數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)狠抓“定理教學(xué)”

1、數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)狠抓“定理教學(xué)”       教師在教途上并不是一帆風(fēng)順的,尤其在農(nóng)村中學(xué),有時(shí)由于教學(xué)上的需要,往往到了初三,也會(huì)出現(xiàn)面對(duì)陌生學(xué)生的情況。筆者今年就遇到了尷尬:幾何證明題學(xué)生會(huì)證的,卻不會(huì)書(shū)寫(xiě)或書(shū)寫(xiě)不完整;知道步驟的原因和結(jié)論,但講不出定理的內(nèi)容;更多的學(xué)生面對(duì)幾何題在證明時(shí)憑感覺(jué)。面對(duì)著時(shí)間緊、任務(wù)重,怎么辦呢?經(jīng)過(guò)一番苦思冥想,針對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)差、底子薄,決定狠抓“定理教學(xué)”。通過(guò)一段時(shí)間的復(fù)習(xí),學(xué)生普遍反映在證題和書(shū)寫(xiě)時(shí)有了“依靠”,也發(fā)現(xiàn)了定理的價(jià)值,基本樹(shù)立了“用定理”的意識(shí)。   

2、那么,學(xué)生在證題時(shí)到底是由哪些原因造成思維受阻,產(chǎn)生解題的困惑呢?我們把它歸納為以下幾點(diǎn):    不理解定理是進(jìn)行推理的依據(jù)。其實(shí)如果我們把一道完整的幾何證明題的過(guò)程進(jìn)行分解,發(fā)現(xiàn)它的骨干是由一個(gè)一個(gè)定理組成的。而學(xué)生書(shū)寫(xiě)的不完整、不嚴(yán)密,就因?yàn)槿狈?duì)定理必要的理解,不會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá),從而不能嚴(yán)謹(jǐn)推理,造成幾何定理無(wú)法具體運(yùn)用到習(xí)題中去。    找不到運(yùn)用定理所需的條件,或者在幾何圖形中找不出定理所對(duì)應(yīng)的基本圖形。具體表現(xiàn)在不熟悉圖形和定理之間的聯(lián)系,思考時(shí)把定理和圖形分割開(kāi)來(lái)。對(duì)于定理或圖形的變式不理解,圖形稍作改變(或不是標(biāo)準(zhǔn)形

3、),學(xué)生就難以思考。    推理過(guò)程因果關(guān)系模糊不清。    針對(duì)以上的原因,我們?cè)诮虒W(xué)中采取了一些自救對(duì)策。    一、教學(xué)環(huán)節(jié)    對(duì)幾何定理的教學(xué),我們?cè)诩兄v授時(shí)分5個(gè)環(huán)節(jié)。第1、2 環(huán)節(jié)是理解定理的基本要求;第3 環(huán)節(jié)是基本推理模式,第4 環(huán)節(jié)是定理在推理過(guò)程中的呈現(xiàn)方式,提出了“模式+定理”的書(shū)寫(xiě)方法;第5 環(huán)節(jié)是定理在解題分析時(shí)的導(dǎo)向作用,提出了“圖形+定理”的思考方法。程序圖設(shè)計(jì)如下:    基本要求   重新建立表象

4、 推理模式 組合定理 聯(lián)想定理    二、操作分析和說(shuō)明      定理的基本要求    我們認(rèn)為,能正確書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程的前提是學(xué)會(huì)對(duì)幾何定理的書(shū)寫(xiě),因?yàn)閹缀味ɡ淼姆?hào)語(yǔ)言是證明過(guò)程中的基本單位。因而在教學(xué)中我們采取了“一劃二畫(huà)三寫(xiě)”的步驟,讓學(xué)生盡快熟悉每一個(gè)定理的基本要求,并重新整理了初中階段的定理(見(jiàn)附頁(yè),此只列出與本文有關(guān)的定理),集中展示給學(xué)生。    例如定理43:直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。  

5、0; 一劃:就是找出定理的題設(shè)和結(jié)論,題設(shè)用直線,結(jié)論用波浪線,要求在劃時(shí)突出定理的本質(zhì)部分。    如:“直角三角形”和“高線”、“相似”。    二畫(huà):就是依據(jù)定理的內(nèi)容,能畫(huà)出所對(duì)應(yīng)的基本圖形。    如:                         

6、;                                                  

7、;      三寫(xiě):就是在分清題設(shè)和結(jié)論的基礎(chǔ)上,能用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá) ,允許采用等同條件。    如:ABC是Rt,CDAB于D(條件也可寫(xiě)成:ACB=90°,CDB=90°等)     ACDBCDABC   。    學(xué)生在書(shū)寫(xiě)時(shí)果然出現(xiàn)了一些問(wèn)題:    不理解每個(gè)定理的條件和結(jié)論。學(xué)生在書(shū)寫(xiě)時(shí)往往漏掉條件(如定理19漏掉垂直,定理46漏掉高、中線等);對(duì)條件太簡(jiǎn)單的不會(huì)寫(xiě)(如定理3

8、);或者把條件當(dāng)成結(jié)論(如定理12把三線都當(dāng)成結(jié)論)。    還表現(xiàn)在思維偏差。我們的要求是會(huì)用定理,而有些學(xué)生把定理重新證明一遍(如定理5、6);或者在一個(gè)定理中出現(xiàn) ××,又××,××的錯(cuò)誤。    更多的是沒(méi)有抓住本質(zhì)。具體表現(xiàn)在把非本質(zhì)的條件當(dāng)成本質(zhì)條件(如定理7出現(xiàn) 1 和2是同位角,ABCD);條件重復(fù)(如定理49,結(jié)論APO=BPO已經(jīng)包括過(guò)圓心O,學(xué)生在條件中還加以說(shuō)明);圖形過(guò)于特殊(如把定理1的圖畫(huà)成射影定理的基本圖形);文字過(guò)多(一些定理譯不出符號(hào)語(yǔ)言,

9、用文字代替)等。      重新建立表象    從具體到抽象,由感性到理性已成為廣大數(shù)學(xué)教師傳授知識(shí)的重要原則?！氨硐蟆本褪侨藗儗?duì)過(guò)去感知過(guò)的客觀世界中的對(duì)象或?qū)ο笤陬^腦中留下來(lái)的可以再現(xiàn)出來(lái)的形象,具有一定的鮮明性、具體性、概括性和抽象性。由于幾何的每一個(gè)定理都對(duì)應(yīng)著一個(gè)圖形,這給我們?cè)诮虒W(xué)中提供了一定的便利。我們要求學(xué)生對(duì)定理的表象不能只停留在實(shí)體的形象上,而是讓學(xué)生有意識(shí)的記圖形,想圖形,以形成和喚起表象。我們認(rèn)為,這對(duì)于理解、鞏固和記憶幾何定理起著重大的作用。    教給學(xué)生想形象的基本

10、方法后,我們接下去的步驟是用實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生,下面是一段經(jīng)整理后的課堂教學(xué)主要內(nèi)容:      問(wèn):聽(tīng)了老師的介紹后,你怎樣回憶垂徑定理的形象?    答:垂徑定理我在想的時(shí)候,腦子里留下“兩條等弧、兩條相等的線段、一個(gè)直角”在一閃一閃的,以后看到弧相等或其他兩個(gè)條件之一,腦子里就會(huì)浮現(xiàn)出垂徑定理。    目的:建立單個(gè)定理的表象,要求能想到非標(biāo)準(zhǔn)圖形。    繼續(xù)問(wèn):看到弧相等,你們只想到了垂徑定理,其他的定理就沒(méi)有想起來(lái)嗎?    答:

11、想到了圓心角相等、圓周角相等、弦相等    甚至有學(xué)生想到了兩條平行弦    目的:通過(guò)表象,進(jìn)行聯(lián)想,使學(xué)生理解定理間的聯(lián)系。      問(wèn):從定理21開(kāi)始,你能找出和它有聯(lián)系的定理嗎?    答:有定理22(擦短使平行直線變成線段),定理25(特殊化成菱形),定理27    目的:一般化或特殊化或圖形的平移、旋轉(zhuǎn)等變化,加深定理間的聯(lián)系。    下面的步驟,我們讓學(xué)生自主思考。學(xué)生在不斷嘗試的過(guò)程中,通

12、過(guò)比較、分析、判斷,進(jìn)一步熟悉定理的三種語(yǔ)言、定理之間的聯(lián)系和區(qū)別。從學(xué)生思考的角度看,他們主要是在尋找基本圖形,由于定理之間有一定的聯(lián)系,在一個(gè)基本圖形中往往存在著另一個(gè)殘缺的基本圖形,所以學(xué)生大多通過(guò)連線、延長(zhǎng)、作圓、平移、旋轉(zhuǎn)等手段,也有通過(guò)特殊化、找同結(jié)論等途徑把不同的定理聯(lián)系起來(lái)。    下面摘錄的是學(xué)生自主思考后,得到的富有創(chuàng)意性的結(jié)論。    定理16(延長(zhǎng)中線成矩形) 定理24(作矩形的外接圓) 定理34。    定理51(一線過(guò)圓心,且兩線垂直) 定理36(一線平移成切線) 定理47、4

13、8(繞切點(diǎn)旋轉(zhuǎn)) 定理50。    如下圖,把 EF 向下平移(或繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)),使定理37和50聯(lián)系起來(lái)(有同結(jié)論 =D):       推理模式    從學(xué)生各方面的反饋情況看,多數(shù)學(xué)生覺(jué)得幾何抽象還在于幾何推理形式多樣、過(guò)程復(fù)雜而又摸不定,往往聽(tīng)課時(shí)知道該如何寫(xiě),而自己書(shū)寫(xiě)時(shí)又漏掉某些步驟。怎樣將形式多樣的推理過(guò)程讓學(xué)生看得清而又摸得著呢?為此,我們?cè)诙酵评淼幕A(chǔ)上,經(jīng)過(guò)歸納整理,總結(jié)了三種基本推理模式。    具體教學(xué)分三個(gè)步驟實(shí)施: &

14、#160;  精心設(shè)計(jì)三個(gè)簡(jiǎn)單的例題,讓學(xué)生歸納出三種基本推理模式。       條件 結(jié)論 新結(jié)論             (結(jié)論推新結(jié)論式)          新結(jié)論     (多個(gè)結(jié)論推新結(jié)論式)         新結(jié)論&#

15、160;     (結(jié)論和條件推新結(jié)論式)    通過(guò)已詳細(xì)書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程 的題目讓學(xué)生識(shí)別不同的推理模式。    通過(guò)具體習(xí)題,學(xué)生有意識(shí)、有預(yù)見(jiàn)性地練習(xí)書(shū)寫(xiě)。    這一環(huán)節(jié)我們的目的是讓學(xué)生先理解證明題的大致框架,在具體書(shū)寫(xiě)時(shí)有一定的模式,有效地克服了學(xué)生書(shū)寫(xiě)的盲目性。    但教學(xué)表明學(xué)生仍然出現(xiàn)不必要的跳步,這是什么原因呢?我們把它歸結(jié)為對(duì)推理的因果關(guān)系不明確、定理是推理的依據(jù)和單位不明白。因而我們根據(jù)需要,又設(shè)計(jì)了以下一個(gè)環(huán)節(jié)

16、。      組合定理    基本推理模式中的骨干部分還是定理的符號(hào)語(yǔ)言。因而在這一環(huán)節(jié),我們讓學(xué)生在證明的過(guò)程中找出單個(gè)定理的因果關(guān)系、多個(gè)定理的組合方式,然后由幾個(gè)定理組合后構(gòu)造圖形,進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生“用定理”的意識(shí)。    下面通過(guò)一例來(lái)說(shuō)明這一步驟的實(shí)施。    例1:已知如圖,四邊形ABCD外接O的半徑為5,對(duì)角線 AC  與 BD 相交于E,且 AB = AE·AC,BD= 8。求BAD的面積。(2001年嘉興市質(zhì)量評(píng)估卷六) 

17、;   證明:連結(jié)OB,連結(jié)OA交BD于F。    學(xué)生從每一個(gè)推測(cè)符號(hào)中找出所對(duì)應(yīng)的定理和隱含的主要定理:    比例基本性質(zhì)   S/AS/  證相似 相似三角形性質(zhì) 垂徑定理 勾股定理     三角形面積公式    由于學(xué)生自己主動(dòng)找定理,因而印象深刻。在證明過(guò)程中確實(shí)是由一個(gè)一個(gè)定理連結(jié)起來(lái)的,也讓學(xué)生體會(huì)到把定理(不排除概念、公式等)鑲嵌在基本模式中,就能形成嚴(yán)密的推理過(guò)程。此時(shí),可順勢(shì)布置以下的任務(wù):給出勾股定理,

18、你能再結(jié)合一個(gè)或多個(gè)定理,構(gòu)造圖形,并編出證明題或計(jì)算題嗎?    實(shí)踐表明:經(jīng)過(guò)“模式+定理”書(shū)寫(xiě)方法的熏陶后,學(xué)生基本具備了完整書(shū)寫(xiě)的意識(shí)。      聯(lián)想定理    分析圖形是證明的基礎(chǔ),幾何問(wèn)題給出的圖形有時(shí)是某些基本圖形的殘缺形式,通過(guò)作輔助線構(gòu)造出定理的基本圖形,為運(yùn)用定理解決問(wèn)題創(chuàng)造條件。圖形固然可以引發(fā)聯(lián)想(這也是教師分析幾何證明題、學(xué)生證題的基本方法之一),但對(duì)于識(shí)圖或想象力較差的學(xué)生來(lái)說(shuō),就比較困難,他們往往存有疑問(wèn):到底怎樣才能分解出基本圖形呢?在復(fù)雜的圖形中怎樣找到所需要

19、的基本圖形呢?因而我們從另一側(cè)面,即證明題的“已知、求證”上給學(xué)生以支招,即由命題的題設(shè)、結(jié)論聯(lián)想某些定理,以配合圖形想象。    例:如圖,O1和O2相交于B、C兩點(diǎn),AB是O1 的直徑,AB、AC的延長(zhǎng)線分別交O2于D、E,過(guò)B作O1的切線交AE于F。求證:BFDE。    討論此題時(shí),啟發(fā)學(xué)生由題設(shè)中的“AB是O的直徑”聯(lián)想定理“直徑所對(duì)的圓周角是90°”,因而連結(jié)BC;“過(guò)B作O的切線交AE于F”聯(lián)想定理“切線的性質(zhì)”,得出ABF=90°。從而構(gòu)造出基本圖形。    由命題的結(jié)

20、論“BFDE”聯(lián)想起“同位角相等,兩直線平行”定理,構(gòu)造出基本圖形。將上述基本圖形 的性質(zhì)結(jié)合在一起,學(xué)生就易于思考了。    這一環(huán)節(jié)我們的引導(dǎo)語(yǔ)有:“由已知中的哪一個(gè)條件,你能聯(lián)想起什么定理?”、“條件組合后能構(gòu)成哪個(gè)定理?”、“有無(wú)對(duì)應(yīng)的基本圖形?”、“能否構(gòu)造出基本圖形?”等。目的是讓學(xué)生樹(shù)立起“圖形+定理”的思考方法,把以前的無(wú)意識(shí)思考變成有目的、有意識(shí)的思考。    三、幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)    復(fù)習(xí)的效果最終要體現(xiàn)在學(xué)生身上,只有通過(guò)學(xué)生的自身實(shí)踐和領(lǐng)悟才是最佳復(fù)習(xí)途徑,因此在復(fù)習(xí)時(shí),我們始終堅(jiān)持主體

21、性原則。在組織復(fù)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)中,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性:提出問(wèn)題讓學(xué)生想,設(shè)計(jì)問(wèn)題讓學(xué)生做,方法和規(guī)律讓學(xué)生體會(huì),創(chuàng)造性的解答共同完善。    “沒(méi)有反思,學(xué)生的理解就不可能從一個(gè)水平升華到更高的水平”(弗賴登塔爾)。我們認(rèn)為傳授方法或解答后讓學(xué)生進(jìn)行反思、領(lǐng)悟是很好的方法,所以我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)總留出足夠的時(shí)間來(lái)讓學(xué)生進(jìn)行反思,使學(xué)生盡快形成一種解題思路、書(shū)寫(xiě)方法。    集中講授能使學(xué)生對(duì)幾何定理的應(yīng)用有一定的認(rèn)識(shí),但如果不加以鞏固,也會(huì)造成遺忘。因而我們也堅(jiān)持了滲透性原則,在平時(shí)的解題分析中時(shí)常有意識(shí)地引導(dǎo)、反復(fù)滲透。

22、60;   參考資料:    高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)的理論和實(shí)踐     孟祥東等  中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)2001、3      全國(guó)初中數(shù)學(xué)教育第十屆年會(huì)論文集    P380   、P470     附錄:初中數(shù)學(xué)幾何定理集錦(摘錄)    1。同角(或等角)的余角相等。    3。對(duì)頂角相等。  

23、60; 5。三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。    6。在同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線是平行線。    7。同位角相等,兩直線平行。    12。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。    16。直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半。    19。在角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等。及其逆定理。    21。夾在兩條平行線間的平行線段相等。夾在兩條平行線間的垂線段相等。    22。一組對(duì)邊平行且相等、或兩組對(duì)邊分別相等、或?qū)蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形。    24。有三個(gè)角是直角的四邊形、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。    25。菱形性質(zhì):四條邊相等、對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。    27。正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊相等。兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。