高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)立體幾何與空間向量專題探究課四高考中立體幾何問題的熱點(diǎn)題型學(xué)案

1、專題探究課四 高考中立體幾何問題的熱點(diǎn)題型高考導(dǎo)航1.立體幾何是高考的重要內(nèi)容，每年都有選擇題或填空題或解答題考查.小題主要考查學(xué)生的空間觀念，空間想象能力及簡(jiǎn)單計(jì)算能力.解答題主要采用“論證與計(jì)算”相結(jié)合的模式，即首先是利用定義、定理、公理等證明空間的線線、線面、面面平行或垂直，再利用空間向量進(jìn)行空間角的計(jì)算.重在考查學(xué)生的邏輯推理能力及計(jì)算能力.熱點(diǎn)題型主要有平面圖形的翻折、探索性問題等；2.思想方法：(1)轉(zhuǎn)化與化歸(空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題)；(2)數(shù)形結(jié)合(根據(jù)空間位置關(guān)系利用向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算).熱點(diǎn)一空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及空間角的計(jì)算(規(guī)范解答)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系通常考查

2、平行、垂直關(guān)系的證明，一般出現(xiàn)在解答題的第(1)問，解答題的第(2)問常考查求空間角，求空間角一般都可以建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【例1】 (滿分12分)(2017·湖州模擬)如圖，在ABC中，ABC，O為AB邊上一點(diǎn)，且3OB3OC2AB，已知PO平面ABC，2DA2AOPO，且DAPO.(1)求證：平面PBD平面COD；(2)求直線PD與平面BDC所成角的正弦值.滿分解答(1)證明OBOC，又ABC，OCB，BOC.COAB.2分又PO平面ABC，OC平面ABC，POOC.又PO，AB平面PAB，POABO，CO平面PAB，即CO平面PDB.4分又CO平面CO

3、D，平面PDB平面COD.6分(2)解以O(shè)C，OB，OP所在射線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)OA1，則POOBOC2，DA1.則C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，1，1)，(0，1，1)，(2，2，0)，(0，3，1).8分設(shè)平面BDC的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，令y1，則x1，z3，n(1，1，3).10分設(shè)PD與平面BDC所成的角為，則sin .即直線PD與平面BDC所成角的正弦值為.12分得步驟分：抓住得分點(diǎn)的步驟，“步步為贏”，求得滿分.如第(1)問中，先證線面垂直，再證兩面垂直.得關(guān)鍵分：解題過程不可忽視的關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無則

4、沒分，如第(1)問中證線面垂直不可漏“CO平面PDB”.得計(jì)算分：解題過程中計(jì)算準(zhǔn)確是得滿分的根本保證.如第(2)問中求法向量n，計(jì)算線面角正弦值sin . 利用向量求空間角的步驟第一步：建立空間直角坐標(biāo)系.第二步：確定點(diǎn)的坐標(biāo).第三步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo).第四步：計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值).第五步：將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角.第六步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.【訓(xùn)練1】 如圖所示，在多面體A1B1D1­DCBA中，四邊形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，E為B1D1的中點(diǎn)，過A1，D，E的平面交CD1于F.(1)證明：EFB1C

5、.(2)求二面角E­A1D­B1的余弦值.(1)證明由正方形的性質(zhì)可知A1B1ABDC，且A1B1ABDC，所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，從而B1CA1D，又A1D面A1DE，B1C面A1DE，于是B1C面A1DE.又B1C面B1CD1，面A1DE面B1CD1EF，所以EFB1C.(2)解因?yàn)樗倪呅蜛A1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，所以AA1AB，AA1AD，ABAD且AA1ABAD.以A為原點(diǎn)，分別以，為x軸，y軸和z軸單位正向量建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得點(diǎn)的坐標(biāo)A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1

6、，0，1)，D1(0，1，1)，而E點(diǎn)為B1D1的中點(diǎn)，所以E點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)平面A1DE的一個(gè)法向量n1(r1，s1，t1)，而該面上向量，(0，1，1)，由n1，n1得(1，1，1)為其一組解，所以可取n1(1，1，1).設(shè)平面A1B1CD的一個(gè)法向量n2(r2，s2，t2)，而該面上向量(1，0，0)，(0，1，1)，由此同理可得n2(0，1，1).則cosn1，n2.所以二面角EA1DB1的余弦值為.熱點(diǎn)二立體幾何中的探索性問題此類試題一般以解答題形式呈現(xiàn)，常涉及線、面平行、垂直位置關(guān)系的探究或空間角的計(jì)算問題，是高考命題的熱點(diǎn)，一般有兩種解決方式：(1)根據(jù)條件作出判斷，再進(jìn)一步論證；

7、(2)利用空間向量，先假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件判斷該點(diǎn)的坐標(biāo)是否存在.【例2】 (2016·北京卷)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求證：PD平面PAB；(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，說明理由.(1)證明因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，ABAD，所以AB平面PAD，所以ABPD.又PAPD，ABPAA，所以PD平面PAB.(2)解取AD的中點(diǎn)O，連接PO，CO.因?yàn)镻APD，所以POAD

8、.因?yàn)镻O平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因?yàn)镃O平面ABCD，所以POCO.因?yàn)锳CCD，所以COAD.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則即令z2，則x1，y2.所以n(1，2，2).又(1，1，1)，所以cosn，.所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為.(3)解設(shè)M是棱PA上一點(diǎn)，則存在0，1，使得.因此點(diǎn)M(0，1，)，(1，).因?yàn)锽M平面PCD，所以要使BM平面PCD，則·n0，即(1，)·

9、(1，2，2)0，解得.所以在棱PA上存在點(diǎn)M，使得BM平面PCD，此時(shí).探究提高(1)對(duì)于存在判斷型問題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等.(2)對(duì)于位置探究型問題，通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù).【訓(xùn)練2】 (2015·天津卷改編)在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且點(diǎn)M和N分別為B1C和D1D的中點(diǎn).(1)求證：MN平面ABCD；(2)求二面角D1ACB1的正弦值；(3)在棱A1B1上是

10、否存在點(diǎn)E，使得直線NE與平面ABCD所成角的正弦值為？若存在，求出線段A1E的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，C1(2，0，2)，D1(1，2，2)，又因?yàn)镸，N分別為B1C和D1D的中點(diǎn)，所以M，N(1，2，1).(1)證明依題意，可得n(0，0，1)為平面ABCD的一個(gè)法向量，由此可得·n0，又因?yàn)橹本€MN平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)(1，2，2)，(2，0，0)，設(shè)n1(x1，y1，z1)為平面ACD1的一個(gè)法

11、向量，則即不妨設(shè)z11，可得n1(0，1，1).設(shè)n2(x2，y2，z2)為平面ACB1的一個(gè)法向量，則又(0，1，2)，得不妨設(shè)z21，可得n2(0，2，1).因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2，所以二面角D1ACB1的正弦值為.(3)假設(shè)存在點(diǎn)E，使得NE與平面ABCD所成角的正弦值為.依題意，可設(shè)，其中0，1，則E(0，2)，從而(1，2，1)，又n(0，0，1)為平面ABCD的一個(gè)法向量，由已知，得|cos，n|，整理得2430，解得2±.又因?yàn)?，1，所以2，因此存在點(diǎn)E，滿足題設(shè)條件，且線段A1E2.熱點(diǎn)三立體幾何中的折疊問題將平面圖形沿其中一條或幾條線段折起，

12、使其成為空間圖形，這類問題稱為立體幾何中的折疊問題，折疊問題常與空間中的平行、垂直以及空間角相結(jié)合命題，考查學(xué)生的空間想象力和分析問題的能力.【例3】 (2016·全國(guó)卷)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB5，AC6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF的位置，OD.(1)證明：DH平面ABCD；(2)求二面角BDAC的正弦值.(1)證明由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.因此EFHD，從而EFDH.由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得.所以O(shè)H1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故

13、DHOH.又DHEF，而OHEFH，所以DH平面ABCD.(2)解如圖，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Hxyz.則H(0，0，0)，A(3，1，0)，B(0，5，0)，C(3，1，0)，D(0，0，3)，(3，4，0)，(6，0，0)，(3，1，3).設(shè)m(x1，y1，z1)是平面ABD的一個(gè)法向量，則即所以可取m(4，3，5).設(shè)n(x2，y2，z2)是平面ACD的一個(gè)法向量，則即所以可取n(0，3，1).于是cosm，n.sinm，n.因此二面角BDAC的正弦值是.探究提高立體幾何中的折疊問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況，一般地翻折后還

14、在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.【訓(xùn)練3】 (2015·陜西卷)如圖1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn).將ABE沿BE折起到A1BE的位置，如圖2.(1)證明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值.(1)證明在題圖1中，因?yàn)锳BBC1，AD2，E是AD的中點(diǎn)，BAD，所以BEAC.即在題圖2中，BEOA1，BEOC，從而BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)解由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC為二面角A