第一 普通集合與模糊集合的關(guān)系

1、第一章 普通集合到模糊集合2.1普通集合與模糊集合的表達2.1.1普通集合與模糊集合的概念論域：在討論某個問題，把考慮對象的所有元素的全體稱為論域，或稱為全域，全集。例如考慮溫度使，論域就是從最低溫度到最高溫度。討論人時，就包括地球上的所有人。論域一般用大寫字母U，V等表示。元素：論域中的每個對象稱為元素或元，通常用小寫字母a,b,c等表示。集合：給定一個論域，具有某種共同屬性的元素的全體，稱為論域上的一個集合，常用大些字母A，B等表示。屬于：元素是個體的概念，集合是整體的概念，它們之間只有屬于和不屬于的關(guān)系，如a屬于A，記作，或a不屬于A，記作。 屬于具有排中的性質(zhì)，即非此即彼，兩者必居其一

2、，其只具其一，這是經(jīng)典集合的基本出發(fā)點?？占翰缓撚騏中任何元素的集合稱為空集，記為。全集：論域的全體元素構(gòu)成的集合稱為全集，記為。包含：設(shè)A，B是U上的兩個集合，如果對 xX，都有xAxB，則稱B包含A，記做，或A包含于B，記作。相等：如果，且，則稱A和B相等，記作A=B。子集：若，則稱B是A的子集，并且有。映射與函數(shù)：設(shè)兩個集合X，Y，如果有一個對應(yīng)關(guān)系f存在，即對于任一個xX，有唯一的yY與之對應(yīng)，則稱給出了一個由X至Y的映射，記作其中y稱為x在f下的像，稱x為y在f下的原像，若xi域yi一一對應(yīng)，則稱f為單值映射，簡稱單射， 當集合X，Y都是實數(shù)集的子集時，這種映射稱為函數(shù)。特征函數(shù)

3、： 設(shè)A是U上的普通子集，若對任意xU，給定一個由U至0，1的映射A，即則映射稱xA為A的特征函數(shù)，如圖1所示。 xAA（x）10其中在xi的值為，稱為xi對A的特征值，該特征值非0即1，當xi時1，當xi時0，即特征函數(shù)表示了元素x是否屬于集合A。 顯然任一個集合都有唯一的特征函數(shù)，任意一個特征函數(shù)都唯一對應(yīng)一個集合，在這種意義上說集合A與特征函數(shù)是等價的，記作。模糊集合：設(shè)是論域U上的一個模糊子集。若對任意xU，給定一個由U至0,1的映射，即 即對于xU，當1，則認為x完全屬于，若0，則認為x完全不屬于。若0<<1，則認為x在的程度上屬于。故而稱為x對的隸屬度，而稱為模糊集的隸

4、屬函數(shù)。例如圖2表示了模糊集合“年輕”的隸屬函數(shù)。100XA（x）10257550類似特征函數(shù)，一個隸屬函數(shù)唯一確定一個模糊集合，一個模糊集合對應(yīng)一個隸屬函數(shù)，由于模糊集合比較抽象，所以以后常常采用隸屬函數(shù)來表示模糊集合。表示元素x對應(yīng)模糊集的隸屬程度，當?shù)娜≈抵皇情]區(qū)間0,1的兩個值0，1時，模糊集便退化為普通集A，隸屬函數(shù)也就成了特征函數(shù)。這就是說普通集合是模糊集合的特例。對于模糊集合也有類似普通集合的一些概念定義1：設(shè)和都是U上的模糊集，如果：，則稱和相等，記作。定義2：設(shè)和都是U上的模糊集，如果：，則稱包含，或是的子集，記作。定義3：設(shè)是U上的模糊集，如果：，稱為空集，記作。定義4：設(shè)

5、是U上的模糊集，如果：，稱為全集，記作。2.1.2普通集合與，模糊集合的表示方法1）列舉法： 當一個集合所包含的元素個數(shù)有限時，該集合可表示為。例：設(shè)A為不大于5的自然數(shù)集合，A1，2，3，4，5。例：B為某個學習小組成員的集合，B小明，小強，小剛，小紅對應(yīng)模糊集合有兩個列舉的方法（1）向量法設(shè)論域，其中是5個小學生的體操成績，分別為9.5，7，8.4，6.6，9.1，滿分為10分，于是模糊集“成績滿意” 可寫成：即只列出所有元素的隸屬度（因為此時的論域是大家都知道的）（2）序偶法即把論域中的各元素及其對的隸屬度以有序?qū)σ灰涣谐觯?）描述法：對于普通集合的描述法例如：A；對于模糊集合的描述

6、則十分困難。如無法描述清楚：“年輕人”，“學習好”，“技術(shù)高”，“長得好看”等模糊概念。3）zadeh表示法對于普通集合例如考慮某6名運動員，記為，其中，為男生，為女生，則在此論域中，集合A“男隊員”表示為：集合B“女隊員”表示為：對于模糊集合也可以采用類似的方法表示，如上面的“成績滿意” 可表示為因此對于一般的有限論域U，其模糊子集可以表示為為簡單起見，當某個元素的隸屬度為0時，相應(yīng)的項可以省略不寫。4）解析法普通集合的解析法表示就是采用其特征函數(shù)來表示例如論域為自然數(shù)，A為“不大于5的自然數(shù)”，其特征函數(shù)為如果隸屬函數(shù)能寫成解析式的，很自然可以用隸屬函數(shù)的解析表達來表示模糊集。以年齡為論域

7、，取U0,200。如圖，zadeh曾給出“年輕”和“年老”這兩個模糊子集的隸屬函數(shù)分別為：1年輕年老501000(x)2.2隸屬函數(shù)的種類普通用特征函數(shù)來刻畫，模糊集合用隸屬函數(shù)來描述，特征函數(shù)的值域為0，1，隸屬函數(shù)的值域為0,1，隸屬函數(shù)是特征函數(shù)的擴展。在實際考試中，我們認為90分以上為“優(yōu)秀”，90分以下為“不優(yōu)秀”。這是普通集合的劃分方法，該方法顯然有缺陷，如果采用模糊集合表示“優(yōu)秀”則更位妥當。100908001100908001普通優(yōu)秀模糊優(yōu)秀正確的確定隸屬函數(shù)是運用模糊集合理論解決實際問題的基礎(chǔ)，然而，目前確定隸屬函數(shù)還沒有一種成熟而有效的方法，一般是根據(jù)經(jīng)驗或模糊統(tǒng)計的方法來

8、確定。因而隸屬函數(shù)的確定并不是唯一的。(a)三角模糊01(b)半三角模糊01在實際應(yīng)用中，根據(jù)即能滿足一般要求，又可簡化計算的原則，普遍適用的隸屬函數(shù)有三角型、半三角型、梯形、半梯形、鐘型、Z型、S型等多種。(a)梯形模糊01(b)鐘型0111(b)Z型00(a)S形模糊2.3兩類集合的運算1）經(jīng)典集合的運算并：設(shè)A，B是論域U上的兩個集合，A，B的并集定義為 ABx|xA或xB交：設(shè)A，B是論域U上的兩個集合，A，B的交集定義為ABx|xA且xB補：設(shè)A是論域U上的集合，A的補集定義為 根據(jù)經(jīng)典集合交，并的定義，可到下列的真值表ABABABABABAB00000000001001101010

9、101011111111可以看出上面的邏輯運算如果按照特征函數(shù)正好滿足如右表的規(guī)律故而滿足如下的規(guī)律運算符號特征函數(shù)并CABC(x)= A(x)B(x)交CABC(x)= A(x)B(x)補CC(x)=1- A(x)2）模糊集合的運算如果把特征函數(shù)代之于隸屬函數(shù)，則經(jīng)典集合運算的概念就可以擴展到模糊集合中。設(shè)是論域U上的模糊子集，它們的隸屬函數(shù)分別為，則。運算符號隸屬函數(shù)圖示并交補例：設(shè)論域A；B2.4廣義模糊算子除了上面介紹的“取大取小”算子，由于不同問題的需要，人們提出了很多其它的算子。1.zadeh算子“”，“” abmin(a,b); abmax(a,b)2.概率算子“.”，“”abab; aba+bab3.有界算子“”，“”abmaxab-1,0; abmin a+b,1 2.5模糊集合與普通集合的聯(lián)系1）截集模糊集合本身是一個沒有確定邊界的集合，但是如果約定，只有x對的隸屬度達到或超過某個水平者，才算是的成員，那么模糊集合就變成了普通集合。定義:設(shè)AF(x),任取0,1,記稱為的截集,其中為閾值或置信水平.圖給出了1, 2,( 1> 2)對應(yīng)的截集,以及相應(yīng)的特征函數(shù)當=1時,得到的最小的水平截集稱為模糊集的核,當=0+時得到的最大的水平截集稱為的承集.記為supA=若的核非空,則稱為正規(guī)模糊集,否則稱為非正規(guī)模糊集,并將隸屬函數(shù)為