對(duì)數(shù)發(fā)明的歷史

1、對(duì)數(shù)發(fā)明的歷史1、對(duì)數(shù)發(fā)明的背景16世紀(jì)前半葉，歐洲人熱衷于地理探險(xiǎn)和海洋貿(mào)易，需要更為準(zhǔn)確的天文知識(shí)，而天文學(xué)的研究中，需要大量煩瑣的計(jì)算，特別是三角函數(shù)的連乘，天文學(xué)家們苦不堪言。德國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·維爾納首先推出了三角函數(shù)的積化和差公式，即sin·sin=cos(-)cos(+)/2 ,cos·cos=cos(-)cos(+)/2 .大大簡(jiǎn)化了三角函數(shù)連乘的計(jì)算。比如，計(jì)算sin67°34'×sin9°3'，可以從三角函數(shù)表查出sin67°34'=0.92432418，sin9°3'

2、;=0.15729632。但隨后的乘法的計(jì)算十分煩瑣，且容易出錯(cuò)。（請(qǐng)你不用計(jì)算器，手算一下0.92432418×0.15729632=？，記住還要驗(yàn)算一遍，以保證計(jì)算正確哦?。┯镁S爾納的三角函數(shù)積化和差公式，計(jì)算就大大簡(jiǎn)便了：sin67°34'×sin9°3'cos(67°34'-9°3')cos(67°34'+9°3')cos(58°31')cos(76°37')/20.52225052-0.23146492/20.145392

3、80這個(gè)公式還可以用于把任何二個(gè)數(shù)的乘法計(jì)算轉(zhuǎn)為加減法計(jì)算，方法如下：若求小于1的二個(gè)數(shù)a與b的乘積可以先由反三角函數(shù)表查得使a=sin=a ,sin=b的與,然后計(jì)算(-)和(+)，再由三角函數(shù)表查得cos(-)與cos(+) ,最后應(yīng)用上面的公式求出它們的一半,就得所要求的數(shù)。由于大于1的數(shù)可用小于1的數(shù)乘上10n 表示,因此上面的兩個(gè)公式實(shí)際上對(duì)于任意兩個(gè)數(shù)都是適宜的。但這樣做同樣太繁雜了,況且還不能直接應(yīng)用于除法、乘方和開方，因此,尋找更好的計(jì)算迫在眉睫。2、對(duì)數(shù)產(chǎn)生的前奏請(qǐng)你觀察下面兩個(gè)數(shù)列,并找出規(guī)律:1, 2, 4, 8,16,32,64,128,256,512,1024,204

4、8, 4096，8192，163840, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12， 13， 14德國(guó)數(shù)學(xué)家Stifel (14871567)在觀察上述兩個(gè)數(shù)列時(shí),稱上排的數(shù)為 “原數(shù)”, 下排的數(shù)為“代表數(shù)” (德文Exponent) , Stifel發(fā)現(xiàn),上一排數(shù)之間的乘、除運(yùn)算結(jié)果與下一排數(shù)之間的加、減運(yùn)算結(jié)果有一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。Stifel指出：“欲求上邊任兩數(shù)的積（商），只要先求出其下邊代表數(shù)的和（差），然后再把這個(gè)和（差）對(duì)向上邊的一個(gè)原數(shù)，則此原數(shù)即為所求之積（商）?！北热?，計(jì)算16×1024，只要計(jì)算16的“代表數(shù)” 4、1024的“代表

5、數(shù)” 10之和4+10=14，再查出與“代表數(shù)” 14相對(duì)應(yīng)的“原數(shù)” 16384，就得到16×1024的乘積。實(shí)際上, Stifel已經(jīng)掌握了對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，因?yàn)镾tifel所謂的“代表數(shù)”,本質(zhì)上是“原數(shù)”以2為底的對(duì)數(shù)。說(shuō)明：上一排原數(shù)可寫為以2為底的指數(shù)函數(shù),則數(shù)列對(duì)為：2，21，22，23，24，25，26，27，28，29，210，211，212,2132140，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，1314則16×128實(shí)際上就是24×2724+72112048。此法可推廣到任何二個(gè)數(shù)的乘除運(yùn)算。比如計(jì)算17951235×0.

6、08304115,設(shè)17951235aX, 0.08304115aY，則17951235×0.08304115aX ×aYaX+Y。這里x是17951235的(以a為底的)對(duì)數(shù)，y是0.08304115的(以a為底的)對(duì)數(shù)。底a是可以任意指定的，我們指定a=10,則只要查表得到這二個(gè)數(shù)的常用對(duì)數(shù)(以10為底的對(duì)數(shù)稱為常用對(duì)數(shù)) x=lg 17951235=7.2540943323和y=lg0.08304115-1.0807066451，計(jì)算x+y=6.1733876872，再查表得6.1733876872的(以10為底的)指數(shù)函數(shù)，106.17338768721490691

7、.1983就得到了17951235的乘積。這就是后來(lái)的“對(duì)數(shù)簡(jiǎn)化運(yùn)算”的方法。但由于當(dāng)時(shí)沒(méi)有分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念，人們還完全想不到這樣的原理。Stifel嘗試做任何兩個(gè)數(shù)乘除時(shí)，遇到用數(shù)列不能解決的情況,他感到束手無(wú)策,他說(shuō):“這個(gè)問(wèn)題太狹窄了,所以不值得研究”,只好“鳴金收兵”。3、對(duì)數(shù)的發(fā)明對(duì)數(shù)的概念，首先是由蘇格蘭數(shù)學(xué)家John Napier(納皮爾，15501617)提出的。那時(shí)候天文學(xué)是熱門學(xué)科。可是由于數(shù)學(xué)的局限性，天文學(xué)家不得不花費(fèi)很大精力去計(jì)算那些繁雜的“天文數(shù)字”，浪費(fèi)了若干年甚至畢生的寶貴時(shí)間。Napier也是一位天文愛(ài)好者，他感到，“沒(méi)有什么會(huì)比數(shù)學(xué)的演算更加令人煩惱諸如一些大

8、數(shù)的乘、除、平方、立方、開方因此我開始考慮怎樣才能排除這些障礙。”經(jīng)20年潛心研究大數(shù)的計(jì)算技術(shù)，他終于獨(dú)立發(fā)明了對(duì)數(shù)，并于1614年出版的名著奇妙的對(duì)數(shù)表的描述（"Mirifici logarithmorum canonis descriptio"），中闡明了對(duì)數(shù)原理，后人稱為納皮爾對(duì)數(shù)(NaplogX)。這讓他在數(shù)學(xué)史上被重重地記上一筆。1616年Briggs(亨利·布里格斯，15611630)去拜訪Napier，建議將對(duì)數(shù)改良一下以10為基底的對(duì)數(shù)表最為方便，這也就是后來(lái)常用的對(duì)數(shù)了?？上apier隔年于1617年春天去世，后來(lái)就由Briggs以畢生精力繼

9、承納皮爾的未竟事業(yè)，他于1619年發(fā)表了奇妙對(duì)數(shù)規(guī)則的結(jié)構(gòu)，于書中詳細(xì)闡述了對(duì)數(shù)計(jì)算和造對(duì)數(shù)表的方法，1624年出版了對(duì)數(shù)算術(shù)一書，公布了以10為底的14位對(duì)數(shù)表，并稱以10為底的對(duì)數(shù)為常用對(duì)數(shù)。對(duì)數(shù)表這一驚人發(fā)明很快傳遍了歐洲大陸。開普勒利用對(duì)數(shù)表簡(jiǎn)化了行星軌道的復(fù)雜計(jì)算。伽利略發(fā)出了豪言壯語(yǔ)：“給我時(shí)間、空間和對(duì)數(shù)，我可以創(chuàng)造出一個(gè)宇宙來(lái)?！睌?shù)學(xué)家拉普拉斯說(shuō)：“對(duì)數(shù)用縮短計(jì)算的時(shí)間來(lái)使天文學(xué)家的壽命加倍”。對(duì)數(shù)表曾在幾個(gè)世紀(jì)內(nèi)為數(shù)學(xué)家、會(huì)計(jì)師、航海家和科學(xué)家廣泛使用。今天，隨著計(jì)算機(jī)的迅猛發(fā)展，對(duì)數(shù)表、計(jì)算尺就像過(guò)時(shí)的法律一樣被廢棄了，但對(duì)數(shù)與指數(shù)本身已成為數(shù)學(xué)的精髓部分，也是每一個(gè)中學(xué)生

10、必學(xué)的內(nèi)容。最早傳入我國(guó)的對(duì)數(shù)著作是比例與對(duì)數(shù)，它是由波蘭的穆尼斯（1611-1656）和我國(guó)的薛鳳祚在17世紀(jì)中葉合編而成的。當(dāng)時(shí)在log2=0.3010中，2叫做“真數(shù)”，0.3010叫做“假數(shù)”，真數(shù)與假數(shù)對(duì)列成表，故稱對(duì)數(shù)表。后來(lái) “真數(shù)”改稱為“底數(shù)”， “假數(shù)”改稱為“對(duì)數(shù)”。 當(dāng)今中學(xué)數(shù)學(xué)教科書是先講“指數(shù)”，后以反函數(shù)形式引出“對(duì)數(shù)”的概念。但在歷史上，恰恰相反，對(duì)數(shù)概念不是來(lái)自指數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)尚無(wú)分指數(shù)及無(wú)理指數(shù)的明確概念。Briggs曾向Napier提出用冪指數(shù)表示對(duì)數(shù)的建議。最早使用指數(shù)符號(hào)的是法國(guó)數(shù)學(xué)家Descartes (笛卡爾，15961650)，他于1637年用符號(hào)

11、an表示正整數(shù)冪。分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在17世紀(jì)初開始出現(xiàn)，最早使用分?jǐn)?shù)指數(shù)記號(hào)的是荷蘭工程師Stevin，以后又有人將其擴(kuò)展到負(fù)指數(shù)，直到18世紀(jì)初英國(guó)數(shù)學(xué)家Newton(牛頓，16421727)開始使用aX表示任意實(shí)數(shù)指數(shù)冪這樣，指數(shù)概念才由最初的正整數(shù)指數(shù)逐步擴(kuò)展到實(shí)數(shù)指數(shù) 一直到18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家Euler (歐拉，17071783)才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)的聯(lián)系，他指出“對(duì)數(shù)源出于指數(shù)”，這個(gè)見(jiàn)解很快被人們接受4、Napier發(fā)明對(duì)數(shù)的思想方法假設(shè)有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)P和Q分別沿著線段AB和射線CD,以同樣的初速運(yùn)動(dòng),其中質(zhì)點(diǎn)Q沿直線CD勻速運(yùn)動(dòng),而質(zhì)點(diǎn)P在線段AB上任何一點(diǎn)的速度等于它到端點(diǎn)B的距離。Nap

12、ier定義CQ為PB的對(duì)數(shù)。也就是說(shuō)，設(shè)X=CQ為Y=PB,則XNaplogY（Naplog是納皮爾對(duì)數(shù)的符號(hào)）。當(dāng)P和Q從A和C出發(fā)時(shí)，其初速度的數(shù)值等于線段AB的長(zhǎng)度(設(shè)為Y0)，此后在相等時(shí)間間隔情況下，時(shí)刻t1,t2,t3,t4時(shí), Q位于C1,C2,C3,C4，P位于A1,A2,A3,A4。由于Q沿CD做勻速運(yùn)動(dòng)，C,C1,C2,C3,C4是等距的，與端點(diǎn)C的距離形成等差數(shù)列（0,Y0t,2Y0t,3Y0t,4Y0t,），而A,A1,A2,A3,A4,與端點(diǎn)B的距離形成等比數(shù)列（Y0,Y0(2-t)/(2+t),Y0(2-t)/(2+t)2,Y0(2-t)/(2+t)3,Y0(2-t)/(2+t)4,）。X與Y的關(guān)系：YY0(2-t)/(2+t) 1/(Y0t)X。根據(jù)微積分理論，t0時(shí)，(2-t)/(2+t)1/t1/e,則可得到Y(jié)Y0（1/e）X/Y0Napier