習(xí)指稿 差分方程

1、差分方程 教學(xué)基本要求1.了解差分與差分方程、差分方程的階與解等概念。2.掌握一階、二階常系數(shù)線性齊次差分方程的解法。3.會(huì)求解某些特殊的一階、二階常系數(shù)非齊次差分方程的特解與通解。4.會(huì)利用差分模型求解一些簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題。 差分與求導(dǎo)很相似，式中的分母在求導(dǎo)時(shí)是趨于零的，在差分時(shí)是等于1的，所以差分與求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則也有相似的形式。求解差分方程與求解微分方程的第一步相同，都要先判斷方程的類型，階數(shù)、齊次非齊次，特征方程的特點(diǎn)，確定相應(yīng)的解題方法。一階、二階常系數(shù)齊次差分方程的通解及它們的非齊次差分方程的特解的求解思想，都可依照常系數(shù)微分方程的特征方程、特征根、設(shè)定特解采用待定系數(shù)法求特

2、解的全套辦法，整體模仿。差分方程的解的結(jié)構(gòu)，與微分方程完全對(duì)應(yīng)。知識(shí)要點(diǎn)1 差分的定義，差分的階。2 差分方程，差分方程的階，差分方程的解，特解，線性無(wú)關(guān)的解的線性組合，通解。 差分方程的階數(shù)：在求解時(shí)有用，故化為不帶的形式后的階數(shù)有實(shí)際意義。3解的結(jié)構(gòu)：非齊方程通解（相應(yīng)齊方程通解+非齊方程一個(gè)特解）4一階常系數(shù)線性差分方程 無(wú)論是齊次方程或非齊次方程，可以用迭代法求通解，比較繁。多采用一般方法：相應(yīng)一階齊次線性差分方程 設(shè)解為， 得特征方程，特征根，齊次方程通解時(shí)稱為非齊次方程，先求相應(yīng)齊方程通解，再用待定系數(shù)法求一個(gè)特解。（常數(shù)） 試解設(shè)為 試解設(shè)為 為n的 t次多項(xiàng)式 試解設(shè)為 試解設(shè)

3、為 均為常數(shù)） ， 試解設(shè)為， 試解設(shè)為 設(shè) 設(shè)5二階常系數(shù)線性差分方程 其中為常數(shù)相應(yīng)二階常系數(shù)齊次線性差分方程 設(shè)解為代入， 得特征方程 可解出特征根和。（與微分方程相似）* 兩個(gè)相異實(shí)根：齊方程通解 * 二重根： 齊方程通解 * 兩個(gè)共軛復(fù)根：由和， 可知， ， 所以 特解1： 特解2： 重新組合出兩個(gè)新的線性無(wú)關(guān)的特解，再疊加成齊次方程的通解：時(shí)稱為非齊次方程，先求相應(yīng)齊方程通解，再用待定系數(shù)法求一個(gè)特解。 非齊次方程通解的結(jié)構(gòu)：相應(yīng)齊方程通解 + 非齊次方程一個(gè)特解 （待定系數(shù)法求特解在設(shè)定特解的形式時(shí)也要參照題目中的條件而定，比較繁瑣，不 在此贅述。請(qǐng)參看朱來(lái)義著微積分P340表1

4、0-2）典型例題例1求差分方程的通解。解：特征方程 特征根 齊方程通解 因 故設(shè) 代入原方程= 整理 比較系數(shù) 原差分方程通解例2求差分方程的通解。解：特征方程， 特征根 ， 齊方程通解， 因 設(shè)特解 ， 代入原方程 化簡(jiǎn)解出， 故 原方程通解；例3求差分方程的通解。解：特征方程，特征根 ， 齊方程通解 因， 故設(shè)， 代入原差分方程 ，化簡(jiǎn)為 解得， ，故原差分方程通解 .例4 求差分方程的通解。解：特征方程，特征根, 得到齊方程通解；設(shè)特解 代入原差分方程，化簡(jiǎn)為， 解得， 所以 ； 原二階常系數(shù)非齊次差分方程的通解 ；注1：解的過(guò)程都是代數(shù)運(yùn)算，沒有難度，須注意不出計(jì)算錯(cuò)誤，所得解是否正確

5、還可以代回原方程進(jìn)行驗(yàn)算。非齊次差分方程特解的設(shè)定若不合適，待定系數(shù)時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)有問題，須對(duì)設(shè)定做調(diào)整。若有初始條件，代入通解確定任意常數(shù)即可。注2：差分方程在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用請(qǐng)看教材中的例題。課堂練習(xí)一、 填空題 1差分方程的通解_ 2差分方程具有形如_的特解。3某公司每年的工資總額在比上一年增加20%的基礎(chǔ)上再增加2百萬(wàn)元，若以表示第n年的工資總額（單位：百萬(wàn)元），則滿足的差分方程是 _. 4已知 是差分方程的兩個(gè)特解，則_,_.二、選擇題 1在x=1處的二階差分是（ ）。A1 B2 C3 D0 2差分方程的階數(shù)為（ ）。 A1 B. 2 C. 3 D. 4 3差分方程的通解是（ ）A. B.

6、 C. D. 4下列差分方程中，不是二階差分方程的是（ ）A. B. C. D. 三、解答題 1求差分方程的通解 2求差分方程的通解。 3求差分方程通解，再求時(shí)的特解 4求差分方程通解，再求時(shí)的特解. 5求差分方程的通解.答案與提示一、 填空題 1（改變形式后再解。可取不同變量符號(hào)） 2。 3(百萬(wàn)元) 4（二元一次方程組）二、選擇題 1B 2C（以展開化簡(jiǎn)為運(yùn)算時(shí)的形式為準(zhǔn)） 3D 4C三、解答題 1 2解:齊通,因a-1故設(shè)特解代入方程，比較系數(shù)得, 即， 所以原方程通解為： . 3解:,所以齊通，非齊特通解 。 再用 解出故滿足條件的特解為. 4解：由得齊通設(shè)特解（由?。?，所以，從而原方

7、程的通解+4. 再由已知條件和解出，故滿足條件的特解為.5解：由解出，tgq,q，原方程通解.單元測(cè)試一、 填空題 1的一階差分是_. 2是_階差分方程. 3是差分方程的一個(gè)特解，則_，_。 4差分方程的通解為_。 5差分方程的階數(shù)為_。二、單項(xiàng)選擇1下列方程中（ ）是二階常系數(shù)線性差分方程A BC D2差分方程的通解是（ ）A BC D3差分方程具有形如（ ）的特解。ABCD 4.函數(shù)是差分方程（ ）的通解。 A. B. C. D. 5.下列等式中不是差分方程的是（ ）A. B.C. D.三、計(jì)算題1求差分方程的通解 2求差分方程的通解。 3解差分方程, 已知4求差分方程通解，再求時(shí)的特解

8、5.求差分方程通解，再求時(shí)的特解.四、解答題1 某產(chǎn)品在時(shí)段t的價(jià)格為Pt，供給為St，需求為Dt，且對(duì)t=0,1,2,3有 St=2Pt+1 Dt=-4Pt-1+5，St=Dt （1）根據(jù)上述關(guān)系推出滿足的差分方程 （2）求上述方程滿足P（0）=P0的特解。 2設(shè)分別為t時(shí)期國(guó)民收入、消費(fèi)和投資，三者之間的關(guān)系如下： 其中a,b,g 都是常數(shù), 0 a 0。 若已知t = 0 的基期國(guó)民收入為，求：。五、證明題： 1設(shè)分別是下列差分方程 ， 的解， 求證：是差分方程的解。2證明下列公式： （1） （2）單元測(cè)試答案一、 填空題。(1)(2)2 (3)(4) (5) 3 二、 單項(xiàng)選擇(!) A (2) C (3) C (4) C (5) B 三、 計(jì)算題 1.,n=0,1,2, 2.；齊通解,令為特解代入原方程，比較兩端同次項(xiàng)的系數(shù)可得 3.；由 求得 ，通解為 將代入通解，4 通解；滿足條件的特解為。齊通，因 設(shè)， 代入解出用解出。 5.通解. （，tgq=1，q）滿足條件的