幾何圖形的形狀與運動時間的關(guān)系問題

1、巧解運動中幾何圖形的形狀問題山東省汶上縣白石鎮(zhèn)中學(xué) 高軍寶 高素英郵編：272513 電話運動變化中，探究幾何圖形的形狀與運動時間的關(guān)系是動態(tài)性試題的一個重要內(nèi)容。解決這類問題往往要用運動與變化的眼光觀察和研究圖形，抓住幾何圖形的性質(zhì)，如平行四邊形的對邊平行且相等、等腰梯形的兩腰相等、等腰三角形的兩腰相等及三線合一等性質(zhì)。利用等量和變量的關(guān)系，通過建立方程模型，用代數(shù)的方法來解決。以下面幾例說明解決問題的思路方法。例1：四邊形ABCD是直角梯形，AD/BC, B=900，AB=8cm,AD=24cm,BC=28cm,點P從A出發(fā)以1cm/s的速度向D運動，點Q從C同時

2、出發(fā)，以3cm/s的速度向B運動，其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之停止運動，從運動開始經(jīng)過多少時間，四邊形PQCD成為平行四邊形或成為梯形。分析：若t秒時，四邊形PQCD可成為平行四邊形，由已知PD/CQ，根據(jù)平行四邊形判定定理，如果PD=CQ,那么該四邊形就是平行四邊形。同理，如果PQ=CD，PDCQ也能判定四邊形PQCD為等腰梯形。解：、設(shè)從運動開始經(jīng)過t秒時間，四邊形PQCD成為平行四邊形。由題意可知，AP=t,CQ=3t又AD=24，PD=24-t當(dāng)PD=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形即24-t=3tt=6（秒）、分別過P、D兩點作PEBC于E，DFBC于F則四邊形PEFD

3、、APEB、ADFB分別為矩形EF=PD=24-tPE=DF=AB=8BF=AD=24FC=BC-BF=28-24=4QE=CQ-FC-EF=3t-4-(24-t)=3t-4-24+t=4t-28由題意知當(dāng)PQ=CD時，四邊形PQCD為等腰梯形而由PQ=CD，可得QE=FC4t-28=4t=8(秒)即當(dāng)t=6秒時，四邊形PQCD成為平行四邊形當(dāng)t=8秒時，四邊形PQCD成為等腰梯形。例2：在梯形ABCD中，AD/BC，AD=3，DC=5，AB=4，B=450，動點M從B點出發(fā)，沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動，動點N同時從C點出發(fā)，沿線段CD以每秒1個單位的速度向終點D運動，設(shè)運

4、動時間為t秒。（1）、求BC的長（2）、當(dāng)MN/AB時，求t的值（3）、試探究：t為何值時，MNC為等腰三角形。分析：（1）求梯形的下底邊長，常規(guī)輔助線作法為：分別從上底邊兩端點作梯形的高線，構(gòu)造出一個矩形和兩個直角三角形，再利用已知條件求解。（2）由MN/AB,可聯(lián)想到相似三角形判定定理：平行于三角形底邊的直線與其它兩邊相交，截得的三角形與原三角形相似。從而可確定，過點D作AB的平行線，構(gòu)造出相似三角形，利用對應(yīng)邊的比相等，列出關(guān)于t的方程來求解。（3）在點M、N運動的過程中，MNC的形狀隨之發(fā)生變化，而當(dāng)MNC成為等腰三角形時，又可分為三種情況：以MN為底邊，CM=CN以NC為底邊，MN=

5、MC以MC為底邊，NM=NC從而利用等腰三角形的兩腰相等或利用等腰三角形底邊上的高線及中線與頂角的平分線三線合一的性質(zhì)，作出底邊上的高線即為底邊中線這一特性，找出等量關(guān)系，列出關(guān)于時間t的方程來求解。解：（1）如圖（1）分別過點A、D作AEBC、DFBC，垂足分別為E、F，則四邊形ADFE為矩形。EF=AD=3，AE=DF在RtABE中，B=450AE=ABsin450=4×=4BE=AE=4DF=4在RtDFC中，F(xiàn)C2=CD2-DF2=52-42FC=3BC=BE+EF+FC=4+3+3=10(2)如圖（2）設(shè)t秒時MN/AB由題意可知，CN=t，BM=2tCM=BC-BM=10

6、-2t過點D作DG/AB交BC于G點，則有四邊形ABGD為平行四邊形BG=AD=3，DG=AB=4GC=BC-BG=10-3=7由MN/AB、DG/AB得MN/DGMNCGDC=t=(3)如圖（3）若以MN為底邊，則CM=CN10-2t=tt=如圖（4）若以NC為底邊，則MN=MC過點M作MKCN于KCK=KN=由C為公共角可得RtDFCRtMKC=CK=（10-2t） 即=（10-2t）t=如圖（5）若以MC為底邊，則NM=NC過點N作NTBC于TCT = MT =5-t由C為公共角可得RtCNTRtCDF= =CT=即=5-tt=綜上所述，當(dāng)t=或或時，MNC為等腰三角形。練習(xí)：（2010河南）如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，E是BC 的中點，AB=5，BC=12，CD=4，C=450，點P是BC邊上的一動點，設(shè)PB的長為x（1） 當(dāng)x為何值時，以點P