǎn)處的力可以用點(diǎn)處的力近似代替.因此功的微元為，因此,從到這一段位移上變力所作的功為.（詳見6）（10）例19 彈簧在拉伸過程中,

21、所需要的力與彈簧的伸長量成正比,即(為比例系數(shù)).已知彈簧拉長時(shí),需力,要使彈簧伸長,計(jì)算外力所做的功.解 由題設(shè),時(shí),.代入,得.從而變力為,由上述公式（10）所求的功為.3.2.2液體靜壓力由物理學(xué)知道,在液面下深度為處的壓強(qiáng)為,其中是液體的密度,是重力加速度.如果有一面積為的薄板水平地置于深度為處,那么薄板一側(cè)所受的液體壓力.設(shè)薄板形狀是曲邊梯形,為了計(jì)算方便,建立如圖10所示的坐標(biāo)系,曲邊方程為.取液體深度為積分變量,在上取一小區(qū)間,該區(qū)間上小曲邊平板所受的壓力可近似地看作長為,寬為的小矩形水平地放在距液體表面深度為的位置上時(shí),一側(cè)所受的壓力.因此所求的壓力微元為:.于是，整個(gè)平板一側(cè)

22、所受壓力為.（詳見6） （ 11）例20修建一道梯形閘門，它的兩條底邊各長6m和4m，高為6m,較長的底邊與水面平齊，要計(jì)算閘門一側(cè)所受水的壓力.解 根據(jù)題設(shè)條件.建立如圖11所示的坐標(biāo)系，的方程為.取為積分變量,在上任一小區(qū)間的壓力微元為，從而所求的壓力為.說明：定積分在物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，不僅了解上面介紹的這兩種，此外還要在其他方面也會靈活應(yīng)用。比如引力、平均功率等方面。（詳見7）3.3 定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用定理7 已知邊際成本，求總成本.有，其中是固定成本，一般不為零.定理8已知邊際收益，求總成本.有.其中被稱為自然條件，意指當(dāng)銷售量為0時(shí)，自然收益為0.例21已知某產(chǎn)品邊際成本函數(shù)且固定成本為1000元，求總成本函數(shù)C(Q).解.說明：定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用，也是十分廣泛的，這里簡單介紹了關(guān)于成本問題的解法。在總收益和平均收益等方面，定積分計(jì)算也發(fā)揮著很大的作用。第4章 結(jié)論本文主要討論了定積分的求法和在數(shù)學(xué)、物理、經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用。通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)資料與求助老師同