傅里葉變換的對(duì)稱性證明_第1頁
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文檔簡介

1、一 序列的傅里葉變換（DTFT）的對(duì)稱性已知： (由Z變換的性質(zhì)可推出)共軛對(duì)稱序列：實(shí)部是偶對(duì)稱序列，虛部是奇對(duì)稱序列共軛反對(duì)稱序列: 實(shí)部是奇對(duì)稱序列，虛部是偶對(duì)稱序列任一序列總可以表示成共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列之和： 求證： or or 證明： 對(duì)實(shí)數(shù)序列 則：即：實(shí)數(shù)序列的傅里葉變換具有共軛對(duì)稱性（是共軛對(duì)稱序列） 共軛對(duì)稱序列變成偶對(duì)稱序列 共軛反對(duì)稱序列變成奇對(duì)稱序列二 離散傅里葉變換（DFT）的對(duì)稱性已知：有時(shí)習(xí)慣上 可寫成，但應(yīng)該指出，當(dāng)時(shí)，可得到，但由于DFT的取值區(qū)間為，已超出該區(qū)間，因而應(yīng)當(dāng)理解為。證明：復(fù)序列實(shí)部的DFT等于序列DFT的圓周共軛對(duì)稱分量：復(fù)序列虛部乘

2、以j的DFT等于序列DFT的圓周共軛反對(duì)稱分量：復(fù)序列的圓周共軛對(duì)稱分量的DFT等于序列DFT的實(shí)部：or復(fù)序列的圓周共軛反對(duì)稱分量的DFT等于序列DFT的虛部乘以j：or根據(jù)頻域抽樣理論，對(duì)信號(hào)的連續(xù)頻譜抽樣，必然伴隨著信號(hào)在時(shí)域的周期性延拓。為了使頻域的樣本能完全代表時(shí)域的信號(hào)，則必須要求信號(hào)是時(shí)限的，而且在周期延拓時(shí)不發(fā)生重疊。如果信號(hào)是一個(gè)長度為M的有限長序列，當(dāng)我們對(duì)它的頻譜在一個(gè)周期內(nèi)等間隔抽樣N點(diǎn)時(shí)，伴隨著在時(shí)域?qū)⒁訬為周期延拓。為了避免信號(hào)的重疊，顯然必須有,也就是說至少要在一個(gè)周期內(nèi)抽樣M點(diǎn)。如果是一個(gè)無限長序列（非時(shí)限），則無論對(duì)其頻譜在一個(gè)周期內(nèi)怎樣抽樣，都將不可避免地發(fā)生時(shí)域內(nèi)信號(hào)的重疊，因而也不可能從周期延拓的信號(hào)

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