小波相關性和相干性VIP

1、前言時域指標參數(shù)1. 均值 當觀測時間趨于無窮時，信號在觀測時間內(nèi)取值的時間平均值就是信號的均值。均值定義為 （1）式中：是信號的觀測區(qū)間。實際不可能為無窮，算出的必然包含統(tǒng)計誤差，只能作為真值的一種估計。2. 均方值和方差 當觀測時間趨于無窮時，信號在觀測時間內(nèi)取值平方的時間平均值就是信號的均方值，定義為： （2）如果僅對有限長的信號進行計算，則結(jié)果僅是對其均方值的估計。均方值的正平方根，為均方根值（或有效值）。 方差定義為 （3）方差反應了信號中的動態(tài)部分。方差的正平方根稱為標準差。若信號的均值為零，則均方值等于方差。若信號的均值不為零時，則有下列成立 （4）3. 概率密度函數(shù) 隨機信號的

2、取值落在區(qū)間內(nèi)的概率可用下式表示 （5）式中：為信號取值落在區(qū)間內(nèi)的總時間；為總觀察時間。當時，概率密度函數(shù)定義為 （6）隨機信號的取值小于或等于某一定值的概率，稱為信號的概率分布函數(shù)。常用來表示。概率分布函數(shù)的定義為 （7）式中：為信號取值滿足的總時間；為總的觀察時間。1 相關分析1.1 相關的概念在信號分析中相關是一個非常重要的概念。所謂相關，就是指變量之間的線性聯(lián)系或相互依賴關系。經(jīng)典的互相關用于量化兩個信號和的相關程度。兩個隨機信號的互相關定義為： (1)式中，。在信號平穩(wěn)的假設下 若兩個信號間的延遲為，則定義兩個信號的互相關為 (2)式中，為信號和的觀測時間?；ハ嚓P函數(shù)是的函數(shù)，它完

3、整的描述了兩信號之間的相關情況或取值依賴關系。式(2)說明互相關分析提供了兩個信號在時域內(nèi)平移時的相關度的量化方法，也提供了兩信號延遲時產(chǎn)生的信號分量的識別方法。這種經(jīng)典互相關性適用于平穩(wěn)信號分析。1.2 小波相關性小波互相關類似于經(jīng)典的信號互相關，有效地提供了兩個信號相關性對尺度的依賴程度。設兩個互相關信號和，在給定尺度和時延下，x、y的小波互相關性定義為： (3)式中，和分別為和的小波變換系數(shù)。若分離小波變換系數(shù)的實部和虛部，只討論用實部量化給定尺度下兩個信號的相關程度，則小波互相關定義為： (4)Sello和Bellazzini建議只考慮小波變換的實部，用小波交叉譜定義小波局部相關系數(shù)為

4、： (5)該小波局部相關系數(shù)定義的理論基礎是經(jīng)典互相關和交叉小波頻譜間的關系： 。若考慮小波變換的實部和虛部提供的信息具有一定的聯(lián)系。則小波互相關定義為： (6)式中和分別是式(3)定義的交叉小波相關性函數(shù)的實部和虛部。從經(jīng)典互相關和小波互相關定義可以看出，小波互相關相比經(jīng)典互相關引入了參數(shù)a，而正是這一參數(shù)的引入，使得將經(jīng)典相關性只在時域內(nèi)分析兩個信號在不同延遲時的相關性，引入到在時頻兩域內(nèi)分析信號的相似程度。也就是說小波互相關隨尺度的變化而變化，是兩個信號在不同延遲時的相關性，因而能夠反映出信號互相關最大時，在該頻率處兩個信號的延遲(相差)等信息，為探測兩個信號的相似程度提供更豐富的信息，

5、對分析兩個信號的某一頻率成分的相似程度有著重要的作用，實現(xiàn)了在時頻兩域內(nèi)同時分析兩個信號的相關性。1.3 小波譜為了探測信號內(nèi)涵的特征信息及尺度，引入小波譜概念。小波譜首次由Hudgins和Brunet、Colloneau提出，它是基于時域和時間尺度域間的能量守恒定義的： (7)對于連續(xù)信號，其小波譜可用小波系數(shù)的模確定： （8）對于離散信號，設其二進離散小波變換為，則有 （9）說明原始信號的二范數(shù)等于小波變換各層細節(jié)信號絕對值的平方和。第j層細節(jié)的能量 稱之為小波能量時譜。其相應的Fourier域的二進離散小波能量，稱之為小波能量頻譜?？紤]到相移問題及工程實際應用中原始信號的實數(shù)性，可取實部

6、進行計算，即。由以上分析可知，小波譜是小波局部譜對平移因子的積分，是尺度（離散化表示為）的參數(shù)，即把Fourier譜的連續(xù)頻譜劃分為離散的頻帶分量，每個頻帶代表特定尺度下信號的頻譜信息。小波譜將小波變換和Fourier譜分析結(jié)合起來，可在時域中記錄信號的突變時間，又可在頻域中提取信號突變的頻段，通過信號在小波變換的各分解層上的小波譜探測信號內(nèi)涵的特征。2. 時間序列信號小波相干性分析相干函數(shù)是計算兩個隨機過程頻譜相關性的直接方法。如果過程是平穩(wěn)的，即假設它們的頻譜不隨時間變化，F(xiàn)ourier分析能夠?qū)崿F(xiàn)頻譜的精確估計，同樣也能給出相干性的精確估計。但它的前提是假設信號是平穩(wěn)的，而且無法辨別信號

7、的振幅和相位成分。由于實際大地測量時間序列信號受多種因素的影響，其變化過程中產(chǎn)生的信號是非平穩(wěn)的、動態(tài)的，其內(nèi)涵的特征信息的頻率可能隨時間而變化，表現(xiàn)出頻率分布不均勻。因而，相干性需要作為時間函數(shù)研究，這樣限制了Fourier分析的應用。為此，引入小波相干性。引入基于小波相干性的時間過程，是借鑒近來物理學中估計非平穩(wěn)信號互相作用的研究。與基于Fourier的一致性相比，小波相干性能夠以時間函數(shù)方式進行相干性分析，因而成為研究動態(tài)信號相互作用的有效替代方法。2.1 相干性函數(shù)對兩個連續(xù)有限能量信號 和，經(jīng)典的相關性是指兩個信號的時間相干性。將這兩個信號進行Fourier 變換，設其頻率為f，則x

8、和y相干性定義為： (10)式中是兩個信號和的交叉頻譜密度。在信號平穩(wěn)的假設下，定義為： (11)其中，E為數(shù)學期望。由Schwartz不等式，能夠保證(f)值介于0和1之間。估計兩個信號的相干性值要求已知和頻譜及它們的交叉頻譜，可用有限時間段內(nèi)觀測的信號求得。實際情況下，有限時間段數(shù)據(jù)的頻譜和交叉頻譜可由整個過程的某一段觀測信號來估計。兩個有限長度時間序列的交叉頻譜的估計： (12)式中是時間序列在頻率為時的離散Fourier系數(shù)，是的復共軛。該估計是不穩(wěn)定估計，為提高估計的可靠性，又提出了平滑頻譜估計。2.2 小波相干性平滑技術僅僅當各分段具有同一頻譜估計時才有意義。這種情形下，要求和是平

9、穩(wěn)的，即它們的頻譜特征不隨著時間變化而變化，也意味著(和)能分解為幅值和相位都不變的正弦波的疊加。Fourier分析適用于分析對此類信號。當x和y是非平穩(wěn)時，F(xiàn)ourier分析和以上的相干性估計就不適用了。為解決上述非平穩(wěn)信號分析中存在的問題，近年來又提出應用小波分析估計非平穩(wěn)信號相干性的方法。與Fourier分析相比，小波分析能夠分析具有時變頻譜的信號。它能夠?qū)崿F(xiàn)信號的時頻分析，即將信號的頻譜特征估計為一個時間函數(shù)。在一定意義上，小波分析接近于加窗短時Fourier變換。但是，短時Fourier分析的窗的大小是不變的，而小波分析窗能夠適用于信號的頻率。Van Milligen et al.

10、and Santoso et al.應用Morlet小波分解信號(也可以選擇其它的小波)。Morlet小波的優(yōu)點在于它具有良好的時間聚集性、較高的頻率分辨率、包含相位信息及其與常規(guī)信號非常相似等特點，因而用于識別兩個非平穩(wěn)時間序列的關聯(lián)程度，進行信號的頻譜估計。在頻率和時刻時，Morlet小波定義如下： (13)是頻率為的正弦波與以時刻為中心的高斯函數(shù)的乘積，高斯函數(shù)的的標準差與f的倒數(shù)成正比例。1小波相干性信號的小波變換是由信號與小波卷積得到的關于頻率和時刻的函數(shù)： (14)Torrence 和 Webster建議通過小波頻譜的光滑估計來確定小波相干性。在頻率和時刻時，定義信號的光滑小波譜和

11、交叉小波譜為： (15) (16)式中*表示復共軛，是依賴于頻率的一個標量。在小波相干性中，是個很重要的參數(shù)，它定義了小波相干性的時間分辨率，值越小，適應的信號頻率越高，因而能夠滿足相干性的時間變化。與基于Fourier的相干性類似，頻率和時刻的小波相干性定義為 (17)是由式(16)定義的信號的一個標量，Schwartz不等式能夠保證的值介于0和1之間。當?shù)扔?時，在任意頻率f和時刻t，兩信號的小波相干性等于1。2小波平方相干性平方相干性用于識別兩個時間序列共變過程中的頻帶。交叉小波能量是一般意義上的能量度量，而小波平方相干性是兩個時間序列在時頻空間中的協(xié)方差強度的度量。Torrence 和 Webster用平滑交叉小波譜的絕對值的平方定義小波平方相干性，并用平滑小波能量譜對其進行標準化