初三數(shù)學(xué)說題教案：說一道中考?jí)狠S題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù) 學(xué) 說 題 說題人： 中考數(shù)學(xué)壓軸題歷來是初三師生關(guān)注的焦點(diǎn)，它一般有動(dòng)態(tài)問題、開放性題型、探索性題型、存在性題型等類型，涉及到代數(shù)、幾何多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，囊括初中重要的數(shù)學(xué)思想和方法。對(duì)于考生而言，中考?jí)狠S題是一根標(biāo)尺，可以比較準(zhǔn)確的衡量學(xué)生綜合解題能力以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面我就2014年我州數(shù)學(xué)中考第24題進(jìn)行講評(píng)。原題呈現(xiàn)：如圖，已知拋物線y=x2-1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）過點(diǎn)A作APCB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積。（3） 在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MGx軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的

2、三角形與PCA相似。若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。一、闡述題意 1、題目的已知條件（1）拋物線y=x2-1；（2）與x軸交于A、B兩點(diǎn)；（3）與y軸交于點(diǎn)C;（4）APCB；（5）M在x軸上方的拋物線上，且M作MGx軸于點(diǎn)G；（6）以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似。隱含條件為：（1）直線AP與直線CB的解析式中k值相等；（2） P點(diǎn)是直線AP與拋物線的交點(diǎn)；（3） 以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似的對(duì)應(yīng)關(guān)系不明確，有兩種情況需要討論；（4）對(duì)點(diǎn)M在拋物線上的位置不確定，要分兩種情況。2、難點(diǎn)及關(guān)鍵點(diǎn)（1）求出直線AP的解析式，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）知道

3、四邊形ACBP是個(gè)直角梯形或者把它以x軸為界分成兩個(gè)三角形，將四邊形ACBP的面積轉(zhuǎn)化成ABC和ABP的面積之和；（3）對(duì)于兩個(gè)三角形相似兩種對(duì)應(yīng)關(guān)系的討論；（4）對(duì)點(diǎn)M在拋物線上的位置存在兩種情況的討論。 當(dāng)然，對(duì)于壓軸題，大部分題的難點(diǎn)還在于學(xué)生無法將分散的條件集中到有效的圖形上進(jìn)行解決，這個(gè)題也不例外。二、闡述試題背景 本題是我州當(dāng)年的數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題，分值12分。本題涉及的知識(shí)點(diǎn)有：拋物線；直角坐標(biāo)；直線平行；待定系數(shù)法；四邊形的面積；三角形的相似。本題是二次函數(shù)、一次函數(shù)與多邊形綜合的數(shù)形結(jié)合題，綜合性強(qiáng)，而且隱含條件多，這是學(xué)生所不注意的地方，也正是解決問題的突破口和切入點(diǎn)。因此本題

4、嚴(yán)格按照考試大綱的考試目標(biāo)與要求來命題，按照“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力”的原則，確立以能力立意命題的指導(dǎo)思想，將知識(shí)、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢測考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在考查考生對(duì)初中的基礎(chǔ)知識(shí)，基礎(chǔ)技能的掌握程度的同時(shí)，更考查考生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平。三、解題過程 同一個(gè)問題，從不同的角度探究與分析，可有不同的解法。一題多解，有利于溝通各知識(shí)的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性。本題解法如下：解：（1）令y=0，即x2-1=0，得：x1=-1、x2=1即A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1，0)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)令x=0，得y=-1，即C的坐標(biāo)為(0，-1)A（-1，0）,B（1，0）,

5、C（0，-1）（2）B（1，0）,C（0，-1）用待定系數(shù)法得直線BC解析式為：y=x-1APCB設(shè)AP所在的直線解析式為：y=x+b則0-1+b，b1AP所在的直線解析式為：y=x+1又P點(diǎn)在拋物線y=x2-1上由得X1-1(舍去），X22P（2，3）AP在ABC中，AC=BC=,AB=2AC2+BC2=AB2ABC為等腰直角三角形，且ACB=90又由（1）得：APCB四邊形ACBP為直角梯形梯ACBP（BC+AP)AC=（+3）=4 當(dāng)然問題二：P點(diǎn)的坐標(biāo)也可以構(gòu)建等腰直角三角形來得出，另外，也可以不證四邊形ACBP為直角梯形，直接用在坐標(biāo)中根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)來求面積來解決，更簡潔，如下：解法二

6、：OA=OB=OC=1，BAC=ACO=BCO=45APCB，PAB=45EBB過點(diǎn)P作PEx軸于E，則APE為等腰直角三角形，令OE=a，則PE=a+1，P（a，a+1）點(diǎn)P在拋物線y=x2-1上，a+1=a2-1解得a1=2，a2=-1（不合題意，舍去）P（2，3），PE=3C四ACBPSABC+SABP21+23=4（3）假設(shè)存在由（2）得：AP，PAC=90，MGx軸于點(diǎn)G，MGA=PAC=90設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則M（m，m2-1）M點(diǎn)在X軸上方，則m-1或m1當(dāng)m-1時(shí)，則AG=-1-m，MG=m2-1（）當(dāng)AMGPCA時(shí)，有 AG：PA=MG：CA（-1-m）：=（m2-1）：解

7、得m1=-1（舍去）m2= （舍去）C（）當(dāng)MAGPCA時(shí)，有 AG：CA=MG：PA， （-1-m）：=（m2-1）：解得：m1=-1（舍去），m2=-2M（-2，3）；當(dāng)m1時(shí)，則AG=m+1，MG=m2-1（）當(dāng)AMGPCA時(shí)，有 AG：PA=MG：CA（m+1）：=（m2-1）：解得m1=-1（舍去）m2= M（， ）（）當(dāng)MAGPCA時(shí)，有 AG：CA=MG：PA， （m+1）：=（m2-1）：解得：m1=-1（舍去），m2=4，M（4，15）存在點(diǎn)M，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，3），（， ），（4，15） 問題三解法二，上面這種討論法可能很多學(xué)

8、生都可以想到。而且這個(gè)問題還可以更簡潔點(diǎn)，前面要分很多種情況來討論，關(guān)鍵是：M點(diǎn)在拋物線的不同地方線段AG有不同的表示法，另外就是與PCA相似的對(duì)應(yīng)關(guān)系有兩種情況。其實(shí)，前者問題的解決只要在線段的表示上加絕對(duì)值就好，后者把MAG的兩直角邊之比分3：1和1：3即可，這樣只要解方程并檢驗(yàn)根是否符合題意就可了，解法如下：(3) 由（2）得：CAAP，則PAC為直角三角形，且兩直角邊比為:AP:CA=3：1設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m2-1），則N點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，0)直角MAG兩直角邊長分別為：AG=|m+1|，MG=m2-1根據(jù)題意需要使=3或=解得：m1=-2，m2=4，m3=4/3，m4=2/3（舍去

9、）(m2-1)1=3，(m2-1)2=15,(m2-1)3=7/9M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：(-2，3)，(4，15)，(4/3，7/9)四、題目變式：1、 條件不變，改變結(jié)論：（1） 問題2變?yōu)椤扒驪BC的面積”這個(gè)問題的解法思路有：1、利用“S四邊形ACBP-SPAC”來解，S四邊形ACBP的面積前面有解法，求直角三角形PAC的面積也很簡單，因此，結(jié)論就可解了；2、直接求PBC的面積，在知道了P、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)后，得到直線PC的解析式，從而得出直線PC與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，這樣就可以以X軸為界將PAC分成以X軸上的線段為底的兩個(gè)三角形，高分別是P、C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，問題就迎刃而解了。（2） 將問題3中“在X

10、軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M”變?yōu)椤霸趻佄锞€上是否存在一點(diǎn)M”其他不變，這樣在上面（3）的解法一中的討論就要加入下面的部分：當(dāng)-1m1時(shí)，則AG=m+1，MG=1-m2（）當(dāng)AMGPCA時(shí)，有 AG：PA=MG：CA（m+1）：=（1-m2）：解得m1=-1（舍去），m2= M（，）（）當(dāng)MAGPCA時(shí)，有 AG：CA=MG：PA（m+1）：=（1-m2）：解得m1=-1（舍去），m2= -2（舍去）M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，3），（， ），（4，15），（，）若用解法二來解的只要將“MG=m2-1”變?yōu)椤癕G=|m2-1|”就好，方程的解也沒變，只是把舍去的根保留，從而增加一個(gè)點(diǎn)M（，）。（3）

11、 條件結(jié)論都變，圖不變：如圖，拋物線關(guān)于與y軸對(duì)稱，與x軸交于A、B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-1）求拋物線的解析式；過點(diǎn)A作APAC交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積。在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MGx軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似。若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。五、總結(jié)提煉 通過以上解題和變式過程突出地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中常見的轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、建模思想、函數(shù)思想、啟發(fā)、討論等。運(yùn)用了假設(shè)存在、由已知條件推理論證、得出結(jié)論等解題規(guī)律。六、教學(xué)設(shè)計(jì) 在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是一項(xiàng)重要任務(wù)，那么如何激發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生的

12、思維，從而提高課堂效率呢？這就需要在課堂教學(xué)中精心創(chuàng)設(shè)問題情境。創(chuàng)設(shè)問題情境可以使學(xué)生自覺主動(dòng)，深層次地參與教學(xué)。以利于其發(fā)現(xiàn)、理解和解決問題，學(xué)習(xí)中產(chǎn)生明顯的意識(shí)傾向和情趣共鳴?？傊?，精心創(chuàng)設(shè)問題情境是啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的有效手段。教師引導(dǎo)：（1）題目當(dāng)中有哪些已知條件？需要你求解的問題是什么？用筆劃出關(guān)鍵詞，并在圖上做標(biāo)記 。（2）你有不知道如何用的條件嗎？誰能幫忙嗎？（學(xué)生答后，讓學(xué)生討論交流解決。）（3）你有不知道如何下手的求解問題嗎？誰能幫忙嗎？（學(xué)生答后，讓學(xué)生討論交流解決。）（4）兩直線平行的解析式有何相同點(diǎn)？（5）四邊形ACBP是個(gè)規(guī)則的四邊形圖形嗎？（6）ACP是個(gè)什么特殊三角形嗎？（7）題