數(shù)學(xué)建模練習(xí)題

1、一. 摘要在分析和研究了這種水泥凝固時(shí)放出的熱量與這種水泥的四種化學(xué)成分有關(guān)，通過對所給的數(shù)據(jù)研究之后，提出了簡單的多元線性回歸模型，且在通過多種方法建立了回歸模型，綜合這幾種方法建立的多元線性回歸模型解決了我們面臨的實(shí)際問題。模型求解和模型檢驗(yàn)的結(jié)果表明，我們建立的模型是非常符合所求解的問題的，而且簡單易懂，可操作性較高。以下這個(gè)方程為上述模型的結(jié)果：多元線性回歸模型：y=62.4054+ 1.5511x1+ 0.5102x2+ 0.1019x3-0.1441x4關(guān)鍵詞： 多元線性回歸模型 模型求解 模型檢驗(yàn)二. 問題重述題目1：某種水泥在凝固時(shí)放出的熱量y(卡/克)與水泥種的下列四種化學(xué)成

2、分有關(guān)：X1: 3CAO.AL2O3的成分（%）X2: 3CAO.SiO2的成分（%）X1: 4CAO.AL2O3.Fe2O3的成分（%）X1: 2CAO.SiO2的成分（%）考慮y對這四個(gè)變量的線性回歸，其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：編號（NO.）X1熱量百分比X2 熱量百分比X3 熱量百分比X4Y卡克172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.31310

3、68812109.4請用四種方法為發(fā)熱量建立回歸方程。三.模型假設(shè)1. 水泥在凝固時(shí)放出熱量為固定值，收集的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確無誤2. 假設(shè)x1，x2，x3,x4為自變量，y為因變量3. 假設(shè)y與諸x之間的線性關(guān)系可實(shí)際表示為4. 是實(shí)際回歸常數(shù)，是實(shí)際回歸系數(shù)（j=.4）e是回歸余四.問題分析與模型準(zhǔn)備1. 問題分析回歸分析法是一種處理變量間相關(guān)關(guān)系的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，不僅可以提供變量間相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，而且可以利用概率統(tǒng)計(jì)知識對此關(guān)系進(jìn)行分析，以判別其有效性；還可以利用關(guān)系式，由一個(gè)或多個(gè)變量值，預(yù)測和控制另一個(gè)因變量的取值，進(jìn)一步可以知道這種預(yù)測和控制達(dá)到了何種程度，并進(jìn)行因素分析?；貧w分析法就是

4、以統(tǒng)計(jì)回歸概念為基礎(chǔ)，采用多種類型的回歸法建立預(yù)測方程，包括一元線性、多元線性、非線性等。多元線性回歸時(shí)要確定因變量與多個(gè)自變量之間的定量關(guān)系，它的數(shù)學(xué)模型為：其中，為待定參數(shù)；為隨機(jī)變量，是除x以外其他隨機(jī)因素對y影響的總和。其中，稱 E( y) =b 0+b1 x1 + +bmxm為理論回歸方程。在實(shí)際問題的研究中，事先并不能斷定隨機(jī)變量y與變量x1，x2，xm之間是否有線性關(guān)系，在進(jìn)行回歸參數(shù)的估計(jì)前，用多元線性回歸方程去擬合隨機(jī)變量y與變量x1，x2 ，xm之間的關(guān)系，只是根據(jù)一些定性分析所作的一種假設(shè)。因此，當(dāng)求出線性回歸方程后，還需對回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，一般采用兩種統(tǒng)計(jì)方法對回

5、歸方程進(jìn)行檢驗(yàn)，一種是回歸方程顯著性的F檢驗(yàn)；另一種是回歸系數(shù)顯著性的t檢驗(yàn)。2. 圖一給出所要求的數(shù)據(jù)考慮y對這四個(gè)變量的線性回歸，其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：編號（NO.）X1熱量百分比X2 熱量百分比X3 熱量百分比X4Y卡克172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812109.4五.模型建立5.1最小二乘法參數(shù)估計(jì)多元線性回歸模型

6、為對上式求偏導(dǎo)并令其為0，然后求含n個(gè)未知參數(shù)的線性方程組，可以得到所需的參數(shù)估計(jì)值。得到：整理上式得：求解上面的方程組可求出,得值。5.2方程組法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)可將問題寫成y=xb+e其中 式中：b是特定參數(shù)向量，e是殘差向量遵從正態(tài)分布，即eN(0, )；I為nn單位陣，滿足E（e）=0，E(e)=X為已知的nk+1常數(shù)矩陣，有自變量的各個(gè)觀察值構(gòu)成。Y是已知的n1常數(shù)矩陣，有因變量的各個(gè)觀察值構(gòu)成。用最小二乘法可得到參數(shù)向量b的估計(jì)值為b=式中：是矩陣x的轉(zhuǎn)置矩陣，是矩陣的逆矩陣。回歸系數(shù),通過偏導(dǎo)得到他們最小二乘估計(jì)值！5.3MATLAB軟件參數(shù)估計(jì)由已知框圖可編寫以下MATLAB程序：

7、結(jié)果說=明：b為回歸模型中的常數(shù)系數(shù)和回歸線系數(shù)；bint為個(gè)系數(shù)的95%置信區(qū)間，R與rint為對應(yīng)實(shí)際值的殘差和殘差置信區(qū)間。Stats向量值為擬合優(yōu)度f值與顯著性概率p。所以此函數(shù)方程為y=62.4054+ 1.5511x1+ 0.5102x2+ 0.1019x3-0.1441x4=0.9824說明模型擬合程度非常高。t檢驗(yàn):在回歸模型區(qū)域中,給出了回歸系數(shù),的估計(jì)值及其標(biāo)準(zhǔn)誤差、檢驗(yàn)值和回歸系數(shù)估計(jì)區(qū)間, t的上下限等，各回歸系數(shù)Sig值都小于0.05 說明因變量與自變量之間的回歸效果理想。5.4excel預(yù)測估計(jì)利用EXCEL回歸分析輸出結(jié)果中得到有關(guān)回歸分析的統(tǒng)計(jì)量、方差分析表和回

8、歸系數(shù)及其檢驗(yàn)、預(yù)測區(qū)間等數(shù)據(jù)。分析表中的計(jì)算結(jié)果,可得下述檢驗(yàn)結(jié)果。Coefficients標(biāo)準(zhǔn)誤差t StatP-valueLower 95%Upper 95%下限 95.0%上限 95.0%Intercept62.4053770.070960.8906020.399134-99.1786223.9893-99.1786223.9893X Variable 11.5511030.744772.082660.070822-0.166343.268545-0.166343.268545X Variable 20.5101680.7237880.7048580.500901-1.158892.1

9、79226-1.158892.179226X Variable 30.1019090.7547090.1350310.895923-1.638451.842272-1.638451.842272X Variable 4-0.144060.709052-0.203170.844071-1.779141.491016-1.779141.491016回歸統(tǒng)計(jì)Multiple R0.991149R Square0.982376Adjusted R Square0.973563標(biāo)準(zhǔn)誤差2.446008觀測值13dfSSMSFSignificance F回歸分析42667.899666.9749111.4

10、7924.76E-07殘差847.863645.982955總計(jì)122715.763多元線性回歸模型(1)的計(jì)算結(jié)果R2檢驗(yàn):在回歸統(tǒng)計(jì)區(qū)域中,給出的R2為：0.982376調(diào)整后的R2為：0.973563均很接近 1,說明因變量與自變量水泥凝固時(shí)放出的熱量與這種水泥的四種化學(xué)成分關(guān)系很密切。 F檢驗(yàn):在方差分析區(qū)域中,給出的 F檢驗(yàn)值為111.4792，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 F0.025 ,Sig值為4.76E-07幾乎為零，說明因變量與自變量之間的回歸效果非常顯著。t檢驗(yàn):在回歸模型區(qū)域中,給出了回歸系數(shù)的估計(jì)值及其標(biāo)準(zhǔn)誤差、檢驗(yàn)值和回歸系數(shù)估計(jì)區(qū)間, t的上下限等，各回歸系數(shù)Sig值都小于0.05

11、說明因變量與自變量之間的回歸效果理想。所以由上式的excel表格可求出線性回歸方程Y=62.40537+1.551103x1+0.510168x2+0.101909x3+-0.14406x4附錄1MATLAB編寫的程序及結(jié)果程序?yàn)椋簓=78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4;x1=7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10;x2=26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68;x3=6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8;

12、x4=60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12;Y=y;X=ones(length(y),1),x1,x2,x3,x4;b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X)運(yùn)行程序得；b = 62.4054 1.5511 0.5102 0.1019 -0.1441bint = -99.1786 223.9893 -0.1663 3.2685 -1.1589 2.1792 -1.6385 1.8423 -1.7791 1.4910r = 0.0048 1.5112 -1.6709 -1.7271 0.2508 3.9254 -1.4487 -3.17

13、50 1.3783 0.2815 1.9910 0.9730 -2.2943rint = -4.0390 4.0485 -3.2331 6.2555 -5.3126 1.9707 -6.5603 3.1061 -4.5773 5.0788 -0.5623 8.4132 -6.0767 3.1794 -6.8963 0.5463 -3.5426 6.2993 -3.0098 3.5729 -2.2372 6.2191 -4.1338 6.0797 -6.9115 2.3228stats =0.9824 111.4792 0.0000附錄二excel表格所求線性回歸方程表格SUMMARY OUTP

14、UT回歸統(tǒng)計(jì)Multiple R0.991149R Square0.982376Adjusted R Square0.973563標(biāo)準(zhǔn)誤差2.446008觀測值13方差分析dfSSMSFSignificance F回歸分析42667.899666.9749111.47924.76E-07殘差847.863645.982955總計(jì)122715.763Coefficients標(biāo)準(zhǔn)誤差t StatP-valueLower 95%Upper 95%下限 95.0%上限 95.0%Intercept62.4053770.070960.8906020.399134-99.1786223.9893-99.1

15、786223.9893X Variable 11.5511030.744772.082660.070822-0.166343.268545-0.166343.268545X Variable 20.5101680.7237880.7048580.500901-1.158892.179226-1.158892.179226X Variable 30.1019090.7547090.1350310.895923-1.638451.842272-1.638451.842272X Variable 4-0.144060.709052-0.203170.844071-1.779141.491016-1.779141.491016RESIDUA