相似三角形的判定

1、27.2.1 相似三角形的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1掌握兩個(gè)三角形相似的判定條件（三個(gè)角對應(yīng)相等，三條邊的比對應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形相似）相似三角形的定義，和三角形相似的預(yù)備定理（平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似）2掌握“兩組對應(yīng)邊的比相等且它們的夾角相等的兩個(gè)三角形相似”的判定方法；掌握“兩角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似”的判定方法3會(huì)運(yùn)用“兩個(gè)三角形相似的判定條件”和“三角形相似的預(yù)備定理”解決簡單的問題【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1相似三角形的定義與三角形相似的預(yù)備定理2運(yùn)用三角形相似的條件解決簡單的問題知識概覽圖定義及表示方法兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等相

2、似三角形相似三角形的判定兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且它們的夾角相等兩個(gè)三角形有兩對對應(yīng)角相等相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等新課導(dǎo)引 【生活鏈接】 小明為了迎接世界中學(xué)生數(shù)學(xué)大會(huì)的召開，制作了一個(gè)如右圖所示形狀的花束，三邊長分別是35 cm，40 cm，50 cm，小麗也想制作一個(gè)這樣形狀的花束，但她手中只有一根長100 cm的木條，她應(yīng)該怎么制作呢? 【問題探究】 如果兩個(gè)多邊形滿足對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形相似，但是定義中條件較多，過于苛刻，你能減少定義中的條件來判斷兩個(gè)三角形相似嗎? 教材精華知識點(diǎn)1 相似三角形 相似三角形是形狀相同的三角形，它們的

3、對應(yīng)角都相等，對應(yīng)邊的比都相等如圖2710所示，ABC與DEF的形狀相同，大小不同，這兩個(gè)三角形相似，所以AD，BE，CF，· 拓展 相似三角形的定義既是最基本的判定方法，也是最重要的性質(zhì)知識點(diǎn)2 相似三角形的表示方法ABC與DEF相似，可以寫成ABCDEF，也可以寫成DEFABC，讀作“ABC相似于DEF”或“DEF相似于ABC”拓展 用“”這個(gè)符號表示兩個(gè)圖形相似時(shí)，對應(yīng)的頂點(diǎn)應(yīng)該寫在對應(yīng)的位置上，如圖2710所示，表示ABC與DEF相似，A的對應(yīng)角是D，B的對應(yīng)角是E，C的對應(yīng)角是F，即ABCDEF，而不要寫成ABCEFD，如果把ABC寫成BAC，那么就應(yīng)該記作BACEDF，這

4、樣做的目的是為了指明對應(yīng)角、對應(yīng)邊知識點(diǎn)3 三角形的相似比 兩個(gè)三角形相似，對應(yīng)邊的比叫做相似比 例如:若ABCDEF，則設(shè)比值為k，于是k，即ABC與DEF的相似比為k拓展 這時(shí)DEF與ABC的相似比為若BC6，EF8，則ABC與DEF的相似比為，DEF與ABC的相似比為.探究交流 如果兩個(gè)三角形的相似比k1，那么這兩個(gè)三角形有怎樣的關(guān)系?點(diǎn)撥 當(dāng)兩個(gè)三角形相似，且相似比為1時(shí)，這兩個(gè)三角形全等，也就是說，這兩個(gè)三角形的對應(yīng)角都相等，對應(yīng)邊都相等，這兩個(gè)三角形能夠重合三角形全等是三角形相似的特例知識點(diǎn)4 平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段的比相等把這個(gè)定理應(yīng)用到三角形

5、中，可以得到：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段的比相等知識點(diǎn)5 相似三角形的判定定理 判定定理1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 如圖2711所示，在ABC中，過AB上一點(diǎn)D作DEBC交AC于點(diǎn)E，求證ADEABC 證明：DEBC，ADEABC，AEDACB 連接DC，BE，SEBCSDBC，SABESACD 同高的兩個(gè)三角形面積的比等于底邊的比，. 如圖2712所示，過點(diǎn)D作DFAC交BC于點(diǎn)F易證又BDABAD，BFBCFCBCDE， ，即 . 又AA，ADEABC，AEDACB， ADEABC 判定定理2：如果兩個(gè)三角

6、形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似 如圖2713所示，在ABC和ABC中，求證ABCABC 證明：在線段AB(或它的延長線)上截取ADAB， 過點(diǎn)D作DEBC交AC于點(diǎn)E， ADEABC， . 又，AD=AB， .AE=AC，同理DE=BC， ADEABC(SSS)，ABCABC 例如：在ABC與ABC中，AB4 cm，BC6 cm，AC8 cm，AB12 cm，BC18 cm，AC24 cm，此時(shí)，ABCABC 書寫格式：在ABC與ABC中，ABCABC 判定定理3：如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似如圖2714所示 書寫格式：在ABC與A

7、BC中，AA，ABCABC 判定定理4：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似 如圖2715所示，在ABC與ABC中，AA，BB，求證ABCABC 證明：在ABC的邊AB上截取ADAB， 過點(diǎn)D作DEBC交AC于點(diǎn)E， ADEABC，且ADEABC， ABCABC書寫格式：在ABC與ABC中，AA，BB，ABCABC規(guī)律方法小結(jié) 判定三角形相似的方法主要有以下幾種：(1)定義；(2)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；(3)如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；(4)如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且

8、相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；(5)如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似；(6)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形都與原三角形相似(此知識常用，但有時(shí)需要證明)；(7)若兩個(gè)直角三角形滿足一個(gè)銳角對應(yīng)相等，或兩組直角邊的比相等，則這兩個(gè)直角三角形相似知識點(diǎn)6 相似三角形的性質(zhì)相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等拓展 相似三角形的性質(zhì)可用于有關(guān)角的計(jì)算、線段的計(jì)算以及三角形的周長和面積的計(jì)算等，還可以用于證明兩角相等、兩條線段相等規(guī)律方法小結(jié) 運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把要求證的線段間的關(guān)系逐步轉(zhuǎn)化為易證的線段間的關(guān)系，即由未知向已知轉(zhuǎn)化當(dāng)兩個(gè)三角形相似，

9、但又沒有指明對應(yīng)的情況時(shí)，應(yīng)進(jìn)行分類討論 課堂檢測基本概念題 1、所有的直角三角形都相似嗎?所有的等腰直角三角形呢?為什么? 2、根據(jù)下列條件判定ABC與ABC是否相似，并說明理由 (1)A120°，AB7 cm，AC14 cm，A120°，AB3 cm，AC6 cm； (2)AB4 cm，BC6 cm，AC8 cm，AB12 cm，BC18 cm，AC21 cm基礎(chǔ)知識應(yīng)用題3、如圖2717所示，根據(jù)下列情況寫出各組相似三角形的對應(yīng)邊的比例式 (1)ABCADE，其中DEBC； (2)OABOAB，其中ABAB； (3)ABCADE，其中ADEB. 4、如圖2718所示，

10、已知ABCDEF，那么下列結(jié)論正確的是 ( )A B C D 5、如圖2719所示，ABDACE，求證ABCADE 6、如圖2720所示，在不等邊三角形ABC中，P是AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作一條直線，使截得的三角形與ABC相似，則滿足條件的直線一共有多少條?請畫出圖形 7、如圖2722所示，在RtABC中，C90°，ABC中有一個(gè)內(nèi)接正方形DEFC，連接AF交DE于G，AC15，BC10，求GE的長綜合應(yīng)用題 8、如圖2723所示，從ABCD的頂點(diǎn)C向AB和AD的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E，F(xiàn)，求證AB·AE+AD·AFAC2 9、如圖2724所示，小明為

11、了測量一樓房MN的高度，在離N點(diǎn)20 m的A處放了一個(gè)平面鏡，小明沿NA后退到C點(diǎn)，正好從鏡子中看到樓頂M點(diǎn)，若AC1.5 m，小明的眼睛離地面的高度為16 m，請你幫助小明計(jì)算一下樓房的高度(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)探索與創(chuàng)新題 10、如圖2725所示，在直角梯形ABCD中，D90°，AD7，AB2，DC3，P為AD上一點(diǎn)，以P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與以P，D，C為頂點(diǎn)的三角形相似，那么這樣的點(diǎn)P一共有多少個(gè)?為什么? 體驗(yàn)中考 1、如圖2728所示，已知ABC是邊長為6 cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB，BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1 cm/s，點(diǎn)

12、Q運(yùn)動(dòng)的速度是2 cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，解答下列問題 (1)當(dāng)t2時(shí)，判斷BPQ的形狀，并說明理由； (2)設(shè)BPQ的面積為S cm2，求S與t的函數(shù)關(guān)系式； (3)作QRBA交AC于點(diǎn)P，連接PR，當(dāng)t為何值時(shí)，APRPRQ? 2、如圖2729所示，在ABCD中，E在DC上，若DE:EC1:2，則BF:BE= . 學(xué)后反思附： 課堂檢測及體驗(yàn)中考答案課堂檢測1、分析 由相似三角形的定義可知，所有的直角三角形不都相似，而所有的等腰直角三角形都相似 解：所有的直角三角形不都相似如圖2716所示的兩個(gè)直角三角形中的兩個(gè)銳角顯然不相等，因此這兩個(gè)直角三

13、角形不相似所有的等腰直角三角形都相似因?yàn)槿我庖粋€(gè)等腰直角三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為45°，45°，90°，三條邊的比為1：1：，因此所有的等腰直角三角形都相似【解題策略】 所有的直角三角形中不滿足對應(yīng)角都相等，因此所有的直角三角形不都相似2、分析 根據(jù)判斷兩個(gè)三角形相似的判定定理3與判定定理2來判定 解：(1),， 又AA，ABCABC (2) , ,. 即ABC與ABC的三組對應(yīng)邊的比不相等，所以它們不相似 【解題策略】 此類題主要考查相似三角形的判定定理3、分析 要寫出比例式，關(guān)鍵應(yīng)明確哪些邊是對應(yīng)邊，而要找到對應(yīng)邊，比較好的方法是找到對應(yīng)角(或?qū)?yīng)的頂點(diǎn))以(2

14、)為例，由于ABAB，AA，BB，AOBAOB，因此點(diǎn)A與點(diǎn)A是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)B是對應(yīng)點(diǎn)，另一個(gè)公共點(diǎn)O是兩個(gè)三角形的對應(yīng)點(diǎn)解：(1) (2) . (3) 【解題策略】 兩個(gè)三角形相似，在找對應(yīng)角和對應(yīng)邊時(shí)應(yīng)按照對應(yīng)字母來找4、分析 如圖2718所示，把直線AD向右平移，且使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合容易證明：ADBD，DFDF，由比例線段的特點(diǎn)知故選A5、分析 由于ABDACE，所以BADCAE，所以BACDAE又，所以問題得證 證明：ABDACE，BADCAE， BAD+DACCAE+DAC， 即BACDAE 又ABDACE， 即，ABCADE 【解題策略】 解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的

15、判定方法6、分析 可利用“如果一個(gè)三角形的兩角分別與另一個(gè)三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似”和“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”來畫直線，故過點(diǎn)P分別作BC，AC的平行線，或過點(diǎn)P作與C相等的角，從而得到相似三角形解：滿足條件的直線一共有四條，如圖2721所示【解題策略】 本題考查相似三角形的識別方法，通過構(gòu)造“兩角對應(yīng)相等”使兩個(gè)三角形相似7、分析 根據(jù)相似三角形的判定方法和性質(zhì)列出比例式，從而求得GE的長 解：在RtABC中，C90°，正方形DEFC為其內(nèi)接正方形， ADEACB，AGEAFB， . 設(shè)正方形DEFC的邊長為x，則，x

16、=6AGEAFB，. 又,，即，GE=. 【解題策略】 利用比例式求線段的長度是求線段的一種重要方法，主要是根據(jù)相似的關(guān)系列出比例式，再由比例式列出方程，從而通過解方程求得線段的長8、分析 等式左邊的兩項(xiàng)均為兩條線段之積，而右邊為AC2，故應(yīng)設(shè)法將AC2拆成兩條線段乘積的形式，由圖中可知AC2AC(AG+GC)AC·AG+AC·GC，從而只需證AC·AG和AC·GC與所證等式的左端兩項(xiàng)分別相等即可 證明：過B作BGAC于G， BGACEA90°，33， ABGACE， AC·AGAB·AE 又BCAD，CFAF， 12，CG

17、BAFC90°， CBGACF， AC·CGCB·AF 由+得AC(AG+CG)AB·AE+CB·AF 又CBAD，AB·AE+AD·AFAC2【解題策略】 一般地，要證形如abcd+ef的線段關(guān)系，常常在a(或b)上取一點(diǎn)P，使ab轉(zhuǎn)化為兩項(xiàng)9、分析 根據(jù)物理學(xué)中的反射定律可知：光線的反射角等于入射角，即BAPMAP，從而BACMAN，這樣就可以得到MNABCA，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出MN 解：BCCA，MNAN，BCAMNA90°， 又BAPMAP，BACMAN， BCAMNA，MN:BCAN:AC，

18、即MN：1.6=20:1.5，MN=213(m)， 樓房的高度約為213 m 【解題策略】 利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，列出比例式求線段的長是常用的方法10、分析 PAB與PDC中各有一個(gè)直角，兩邊對應(yīng)成比例，所以應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，即APBDPC和APBPCD，分別求解即可 解：設(shè)APx，則PD7x 當(dāng)PABPDC，即AD90°，APBDPC時(shí)， ,x. 當(dāng)PABCDP，即AD=90°，APBDCP時(shí)， ，x1=1，x2=6 因此AP的值有三個(gè)，也就是這樣的點(diǎn)P一共有三個(gè)【解題策略】 本題中PAB與PDC相似，由于沒有指明兩個(gè)三角形的對應(yīng)點(diǎn)(除點(diǎn)A和點(diǎn)D外)，所以要分類