高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)整理

1、數(shù)列1、數(shù)列中與之間的關(guān)系：注意通項(xiàng)能否合并。2、等差數(shù)列：定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即=d ，（n2，nN），那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。等差中項(xiàng)：若三數(shù)成等差數(shù)列通項(xiàng)公式： 或 前項(xiàng)和公式：常用性質(zhì)：若，則；下標(biāo)為等差數(shù)列的項(xiàng)，仍組成等差數(shù)列；數(shù)列（為常數(shù)）仍為等差數(shù)列；若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、，也成等差數(shù)列。單調(diào)性：的公差為，則：）為遞增數(shù)列；）為遞減數(shù)列；）為常數(shù)列；數(shù)列為等差數(shù)列（p,q是常數(shù)）若等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則、 是等差數(shù)列。3、等比數(shù)列定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫

2、做等比數(shù)列。等比中項(xiàng)：若三數(shù)成等比數(shù)列（同號(hào)）。反之不一定成立。通項(xiàng)公式：前項(xiàng)和公式：常用性質(zhì)若，則；為等比數(shù)列，公比為(下標(biāo)成等差數(shù)列,則對(duì)應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列)數(shù)列（為不等于零的常數(shù)）仍是公比為的等比數(shù)列；正項(xiàng)等比數(shù)列；則是公差為的等差數(shù)列；若是等比數(shù)列，則 是等比數(shù)列，公比依次是單調(diào)性：為遞增數(shù)列；為遞減數(shù)列；為常數(shù)列；為擺動(dòng)數(shù)列；既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列。若等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則、 是等比數(shù)列.4、非等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法類型 觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。類型 公式法：若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與

3、的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式 構(gòu)造兩式作差求解。用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個(gè)表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）。類型 累加法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造： 將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和; 若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和; 若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和. 類型 累乘法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造： 將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，

4、然后用這種方法求解。類型 構(gòu)造數(shù)列法：形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式： （1）若時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列; （2）若時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列;（3）若且時(shí)，數(shù)列為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求.方法有如下兩種： 法一：設(shè),展開移項(xiàng)整理得,與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得,即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型（累加法）便可求出形如型的遞推式：當(dāng)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通

5、項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r(shí)，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類型求出 ，再用類型（累加法）便可求出當(dāng)為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r(shí)，由遞推式得：，兩邊同時(shí)乘以得，由兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類型便可求出法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q, r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型的方法解決。當(dāng)為任意數(shù)列時(shí)，可用通法： 在兩邊同時(shí)除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類型（累加法），求出之

6、后得.類型 對(duì)數(shù)變換法：形如型的遞推式：在原遞推式兩邊取對(duì)數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）。類型 倒數(shù)變換法：形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求.類型 形如型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解。方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型?？傊?，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式5、非等差、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的求法錯(cuò)位相減法若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列的求和就要采用此法.將數(shù)列的每一項(xiàng)分別乘以的公比，然后在錯(cuò)位相減，進(jìn)而可得到數(shù)列的前項(xiàng)和.此法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法.裂項(xiàng)相消法一般地，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng) 時(shí)，往往可將變成兩項(xiàng)的差，采用裂項(xiàng)相消法求和.可用待定系數(shù)法進(jìn)行裂項(xiàng)：設(shè)，通分整理后與原式相比較，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得，從而可得常見的拆項(xiàng)公式有： 分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分兩步：找通