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1、第十五章 傅里葉級(jí)數(shù)1 三角級(jí)數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)1證明(1) , ,是上的正交系;(2) , ,是上的正交系;(3) 1,是上的正交系; (4) 1, ,不是上的正交系;2求下列周期為的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù): (1) 三角多項(xiàng)式; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) ; (9) ; (10) .3設(shè)以為周期,在絕對(duì)可積,證明: (1) 如果函數(shù)在滿足,則;(2) 如果函數(shù)在滿足,則.2 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性1將下列函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù),并討論收斂性: (1) ; (2) ;2由展開式, (1) 用逐項(xiàng)積分法求,在中的傅里葉展開式; (2) 求級(jí)數(shù),的和.3 (1
2、) 在 內(nèi),求的傅里葉展開式; (2) 求級(jí)數(shù)的和.4設(shè)在上逐段可微,且. ,為的傅里葉系數(shù),是的導(dǎo)函數(shù)的傅里葉系數(shù),證明:, .5證明:若三角級(jí)數(shù)中的系數(shù),滿足關(guān)系,M為常數(shù),則上述三角級(jí)數(shù)收斂,且其和函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).6設(shè),求證:.7設(shè)以為周期,在上單調(diào)遞減,且有界,求證:.8設(shè)以為周期,在上導(dǎo)數(shù)單調(diào)上升有界. 求證:.9證明:若在點(diǎn)滿足階的利普希茨條件,則在點(diǎn)連續(xù). 給出一個(gè)表明這論斷的逆命題不成立的例子.10設(shè)是以為周期的函數(shù),在絕對(duì)可積,又設(shè)是的傅里葉級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和,則 ,其中是狄利克雷核.11設(shè)是以為周期,在連續(xù),它的傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂. 求證:.12設(shè)是以為周期、連續(xù),其
3、傅里葉系數(shù)全為0,則.13設(shè)是以為周期,在絕對(duì)可積. 又設(shè)滿足存在. 證明. 進(jìn)一步,若在點(diǎn)連續(xù),則,其中.3 任意區(qū)間上的傅里葉級(jí)數(shù)1將下列函數(shù)在指定區(qū)間上展開為傅里葉級(jí)數(shù),并討論其收斂性:(1) 在區(qū)間展開(2) ;(3) ; (4) 2求下列周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù): (1) ; (2) .3把下列函數(shù)在指定區(qū)間上展開為余弦級(jí)數(shù): (1) ; (2) 4把下列函數(shù)在指定區(qū)間上展開為正弦級(jí)數(shù): (1) (2) .5把函數(shù)在上展開成余弦級(jí)數(shù),并推出.6將函數(shù)分別作奇延拓和偶延拓后,求函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù),其中7應(yīng)當(dāng)如何把給定在區(qū)間的可積函數(shù)延拓到區(qū)間內(nèi),使得它在中對(duì)應(yīng)的傅里葉級(jí)數(shù)為: (1) ;(2)
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