雙勢壘中的隧道效應(yīng)及其應(yīng)用-王鑫

1、雙拋物線勢場中的隧道效應(yīng)王 鑫(陜西理工學(xué)院 物理系2007級物理學(xué)3 班 ，陜西 漢中 723000)指導(dǎo)老師：王劍華摘要量子力學(xué)中的隧道效應(yīng)是一種重要的物理現(xiàn)象，有著非常廣泛的應(yīng)用. 本文從薜定諤方程出發(fā),討論了求解雙拋物線勢場中的隧道效應(yīng)，給出了相應(yīng)的透射系數(shù)和反射系數(shù)，并對其進行討論，研究其應(yīng)用。關(guān)鍵詞 薜定諤方程與遂道效應(yīng)；雙拋物線勢場中粒子的透射系數(shù)；雙拋物線勢場中粒子的透射系數(shù)；隧道效應(yīng)及其應(yīng)用引言在量子力學(xué)發(fā)展初期，德布羅意根據(jù)光的波粒二象性，提出了物質(zhì)波假說，即認(rèn)為微觀粒子（電子、質(zhì)子、中子等）也具有波動性。由于微觀粒子具有波動性因而它在能量E小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘，這種

2、現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)，隧道效應(yīng)完全是由于微觀粒子具有波動的性質(zhì)而來的。1957年，江崎制成了隧道二極管，第一次令人信服地證實了固體中的電子隧道效應(yīng)的存在。1960年賈埃弗利用隧道效應(yīng)測量了超導(dǎo)能隙，驗證了超導(dǎo)理論。1982年德國的賓尼等研制成功第一臺掃描隧道顯微鏡，把隧道效應(yīng)的應(yīng)用推向一個新的階段。近幾年來，人們十分關(guān)注分子和半導(dǎo)體量子阱中雙勢的隧道效應(yīng)問題研究4-8，氨分子作為一個典型的三角錐形模型，早在1927年Hund就提出量子隧道效應(yīng)會對三角錐形分子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)有很大的調(diào)整作用1。適當(dāng)選擇外部條件便可在不同程度上控制分子結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。近幾年來在介觀尺度的隧道效應(yīng)和光子隧道效應(yīng)方面的研究日益成

3、為熱點1-9，如在超導(dǎo)技術(shù)及納米技術(shù)方面的應(yīng)用發(fā)展較為明顯3。本文就雙拋物線的隧道效應(yīng)問題求解并進行討論2-3。1 薛定諤方程與隧道效應(yīng)在量子力學(xué)中，微觀體系的運動狀態(tài)是用一個波函數(shù)來描寫的，反映微觀粒子運動規(guī)律的微分方程是對時間的一階微分方程，即: (1.1)我們稱它為薛定諤方程（Schrödinger equation)，式中是表征力場的函數(shù)。 如果作用在粒子上的力場是不隨時間改變的，即力場是以勢能表征的，它不顯含時間，這時定態(tài)波函數(shù)所滿足的方程為: (1.3)稱為定態(tài)薛定諤方程（Schrödinger equation of stationary state)，其中表

4、示微觀粒子處于這個波函數(shù)所描寫的狀態(tài)時的能量，且其能量具有確定值。 設(shè)一個粒子，沿x軸正方向運動，其勢能為: （2.1）這種勢能分布稱為一維勢壘。 如圖2.1所示，故稱方勢壘。雖然方勢壘只是一種理想的情況，但卻是計算一維運動粒子被任意場散射的基礎(chǔ)。粒子在區(qū)域內(nèi)，若其能量小于勢壘高度，經(jīng)典物理來看是不能超越勢壘達到的區(qū)域。在量子力學(xué)中，情況則不一樣。為了討論方便，我們把整個區(qū)域分為三個區(qū)域：，U(x)U0E()()（）a0x 圖2.1 一維方型勢壘為了方便起見，將整個空間劃分為三個區(qū)域、區(qū)，則其定態(tài)薛定諤方程為 (2.2) 當(dāng)時，透射系數(shù)，反射系數(shù)為（2.4）（2.3） 當(dāng)時，只需令即可，透射系

5、數(shù) (2.5)反射系數(shù)為 (2.6)如果粒子能量比勢壘高度小得多，即，同時勢壘的寬度不太大，以致，則 ，此時 ，于是 (2.7)為恒大于1的數(shù)值，當(dāng)時 (2.8)當(dāng)?shù)臅r候，按照經(jīng)典力學(xué)觀點，在情況下，粒子應(yīng)暢通無阻的全部通過勢壘，而不會在勢壘上發(fā)生反射。而在微觀粒子的情形，則會發(fā)生發(fā)射。當(dāng)?shù)臅r候，從解薛定諤方程的結(jié)果來看，在勢壘內(nèi)部存在波函數(shù)。即在勢壘內(nèi)部找出粒子的概率不為零，同時在區(qū)域也存在波函數(shù)，所以粒子還可能穿過勢壘進入?yún)^(qū)域。 粒子在總能量E小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現(xiàn)象稱為遂道效應(yīng)。 其中 它的數(shù)量級接近于1，所以透射系數(shù)隨勢壘的加寬或加高而減小。 由上面的結(jié)果我們可以看到，微觀粒子

6、被勢壘散射有與宏觀粒子完全不同的效應(yīng)。當(dāng)一個宏觀粒子的能量大于勢壘高度時，此粒子將通過區(qū)域（）而進入?yún)^(qū)域（）。但是對于一個能量的微觀粒子，不但有穿過勢壘的可能，而且還有被反射的可能。如果一個宏觀粒子的能量，則當(dāng)此粒子在區(qū)域（）內(nèi)由左向右運動到達勢壘邊界時將被反射，所以粒子不可能穿過區(qū)域（）而進入?yún)^(qū)域（）。但是對于一個的微觀粒子卻不然，它既有被反射的可能，也有穿透勢壘而進入?yún)^(qū)域（）的可能，這種貫穿勢壘的效應(yīng)稱為隧道效應(yīng)。 2 雙拋物線勢場中粒子的波函數(shù)下面計算 ABC DEF a b 0 c d （4.1） 各個區(qū)域的薛定諤方程為 (4.2) 其中 令 如上圖所示，假設(shè)粒子以一定的能量E從左入射

7、，碰到勢壘V（x），設(shè)V（x）變化比較緩慢，而且入射粒子能量E不太靠近V（x）的峰值，此時可以用W.K.B.法來處理粒子穿透勢壘的現(xiàn)象。按照經(jīng)典力學(xué)，粒子在x=a處被碰回，但按照量子力學(xué)，考慮到粒子的波動性，粒子有一定的幾率穿透勢壘。當(dāng)然，在許多情況下，這種幾率是很小的?，F(xiàn)在我們就來計算雙勢壘穿透幾率T的大小。在A區(qū)遠離a處,由(3.6)式得波函數(shù)是, (4.3)在C區(qū)遠離b處,由(3.6)式得波函數(shù)是 , (4.4)而根據(jù)連接關(guān)系(3.8),(3.9),則在區(qū)域B中的W.K.B.近似解應(yīng)為 .(4.5)其中, .利用a處的連接公式(3.10),(3.11)在區(qū)域A中的W.K.B.近似解(4.

8、3)應(yīng)為 = + , (4.6)同理,在D區(qū)域的波函數(shù)為 , (4.7)在F區(qū)域,遠離d處,由于只有投射波,沒有反射波,所以,W.K.B近似解為 = , (4.8)由(3.8),(3.9) 則在區(qū)域E中的W.K.B.近似解應(yīng)為. (4.9)其中, , . (4.10)利用波函數(shù)及其微商在x=0處的連續(xù)性得方程組并解之得 (4.11) (4.12)其中3 雙拋物線勢場中粒子的透射系數(shù) 下面計算粒子在雙拋物線勢場中的透射系數(shù)。 (4.13)反射系數(shù) (4.14)于是，有R+T=1該式表示粒子透射概率與被反射概率之和等于1，是應(yīng)該得到的合理結(jié)果.對于一維勢壘散射問題，反射系數(shù)與透射系數(shù)之和等于1，這

9、一結(jié)論具有普適性。當(dāng) =0時,即=0 那麼 ,.由此可以看出,一組緊排的雙拋物線勢壘對微觀粒子的散射不能看作各拋物線勢壘獨立散射的簡單組合，它們在各自左右界面上的反射是相干的.4 原子鐘 原子鐘的頻率標(biāo)準(zhǔn)就是利用氨分子（）基態(tài)勢壘貫穿的震蕩頻率。氨分子（）是一個棱錐體，原子在其頂點上，三個原子在基底。如圖所示：如果在處，則由于隧道效應(yīng)，可以穿過勢壘而出現(xiàn)在點，當(dāng)運動能量小于勢壘高度如圖中能級所示，則原子的運動由兩種形式組成。1. 之間或之間的震蕩（諧振子）；2 這兩個區(qū)域之間通過勢壘的緩慢得多的震蕩運動。對于基態(tài)，第二種震蕩頻率為。這就是原子鐘在規(guī)定時間標(biāo)準(zhǔn)時所利用的氨分子的勢壘貫穿運動。5

10、結(jié)論拋物線模型在物理、化學(xué)和分子生物學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,例如在結(jié)構(gòu)化學(xué)教科書中用拋物線模型來討論分子的成鍵 ，拋物線模型在隧道效應(yīng)中有著重要的意義. 本文就雙拋物線的隧道效應(yīng)問題進行了討論.并且證明了一組緊排的雙拋物線勢壘對微觀粒子的散射不能看作各拋物線勢壘獨立散射的簡單組合，它們在各自左右界面上的反射是相干的.參考文獻 1 Lin W.A. and Ballentine L.E Quantum tunneling and regular and irregular quantuam dgnamics of driven double-well oscillatorJ. Phys.Rev.A

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14、 effect is one important physical phenomenon, has the extremely widespread application This article first introduced Schrödinger equation, discussed in the square shape potential barrier tunnel effect, and square shape potential barrier in the tunnel effect has carried on the promotion, obtains in the arbitrary shape potential field the tunnel effect, finally discussed in the parabola potential field tunnel effect It can precise manifest the crystal neu