多元線性回歸模型金融計(jì)量浙大蔣岳祥

1、第五章 多元線性回歸模型在第四章中，我們討論只有一個(gè)解釋變量影響被解釋變量的情況，但在實(shí)際生活中，往往是多個(gè)解釋變量同時(shí)影響著被解釋變量。需要我們建立多元線性回歸模型。一、多元線性模型及其假定多元線性回歸模型的一般形式是令列向量x是變量xk，k=1，2，的n個(gè)觀測(cè)值，并用這些數(shù)據(jù)組成一個(gè)nK數(shù)據(jù)矩陣X，在多數(shù)情況下，X的第一列假定為一列1，則1就是模型中的常數(shù)項(xiàng)。最后，令y是n個(gè)觀測(cè)值y1, y2, , yn組成的列向量，現(xiàn)在可將模型寫為：構(gòu)成多元線性回歸模型的一組基本假設(shè)為假定1. 我們主要興趣在于對(duì)參數(shù)向量進(jìn)行估計(jì)和推斷。假定2. 假定3. 假定4. 我們假定X中不包含的任何信息，由于 （

2、1）所以假定4暗示著。（1）式成立是因?yàn)?，?duì)于任何的雙變量X，Y，有E(XY)=E(XE(Y|X)，而且這也暗示 假定5 X是秩為K的nK隨機(jī)矩陣這意味著X列滿秩，X的各列是線性無關(guān)的。在需要作假設(shè)檢驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，我們總是假定：假定6 二、最小二乘回歸1、最小二乘向量系數(shù)采用最小二乘法尋找未知參數(shù)的估計(jì)量，它要求的估計(jì)滿足下面的條件 （2）其中，min是對(duì)所有的m維向量取極小值。也即 （3）滿足（2）式或（3）式的估計(jì)量稱為的最小二乘估計(jì)，這種求估計(jì)量的方法稱為最小二乘法（OLS）。展開上式得或最小值的必要條件是設(shè)b是解，則b滿足正則方程組這正是我們?cè)治龅淖钚《苏齽t方程組。因?yàn)閄是滿秩的

3、，所以的逆存在，從而得到解是為了證實(shí)這確實(shí)是最小值，我們需要二階編分矩陣是一個(gè)正定矩陣。我們現(xiàn)在來證明這個(gè)結(jié)果。對(duì)任意一非零向量c，令，則除非的每一元素都為0，否則q是正的。但若為零的話，則X的各列的一個(gè)線性組合等于0，這與X滿秩的假定相矛盾。三、最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)特性在本節(jié)中，我們對(duì)回歸量的兩種情況，即非隨機(jī)回歸量和隨機(jī)回歸量下分別作討論。1、X非隨機(jī)回歸量若回歸量當(dāng)作非隨機(jī)來進(jìn)行處理時(shí)，則將X當(dāng)作常數(shù)矩陣處理就可導(dǎo)出最小二乘估計(jì)量的各種特性?？傻?（4）若X是非隨機(jī)的，或，則（4）中第二項(xiàng)的期望值是0。所以，最小二乘估計(jì)量是無偏的，它的協(xié)方差矩陣是 在前面的內(nèi)容中，對(duì)K=2的特殊b是的最

4、小方差的線性無偏估計(jì)量。現(xiàn)在我們給出這個(gè)基本結(jié)果的一個(gè)更一般的證明，令的另一個(gè)不同于b的線性無偏估計(jì)量，其中C是一個(gè)Kn矩陣。若是無偏的，這暗示著CX=I，并且。所以可以得到的協(xié)方差矩陣是現(xiàn)在令，由假設(shè)知D0。那么， 于是是非負(fù)定矩陣。則 在展開這個(gè)四項(xiàng)和式之前，我們注意到由于上面最后一項(xiàng)是I，有DX=0，所以 的方差矩陣等于b的方差矩陣加上一個(gè)非負(fù)定矩陣。所以，的每個(gè)二次型都大于的相應(yīng)二次型。利用這個(gè)結(jié)果可以證明高斯-馬爾科夫定理：高斯馬爾科夫定理： 對(duì)任意常向量w，古典線性模型中的最小方差線性無偏估計(jì)量是，其中b是最小二乘估計(jì)量。2、X隨機(jī)回歸量在這樣的情況下，為了得到最小二乘估計(jì)量特性更

5、多的一般性，有必要將上面的結(jié)果推廣解釋變量X是來自某種概率分布的情況中去。獲得b的統(tǒng)計(jì)特性的一個(gè)方便的方法是，首先，第一步求得對(duì)X的條件期望結(jié)果，這等同于非隨機(jī)回歸量的情況，第二步，通過條件分布得到無條件結(jié)果。此論點(diǎn)的關(guān)鍵是，如果我們對(duì)任意X都可能得到條件無偏性，我們就可以得到一個(gè)無條件結(jié)果。因?yàn)?所以，以觀測(cè)到的X為條件我們得到一個(gè)有用的方法是利用重期望定律 因?yàn)橛杉俣?有，所以，b也是無條件無偏的，這樣，。同樣，以X為條件的b的方差是為了求得確切的方差，我們使用方差分解公式：由于對(duì)所有X，所以第二項(xiàng)為零，因此，我們?cè)瓉淼慕Y(jié)論要稍作改變，我們必須用其期望值E(XX)-1來代替原來以得到適當(dāng)?shù)?/p>

6、協(xié)方差矩陣。從上一段的結(jié)果可以合乎邏輯地建立高斯馬爾科夫定理，即對(duì)任何，在X給定的條件下有但若這一不等式對(duì)一特定X成立，則必須成立：即，若它對(duì)每一特定X成立，則它一定對(duì)X的平均值也成立。這暗示，。所以，不論我們是否將X看作是隨機(jī)的，即無偏性和高斯馬爾科夫定理都成立。四、最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)推斷迄今為止，在我們?nèi)我唤Y(jié)果還未用到的正態(tài)性的假定6，但這一假定對(duì)構(gòu)造假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量是有用的和必須的。1、回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)我們先討論X非隨機(jī)變量時(shí)的情況。在（4）中，b是干擾向量的一個(gè)線性函數(shù)，如果我們假定服從多重正態(tài)分布。利用前面結(jié)果及前邊推導(dǎo)的均值向量和協(xié)方差矩陣來表示即這是一個(gè)多重正態(tài)分布，所以b的

7、每一元素的邊際分布都是正態(tài)分布的：令是的第k個(gè)對(duì)角元素，則 （5）服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。若的統(tǒng)計(jì)推斷可以基于。然而仍要估計(jì)，所以（5）式中Zk不是統(tǒng)計(jì)量。我們要得到的無偏估計(jì)量，才能作進(jìn)一步的推斷。按定義最小二乘殘差向量是 M是回歸分析中一個(gè)基本的nn矩陣，你可以容易地驗(yàn)證M既是對(duì)稱的(M=M)又是冪等的（M=M2）。性質(zhì)1：Xe=0和ie=0證明：由正則方程組，我們得到： 所以， ie=0由性質(zhì)1及證明過程我們得到兩個(gè)推論：推論1：和MX=0。推論2：和Mi=0。推論2成立是因?yàn)閄的第一行是（1,1,，1）。性質(zhì)2：e和b互不相關(guān)。 從幾何解釋來看這一性質(zhì)是顯然的，e表示Y到子樣空間的垂線估計(jì)量

8、，和e互相垂直。性質(zhì)3：殘差e的均值向量和協(xié)方差陣分別是證明： E(e)=0，暗示是y的無偏估計(jì)量。性質(zhì)4：證明：最小二乘殘差是，這是由于MX=0，的一個(gè)估計(jì)量將基于殘差平方和：這個(gè)二次型的期望值是我們有 由于M是固定的，這就是M的跡是 所以，的一個(gè)無偏估計(jì)量是 （6）回歸的標(biāo)準(zhǔn)誤差是s2，其平方根為s。利用s2，我們可以計(jì)算估計(jì)量b的估計(jì)協(xié)方差矩陣：通過利用s2替代，我們導(dǎo)出替代（5）中zk的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。此量是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)向量的冪等二次型，所以，它服從自由度為秩（M）=跡（M）=nK的x2分布。（6）中的x2分布變量獨(dú)立于（4）中的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，為了證明這一點(diǎn)，只要證明 （7a）獨(dú)立于就足夠

9、了。我們知道標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)向量x的一個(gè)線性式Lx和一個(gè)冪等二次型xAx獨(dú)立的充分條件是LA=0，令等x，我們發(fā)現(xiàn)這里所需求的是。這確實(shí)成立，因?yàn)?。在推?dǎo)回歸分析中許多檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量中起中心作用的一般性結(jié)果是：若服從正態(tài)分布，最小二乘系數(shù)估計(jì)量b統(tǒng)計(jì)獨(dú)立于殘差向量e及包括s2在內(nèi)的e的所有函數(shù)。所以，比率 （7）服從自由度為（nK）的t分布。這是我們作統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。線性約束檢驗(yàn)我們通常對(duì)含有不只一個(gè)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)感興趣，我們可以利用一個(gè)類似于（7）中的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。假定我們的假設(shè)是，（通常某些r將為零）左邊的樣本估計(jì)是若顯著異于q，則我們推斷樣本數(shù)據(jù)與假設(shè)不一致。與（7）一樣，將假設(shè)基于下式是很自然的。

10、（7a）我們需要的標(biāo)準(zhǔn)誤差的一個(gè)估計(jì)。由于是b的一個(gè)線性函數(shù)，且我們已估計(jì)出了b的方差矩陣，我們可用下式估計(jì)的方差。（7）中的分母是這個(gè)量的平方根。若假設(shè)是正確的，我們的估計(jì)應(yīng)該反映這一事實(shí)，至少在抽樣變化性的范圍內(nèi)如此。這樣，若前邊的t比率的絕對(duì)值大于適當(dāng)?shù)谋O(jiān)界值，則應(yīng)對(duì)假設(shè)產(chǎn)生懷疑。2、隨機(jī)X及正態(tài)下的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量現(xiàn)在，我們考慮當(dāng)X是隨機(jī)的，樣本檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和推斷方法考慮（7）中檢驗(yàn)的t統(tǒng)計(jì)量： （8）以X為條件，t|X服從自由度為（nK）的t分布。然而，我們感興趣的是t的邊際（即無條件）分布。正如我們所見，（7a）僅僅在以X為條件時(shí)b才是正態(tài)分布的，我們還沒有證明它的邊際分布是正態(tài)分布的。類

11、似地，當(dāng)X是隨機(jī)的情況下，在給定X的條件下，我們得到了（8）式的t統(tǒng)計(jì)量，我們還沒有證明t邊際分布也是以（nK）為自由度的t分布。事實(shí)上，t的邊際分布仍是以（nK）為自由度的t分布，不論X的分布是什么，甚至不論X是隨機(jī)的還是非隨機(jī)的或者是混合的。這個(gè)令人迷惑的結(jié)果來自f(t|X)不是X的函數(shù)這一事實(shí)，同樣的原因可以用來推演不論X是不是隨機(jī)的，通常用以檢驗(yàn)線性約束的F比率都是有效的。結(jié)論：若干擾項(xiàng)是正態(tài)分布的，我們可以在我們的過程中不加變化地進(jìn)行檢驗(yàn)和構(gòu)造參數(shù)的置信區(qū)間，而不去考慮回歸量是隨機(jī)的、非隨機(jī)的，還是它們的混合。3、擬合優(yōu)度和方差分析由方差分解公式，我們有：。我們用冪等矩陣M0來表示：

12、 所以，和進(jìn)一步研究回歸平方和SSR與殘差平方和SSE，我們可以得到下面三個(gè)結(jié)論：a）在=0的假設(shè)條件下，回歸平方和服從自由度為K1的卡方分布x2(K1)；b）殘差平方和服從自由度為nK的卡方分布x2(nK)；c）在=0的假設(shè)條件下，服從F（k-1,nk）分布。證明：a）M0M是冪等矩陣。先證明M0M+MM0=2M。M0M+MM0=2M從而 所以，。在=0的假設(shè)條件下，才服從自由度為K1的卡方分布x2(K1)（為什么？）b）因?yàn)镸是冪等矩陣而且c）只要驗(yàn)證即可。事實(shí)上， 。和前一章的情況一樣，我們要對(duì)回歸模型的好壞，作出評(píng)價(jià)，決定系數(shù)就是對(duì)模型擬合的一個(gè)度量，計(jì)算R2有兩個(gè)等價(jià)的方法。決定系數(shù)

13、進(jìn)一步推導(dǎo)和化解，我們可以得到R2另一個(gè)公式。，以及M0e=e（表示殘差已經(jīng)具有零均值）和Xe=0。所以，第一個(gè)方法度量了y的總變差中由回歸變差所解釋的部分，第二個(gè)是y的觀測(cè)值和由估計(jì)的回歸方程所產(chǎn)生的預(yù)測(cè)值間的相關(guān)系數(shù)的平方。當(dāng)利用R2來比較不同的線性統(tǒng)計(jì)模型的擬合度時(shí)，存在一個(gè)嚴(yán)重的缺點(diǎn)，就是它的值隨著解釋變量的增多而增大。為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，我們可以用調(diào)整的R2來測(cè)度一個(gè)模型的解釋能力，這個(gè)調(diào)整的R2被記，它的表達(dá)式為 這里的無偏估計(jì)量，（思考：當(dāng)y服從正態(tài)分布時(shí)，的一個(gè)無偏估計(jì)量）。不同的是，隨著解釋變量的增多，它的值可能變小，甚至要能取負(fù)值。因?yàn)樗?，SSR=我們得到了回歸方差的另一個(gè)

14、表達(dá)式，請(qǐng)見多元線性回歸模型方差分析表。表1 多元線性回歸模型方差分析來源自由度均方回歸K1殘差nKs2總n14、回歸的顯著性檢驗(yàn)一個(gè)通常要檢驗(yàn)的假定是回歸方程作為整體的顯著性，這是對(duì)除了常數(shù)項(xiàng)外所有常數(shù)都為0的假設(shè)的聯(lián)合檢驗(yàn)。若所有系數(shù)為0，則多重相關(guān)系數(shù)為0，所以我們可以將這一假定的一個(gè)檢驗(yàn)基于R2值上。統(tǒng)計(jì)量服從自由度為K1和nK的F分布，檢驗(yàn)的邏輯是，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量是對(duì)我們強(qiáng)加所有斜率都是0的這一約束時(shí)的擬合損失的一個(gè)度量（R2的全部），若F大，假設(shè)被拒絕。五、預(yù)測(cè)多元回歸環(huán)境下的預(yù)測(cè)結(jié)果與前一章中討論的那些本質(zhì)是一樣的。假定我們希望預(yù)測(cè)與回歸向量x0相應(yīng)的y0值。它將是（，且 i=1,n）

15、由高斯馬爾科夫定理知是y0的最小方差線性無偏估計(jì)量。個(gè)體預(yù)測(cè)（Individual Prediction）誤差是（，且 i=1,n）這個(gè)估計(jì)的預(yù)測(cè)方差是 若回歸含有一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，一個(gè)等價(jià)的表達(dá)式是其中X是X的不包含全為1的列的最后K1列。這表明，和以前一樣，區(qū)間的寬度依賴于x0的元素與數(shù)據(jù)中心的距離。因此 又因?yàn)?由此得到 即y0的一個(gè)置信區(qū)間將用下式形成：預(yù)測(cè)區(qū)間。均值預(yù)測(cè)（Mean Prediction）均值預(yù)測(cè)是預(yù)測(cè)值是 而不考慮隨機(jī)干擾項(xiàng)。誤差是這個(gè)估計(jì)的預(yù)測(cè)方差是 因此 又因?yàn)?由此得到 即y0的一個(gè)置信區(qū)間將用下式形成：預(yù)測(cè)區(qū)間。六、分塊回歸和偏回歸當(dāng)興趣實(shí)際上只集中于一個(gè)變量或變量

16、全集的一個(gè)子集時(shí),設(shè)定一個(gè)多元回歸模型是很普遍的，但往往這個(gè)變量或變量全集的子集并不能很好地解釋被解釋變量，需要我們?cè)谠械哪Ｐ椭刑砑有碌慕忉屪兞?，才能進(jìn)一步完善模型。例如考慮收入方程，雖然我們的主要興趣在于收入和教育的聯(lián)系上，將年齡包括進(jìn)模型是必要的。我們已經(jīng)證實(shí)從方程忽略年齡將是錯(cuò)誤的，這里我們考慮的問題是，從一個(gè)多元回歸模型中單獨(dú)地獲取一個(gè)子集變量的系數(shù)涉及什么樣的計(jì)算，例如獲取前邊及回歸中教育的系數(shù)。以一般術(shù)語，假定原有回歸模型是，現(xiàn)在在原有的模型中添加新的解釋變量集X1,那么現(xiàn)在的回歸方程包括兩組變量和，轉(zhuǎn)換為: 的代數(shù)解是什么？與原有的估計(jì)量有何關(guān)系？新的模型的正則方程組是（1a）

17、（2a） 利用分塊逆矩陣可以得到另外一個(gè)方法是可以直接處理（1a）和（2a）以求解。我們首先從（1a）求得解 （9）（注意此解表明是對(duì)回歸的系數(shù)減去一個(gè)修正向量。）然后，將其代入（2a）得到整理各項(xiàng)后，解是 （10）注意出現(xiàn)在每個(gè)中括號(hào)中的小括號(hào)里的矩陣都是討論過的“殘差制造者”，這里是相應(yīng)于對(duì)各列回歸的。這樣，是一個(gè)殘差矩陣，其中每一列都是中相應(yīng)列對(duì)中各變量回歸的殘差向量。利用和一樣是冪等的這一事實(shí)，我們可將（10）重寫為 （11）其中 和 所以，是為來自一個(gè)回歸的系數(shù)集合，這個(gè)回歸的被解釋變量是單獨(dú)對(duì)回歸的殘差，解釋變量是的每一列分別對(duì)回歸所得殘差的集合。這個(gè)過程通常被稱作排除或篩掉的影響

18、。正是部分地由于這個(gè)原因，一個(gè)多元回歸中的系數(shù)通常被稱作偏回歸系數(shù)。我們可以用一個(gè)例子來說，通過首先用收入和教育對(duì)年齡（或年齡及年齡中平方）回歸，然后在一個(gè)簡單回歸中使用這兩個(gè)殘差，我們能夠得到教育在最小二乘回歸中的系數(shù)。這一方法的一個(gè)經(jīng)典的應(yīng)用中，費(fèi)雪和沃（1933）注意到，在時(shí)間序列環(huán)境下，像剛才提到的那樣首先通過篩掉時(shí)間的影響而消除數(shù)據(jù)趨勢(shì)，然后用消除趨勢(shì)的數(shù)據(jù)簡單回歸和直接帶有一個(gè)時(shí)間趨勢(shì)變量似合所得結(jié)果是一樣的。1、偏回歸和偏相關(guān)系數(shù)使用多元回歸包含一個(gè)在實(shí)際中可能不能實(shí)施的概念性試驗(yàn)，即類似于經(jīng)濟(jì)學(xué)中的“假設(shè)其余情況均同”。繼續(xù)考慮簡介中的例子，將收入和年齡及教育相聯(lián)系的回歸方程使

19、我們能夠?qū)蓚€(gè)同齡但教育程度不同的人的收入進(jìn)行比較，即使樣本中沒有這樣一對(duì)個(gè)人。術(shù)語偏回歸系數(shù)所暗示的正是回歸的這一特性。我們已經(jīng)看到，獲取這個(gè)結(jié)果的方法是首先用收入和教育對(duì)年齡進(jìn)行回歸，然后從回歸方程中計(jì)算出殘差，按其構(gòu)造，年齡對(duì)解釋這些殘差沒有任何能力。所以，在這種“凈化”（或篩掉年齡的影響后）后的收入和教育間的任何相關(guān)都與年齡無關(guān)。同一原理可應(yīng)用于兩個(gè)變量間的相關(guān)系數(shù)上。繼續(xù)我們的例子，當(dāng)我們?cè)跇颖局械玫绞杖牒徒逃g的相關(guān)數(shù)為0.7時(shí)，那么，在何種程度上我們可以假定這一相關(guān)是由于某種直接關(guān)系，而非由于當(dāng)人們變老時(shí)，收入和教育平均來說都趨于增長這一事實(shí)？為了找出答案，我們將使用偏相關(guān)系數(shù)，

20、這與偏回歸系數(shù)的計(jì)算方式一樣，在我們的例子中，抑制年齡的影響，收入和教育間的偏相關(guān)系數(shù)可如下獲?。?、收入對(duì)年齡的回歸中的殘差2、教育對(duì)年齡的回歸中的殘差3、偏相關(guān)系數(shù)就是和間的簡單相關(guān)系數(shù)。這似乎是一個(gè)可怕的計(jì)算量，然而存在一個(gè)方便的簡捷算法，一旦計(jì)算了一個(gè)多元回歸，（7）中用于檢驗(yàn)系數(shù)等于0的比率，可用于計(jì)算 （12） 2、對(duì)均值的離差對(duì)常數(shù)回歸作為上一節(jié)結(jié)果的一個(gè)應(yīng)用，考慮僅為中由1組成的第一列的這種情況，此時(shí)的解將是帶有常數(shù)項(xiàng)的回歸中斜率。令為由1構(gòu)成的列，任何變量對(duì)的回歸的系數(shù)是，擬合值是，殘差是。所以，當(dāng)我們將其應(yīng)用于先前結(jié)果時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)：將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成對(duì)其均值的離差，然后用離差形式的

21、變量對(duì)同樣的離差形式的解釋變量回歸，可以得到含有常數(shù)項(xiàng)的多元回歸中的斜率。練習(xí)：若在計(jì)算斜率前忽略了將轉(zhuǎn)換為對(duì)的離差，在前邊的回歸中將會(huì)發(fā)生什么情況？得到了的系數(shù)后，怎么才能取得的系數(shù)？當(dāng)然，一個(gè)方法是轉(zhuǎn)換和的角色重復(fù)上一節(jié)中的練習(xí)，但有一個(gè)更容易的方法，對(duì)一般情形，兩個(gè)正則方程組中的第一個(gè)是 我們已經(jīng)解出了，所以，在求解時(shí)可以使用它： （13）若僅為一列，（13）中第一個(gè)將產(chǎn)生如下結(jié)果 （14）這我們以前已經(jīng)見到過。七、偏離正態(tài)性的檢測(cè)（正態(tài)性的哈爾克-貝拉（Jarque-Bera）BJ檢驗(yàn)）本節(jié)考察的是利用最小二乘殘差的矩來推斷真正擾動(dòng)項(xiàng)的分布的一般問題。的直觀估計(jì)量是 然而，最小二乘殘差

22、只是真實(shí)擾動(dòng)項(xiàng)的不完全估計(jì)： 由于，樣本越大，這個(gè)估計(jì)就越好。這有時(shí)被稱為逐點(diǎn)一致性。可以看出最小乘殘差的樣本收斂于真正擾動(dòng)項(xiàng)的樣本。這意味著 是的一致估計(jì)量，也是的一致估計(jì)量，通常運(yùn)用下列公式計(jì)算偏度（Skewness）： （15）因?yàn)?，?duì)于對(duì)稱的概率密度函數(shù)，其三階矩為零，因?yàn)檫@樣的一個(gè)概率密度函數(shù)，其偏度為零。一個(gè)最重要的例子就是正態(tài)分布。如果偏度的值為正，則其概率密度為正偏或右偏；如果的值為負(fù)，則其概率密度為負(fù)偏或左偏。通常運(yùn)用下列公式計(jì)算峰態(tài)（Kurtosis）： （16）概率密度的峰度小于3時(shí)，成為低峰態(tài)的（胖的或短尾的），峰度大于3時(shí)，稱為尖峰態(tài)的（瘦的或長尾的），見圖1。正態(tài)分布的峰度為3，這樣的概率密度函數(shù)稱為常峰態(tài)的。樣本偏度與樣本峰度根據(jù)式（15）和式（16），用樣本三階矩和四階矩來計(jì)算樣本偏度與峰度。樣本三階矩（與樣本方差的計(jì)算公式相對(duì)照）為： （17）樣本四階矩為： （18）前述內(nèi)容可用于設(shè)計(jì)正態(tài)性的