ch2 Matlab矩陣的生成與運算[寶典]

1、Matlab矩陣的生成與運算安徽工業(yè)大學數(shù)理學院侯為根【例1-1】表示矩陣一、MATLAB矩陣的生成1、直接輸入法將矩陣的元素用方括號括起來，按矩陣行的順序輸入各元素，同一行的各元素之間用空格或逗號分隔，不同行的元素之間用分號分隔。A=1,2,3;4,5,6;7,8,0A=1,2,3;4 5,6;7,8 0087654321A【例1-2】 試輸入復數(shù)矩陣需要防止的語句B=1+9*i,2+8*i,3+7*j; 4+6*j 5+5*i,6+4*i;7+3*i,8+2*i,iB=1 +9*i,2+8*i,3+7*j; 4+6*j 5+5*i,6+4*i;7+3*i,8+2*i,iiiiiiiiiiB

2、28374655647382912、利用M文件建立矩陣對于比較大且比較復雜的矩陣，可以為它專門建立一個M文件?！纠?-3】利用M文件建立mymat矩陣。(1) 啟動有關(guān)編輯程序或MATLAB文本編輯器，并輸入待建矩陣.(2) 把輸入的內(nèi)容以純文本方式存盤(設(shè)文件名為mymat.m)。(3) 運行該M文件，就會自動建立一個名為mymat的矩陣，可供以后使用。A=4 10 1 6 2;8 2 9 4 7; 7 5 7 1 5;0 3 4 5 4;23 13 13 0 3 3、利用MATLAB函數(shù)建立矩陣幾個產(chǎn)生特殊矩陣的函數(shù)：zeros、ones、 eye、rand、randn、pascal、 m

3、agic(n)、 vander(V)、 hilb(n) 、 toeplitz(x,y)、compan(P) 。這幾個函數(shù)的調(diào)用格式相似，下面以產(chǎn)生零矩陣的zeros函數(shù)為例進行說明。其調(diào)用格式是：zeros(m) 產(chǎn)生mm零矩陣zeros(m,n) 產(chǎn)生mn零矩陣。zeros(size(A) 產(chǎn)生與矩陣A同樣大小的零矩陣相關(guān)的函數(shù)有：length(A)給出行數(shù)和列數(shù)中的較大者，即length(A)=max(size(A)；ndims(A)給出A的維數(shù)。指令指令說說 明明zeros(m,n)產(chǎn)生階為產(chǎn)生階為 mn, 元素全為元素全為0的矩陣的矩陣ones(m,n)產(chǎn)生階為產(chǎn)生階為 mn, 元素全

4、為元素全為1的矩陣的矩陣eye(n)產(chǎn)生階為產(chǎn)生階為 nn的單位陣的單位陣pascal(m,n)產(chǎn)生階為產(chǎn)生階為 mn 的的 Pascal 矩陣矩陣vander(m,n) 產(chǎn)生階為產(chǎn)生階為 mn 的的 Vandermonde 矩陣矩陣hilb(n)產(chǎn)生階為產(chǎn)生階為 nn 的的 Hilbert 矩陣矩陣rand(m,n)產(chǎn)生產(chǎn)生 0,1均勻分布的隨機數(shù)矩陣均勻分布的隨機數(shù)矩陣,其階為其階為 mnrandn(m,n)產(chǎn)生產(chǎn)生=0, =1的正態(tài)分布隨機數(shù)矩陣的正態(tài)分布隨機數(shù)矩陣,其階為其階為 mnmagic(n)產(chǎn)生階為產(chǎn)生階為nn的魔方陣的魔方陣diag(v)產(chǎn)生以向量產(chǎn)生以向量v為對角元素的對角

5、陣為對角元素的對角陣【例1-4】 分別建立33、32和與矩陣A同樣大小的零矩陣。(1) 建立一個33零矩陣：zeros(3)(2) 建立一個32零矩陣：zeros(3,2)(3) 建立與矩陣A同樣大小零矩陣：zeros(size(A)此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成mn的二維矩陣。【例1-5】 將4階魔方陣形變?yōu)?行8列的矩陣reshaps(magic(4),2,8)hilb(n)指令可以產(chǎn)生nn的 Hilbert 矩陣 11jiHij Hilbert矩陣Hilbert 矩陣的特性: 當矩陣變大時，其矩陣會接近奇異即矩陣的行列式

6、會接近于0，Hilbert矩陣常被用來評估各種逆矩陣計算方法的穩(wěn)定性?！纠?-6】 計算6階hilbert矩陣的行列式det(hilb(6)x1 = rand(10000, 1);x2 = randn(10000, 1);subplot(2,1,1); hist(x1, 40); title(均勻分布);subplot(2,1,2); hist(x2, 40); title(高斯分布);set(findobj(gcf, type, patch),EdgeColor, w); % 改邊線為白色 【例1-7】產(chǎn)生10000個均勻均勻與正態(tài)分布的隨機數(shù)產(chǎn)生隨機數(shù)矩陣指令rand 和 randn4、建

7、立大矩陣大矩陣可由方括號中的小矩陣建立起來。A=1 2 3;4 5 6;7 8 0; 5、冒號表達式冒號表達式的一般格式：v=s1:s2:s3還可以用linspace函數(shù)產(chǎn)生行向量：linspace(a,b,n)linspace(a,b,n)與a:(b-a)/(n-1):b等價C=A,eye(size(A);ones(size(A),AA=A;1 2 3;1;2;3;4;【例1-8】使用小矩陣構(gòu)造大矩陣【例1-9】 用不同的步距生成 (0,p) 間向量V1=0:0.2:piV3=0:-1:piV2=0:piV4=pi:-1:0V5=0:0.2:pi,piV7=0:pi/100:piV6=lin

8、space(0,pi,100)二、對矩陣元素的操作矩陣A中，位于第i行、第j列的元素可表示為A(i,j)i與j即是此元素的下標Subscript或索引Index MATLAB中所有矩陣的內(nèi)部表示法都是以列為主的一維向量A(i,j)和A(i+(j-1)*m)是完全一樣的m為矩陣A的列數(shù) 1、矩陣的索引或下標我們可以使用一維或二維下標來存取矩陣A=4 10 1 6 2;8 2 9 4 7; 7 5 7 1 5;0 3 4 5 4;23 13 13 0 3 2 、矩陣元素MATLAB允許用戶對一個矩陣的單個元素進行賦值和操作。例如 A(3,2)=200也可以采用矩陣元素的序號來引用矩陣元素。矩陣元素

9、按列編號，先第一列，再第二列，依次類推。以mn矩陣A為例，矩陣元素A(i,j)的序號為：(j-1) *m+i。其相互轉(zhuǎn)換關(guān)系也可利用sub2ind和ind2sub函數(shù)求得。3. 子矩陣提取(1) 利用冒號表達式獲得子矩陣 A(:,j)表示取A矩陣的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩陣第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩陣第i行、第j列的元素。 A(i:i+m,:)表示取A矩陣第ii+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩陣第kk+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩陣第ii+m行內(nèi)，并在第kk+m列中的所有元素。 利用一般向量和end運算符等來表示矩陣下標，從而

10、獲得子矩陣。end表示某一維的末尾元素下標。 【例2-1】子矩陣提取提取矩陣A 全部奇數(shù)行，所有列將矩陣A 左右翻轉(zhuǎn)提取矩陣A的 3,2,1 行、2,3,4 列構(gòu)成子矩陣將矩陣A 2,4列全變?yōu)?B1=A(1:2:end,:)B3=A(:,end:-1:1)B2=A(3,2,1,2:4)A(:,2,4)=ones(4,2) 4、利用空矩陣刪除矩陣的元素在MATLAB中，定義 為空矩陣。給變量X賦空矩陣的語句為X= 。【注意】X= 與clear X不同，clear是將X從工作空間中刪除，而空矩陣那么存在于工作空間，只是維數(shù)為0。將某些元素從矩陣中刪除，采用將其置為空矩陣的方法就是一種有效的方法。

11、【例2-2】將矩陣A 2,4行刪去A(2,3,:=5 矩陣翻轉(zhuǎn)左右翻轉(zhuǎn):上下翻轉(zhuǎn):旋轉(zhuǎn) 90o:如何旋轉(zhuǎn)180o？fliplr(A)flipud(A)rot90(A) rot90(rot90(A) A=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12A1=diag(A)A2=diag(A,1)A3=diag(A,-1)B1=diag(A1,1)B2=diag(A3,1)6 選取對角元素7 選取上下三角元陣c1=tril(A)c2=tril(A,1)c3=tril(A,-1)d1=triu(A)d2=triu(A,1)D3=triu(A,-1) 1、直接創(chuàng)立稀疏矩陣例：S=sparse(i,

12、j,s,m,n)其中i 和j 分別是矩陣非零元素的行和列指標向量，s 是非零元素值向量，m，n 分別是矩陣的行數(shù)和列數(shù)。S2=sparse(1 2 2 3 4 4,3 1 3 4 2 3,. 5 3 3 1 4 3,4,4)稀疏矩陣的輸入與生成 2、從文件中創(chuàng)立稀疏矩陣例：設(shè)文本文件 T.txt 中有三列內(nèi)容，第一列是一些行下標，第二列是列下標，第三列是非零元素值。1 3 52 1 32 3 33 4 14 2 44 3 3利用load和spconvert函數(shù)可以從包含一系列下標和非零元素的文本文件中輸入稀疏矩陣。S=spconvert(T) 3、稀疏帶狀矩陣的創(chuàng)立例：S=spdiags(B,

13、d,m,n)其中m 和n 分別是矩陣的行數(shù)和列數(shù)；d是長度為p的整數(shù)向量，它指定矩陣S的對角線位置；B是全元素矩陣，用來給定S對角線位置上的元素，行數(shù)為min(m,n)，列數(shù)為p 。B=rand(4,2);S3=spdiags(B,0 1,4,4) 4、滿矩陣與稀疏矩陣之間的轉(zhuǎn)化例：S=sparse(A)A=full(S)A=0 0 5 0; 3 0 3 0 ; 0 0 0 1; 0 4 3 0S=sparse(A)whos1. 數(shù)學運算2. 邏輯運算三、 Matlab根本運算3. 比較運算4. 位運算符5. 集合運算符一、數(shù)學運算MATLAB的根本算術(shù)運算有：(加)、(減)、*(乘)、/(右

14、除)、(左除)、(乘方)、共軛轉(zhuǎn)置正號+,負號-【注意】運算是在矩陣意義下進行的，單個數(shù)據(jù)的算術(shù)運算只是一種特例。2. 點運算點運算符有.*、./、.和.。兩矩陣進行點運算是指它們的對應(yīng)元素進行相關(guān)運算，要求兩矩陣的維參數(shù)相同。 1. 根本算術(shù)運算1.轉(zhuǎn)置.,冪次.共軛轉(zhuǎn)置,矩陣冪次2.正號+,負號-3.乘法.*,元素右除./,元素左除.,矩陣乘法*,矩陣右除/,矩陣左除4.加法+,減法-5.冒號:例如： x = 1:2:5 等數(shù)學運算符之優(yōu)先級:同一類的運算符均具有相同的優(yōu)先度(Priority),因此在計算上，是由左至右依次完成矩陣的數(shù)學運算 矩陣的加減與一般標量Scalar的加減類似 相

15、加或相減的矩陣必需具有相同的維度 A = 12 34 56 20;B = 1 3 2 4;C = A + BC1= A-B 例1: 加減法運算矩陣與純量可以直接進行加減，MATLAB 會直接將加減應(yīng)用到每一個元素 A=1 2 3 2 1 + 5矩陣的加減法運算矩陣的乘法與除法標量對矩陣的乘或除，可比照一般寫法 A = 1 2 3; 4 4 2; C = A/3 B = 2*A欲進行矩陣相乘，必需確認第一個矩陣的列數(shù) Column Dimension 必需等于第二個矩陣的行數(shù)Row Dimension 例2:矩陣的乘法A = 1; 2; B = 3, 4, 5; C = A*B 矩陣除法假設(shè)A為

16、非奇異方陣，那么X=A-1B假設(shè)A為非奇異方陣，那么X=BA-1矩陣左除：AX = B，求 XMATLAB 求解：X=AB最小二乘解矩陣右除：XA = B，求 XMATLAB求解：X=B/A最小二乘解注：假設(shè)A為非奇異方陣，那么A-1在Matlab中為inv(A)矩陣的次方運算矩陣的次方運算，可由“來達成，但矩陣必需是方陣，其次方運算才有意義 A = magic(3);B = A2例3：復數(shù)矩陣z，其“共軛轉(zhuǎn)置矩陣(Conjugate Transpose)可表示成矩陣z 轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置矩陣i = sqrt(-1);% 單位虛數(shù)z = 1+i, 2; 3, 1+2i;w = z % 共軛轉(zhuǎn)置(注

17、意z后面的單引號) 例4: 矩陣共軛轉(zhuǎn)置i = sqrt(-1);% 單位虛數(shù)z = 1+i, 2; 3, 1+2i;w = z.% 單純轉(zhuǎn)置(注意z后面的句點及單引號)想得到任何矩陣z的轉(zhuǎn)置Transpose，那么可表示成矩陣矩陣z.例5:矩陣的轉(zhuǎn)置假設(shè)z為實數(shù)，那么z和z.的結(jié)果是一樣的2、點運算矩陣對應(yīng)元素的直接運算 例如A =1 2 3；4 5 6；7 8 0B = A.ABAC* .ijijijbac 087654321AAAB. 3MATLAB數(shù)組運算函數(shù)1. 規(guī)那么：設(shè)X=(xij)mn，那么 f (X)=(f (xij)mnsin cos tan cot sec csc asi

18、n acos atan acot asec acsc2. 常用數(shù)學函數(shù)三角與反三角函數(shù)exp log log10 sqrt pow2ceil fix floor round rem signabs angle conj imag real指數(shù)與對數(shù)復變函數(shù)取整函數(shù)cart2sph cart2pol pol2cart sph2pol 坐標轉(zhuǎn)換注：假設(shè)要對函數(shù)進行矩陣運算，方法為：funm(X,f)4、 MATLAB矩陣運算函數(shù)size(A) %矩陣的大小inv(A) %矩陣的逆det(A) %矩陣的行列式rank(A) %矩陣的秩rref(A) %矩陣列的極大無關(guān)組orth(A) %矩陣化為正交

19、陣trace(A) %矩陣的跡chol(A) %三角分解,A=L*LTlu(A) %A對稱，A=L*U U,S,V=svd(A) %A=U*S*Vqr(A) %A=q*r(q正交陣,r三角陣norm(A,1|2|p|inf|fro) %矩陣的模cond(A) %矩陣的條件數(shù)4、 MATLAB矩陣運算函數(shù)eig(A) %A*x=*xV,D=eig(A) %A*V=V*Deig(A,B) %A*x=*B*xV,D=eig(A,B) %A*V=B*V*D例：設(shè)A=pascal(4),B=magic(4)，并使用以下函數(shù)進行計算向量的p-norm一個向量a的p-norm可以定義為 11ip,aa/pp

20、ipp=2 時，此即為向量 a 的長度，或稱歐氏長度Euclidean Length 欲求一向量的p-norm，可使用norm指令norm(x,p)a = 3 4;x = norm(a, 1) % x = 7y = norm(a, 2) % y = 5z = norm(a, inf) iia)norm(a,1ia)norm(a,imaxinf 注意： 矩陣A的p-norm可以定義如下：ppxpxAxAmax例9: normMatrixnorm 指令亦可用于計算矩陣的 p-normA = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9;norm(A, 2)Cholesky分解是將一個對稱的正定矩陣分解為

21、一個上三角矩陣和其轉(zhuǎn)置的乘積。X=pascal(5)R=chol(X)C=R*RLU分解是將原正方 (square) 矩陣分解成一個上三角形矩陣或是排列(permuted) 的上三角形矩陣和一個 下三角形矩陣，這樣的分解法又稱為三角分解。命令格式為：L,U=lu(A)L,U,P=lu(A)例如：B=1 3 2; -2 -6 1; 2 5 7L,U=lu(B)L*UL,U,P=lu(B)P*L*UQR分解法是將矩陣分解成一個正規(guī)正交矩陣與上三角形矩陣，矩陣A不必為正方矩陣。 A=1 3 2 5; -2 -6 1 6; 2 5 7 2Q,R=qr(A)Q*QQ*R奇異值分解 (sigular va

22、lue decomposition,SVD) 是另一種正交矩陣分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的計算時間。U,S,V=svd(A)，其中U和V代表二個相互正交矩陣，而S代表一對角矩陣。 和QR分解法相同者， 原矩陣A不必為正方矩陣。A=1,2;3,1S,V,D=svd(A)矩陣的比較運算, =, , 5aba=b關(guān)系運算符的用法:關(guān)系運算符的用法A=1 2 3; 4 5 6;7 8,0b=A5A(b)3、同維矩陣間比較；返回0-1矩陣2、矩陣與一數(shù)比較返回0-1矩陣例2:給出矩陣A中大與5的元素值例3: 接上例,設(shè)B=magic(3)B=magic(3);BAf

23、ind指令 : 可傳回非零元素索引,顯示一維索引或下標 元素索引index=find(A5) 可以將關(guān)系運算符返回的0-1矩陣,來進行矩陣的索Indexing求出在A矩陣中，滿足AijBij的元素 x = 0 1 2; 0 0 3 index = find(x) x(index) x(index)那么是非零元素所形成的向量 要找出滿足某條件的二維索引或下標2維索引idx1,idx2=find(x5) idx1和idx2分別是符合條件之矩陣元素的列索引(Row Index)及行索引(Column Index)例:如何找出介于7和11的元素?x = magic(5)x(find(7x&x1

24、1) 【例2.4 】產(chǎn)生5階隨機方陣A，其元素為10,90區(qū)間的隨機整數(shù)，然后判斷A的元素是否能被3整除并取出這些元素。 (1) 生成5階隨機方陣A。A=fix(90-10+1)*rand(5)+10)(2) 判斷A的元素是否可以被3整除。P=rem(A,3)=0(3) 取出A中能被3整除的元素。A1=A(P)矩陣的邏輯運算MATLAB提供了4種邏輯運算符：邏輯變量&(與)、|(或)、(非)和xor異或。對 double 變量來說，非 0 表示邏輯 1設(shè)A與B為兩個命題邏輯運算相應(yīng)元素間的運算與運算或運算非運算異或運算 A&BA|BAXor(A,B)數(shù)值為1那么為True,數(shù)值

25、為0那么為False當所有向量元素為真(非零),那么all指令傳回1，否那么為0。當任一向量元素為真(非零)，那么any指令傳回1，否那么為0。 相關(guān)的指令有all及any:a = 0 1 2 3 result1 = all(a)retult2 = any(a)result3 = any(a0) 范例all 及 any 指令也可以接受矩陣輸入，此時他們會對每一個行向量進行運算 【例2.5】在0,3區(qū)間，求y=sin(x)的值：要求消去負半波方法1：x=0:pi/100:3*pi; y=sin(x);y1=(x2*pi).*y; %消去負半波q=(xpi/3&x7*pi/3&x=

26、0).*y; %消去負半波p=sin(pi/3);y2=(y=p)*p+(y=a&t=a&t=z)轉(zhuǎn)置：無論是中文或英文，每一個字符都會占用兩個字節(jié)(2Bytes)，故字符串變量t總共由35個字符構(gòu)成，占用的內(nèi)存總計為70個字節(jié)(70bytes) 字符的儲存whos 指令: 檢視字符串變量t所占用儲存空間(whos變量)MATLAB 是以兩個字節(jié)來儲存一個字符，所以也可以支持中文碼，而且中文的ASCII內(nèi)碼都會大于數(shù)字128 由于 MATLAB 將字符串以其相對應(yīng)之 ASCII 內(nèi)碼即數(shù)字形式儲存成一列向量，故假設(shè)對此字符串直接進行數(shù)值運算，MATLAB 會先將此字符串轉(zhuǎn)成數(shù)值

27、，再進行一般數(shù)值向量的運算 z=安徽工業(yè)大學 whos zz=z+1char(z)eval 指令: 直接“執(zhí)行某一特定字符串，其效果就如同直接在 MATLAB 指令窗口內(nèi)輸入此一特定字符串 eval 指令特別適用于在for-loop內(nèi)自動產(chǎn)生有規(guī)律的變量名稱,例如：clear all % 去除所有變量for i = 3:6eval( x,int2str(i),. =magic(,int2str(i),);); end whos x* x3,x4,x5,x6 都是在for-loop中產(chǎn)生的變量，分別代表維度為33、44、55、66的魔方陣class 或 ischar 指令: 判斷某一個變量是否為

28、字符串 字符串的判斷chinese=今日事，今日畢out1=class(chinese)%out1的值是“char，代表chinese是字符串變量x = chinese+1;out2 = ischar(x) %out2的值是0，代表x不是一個字符串變量 2、一個變量來儲存多個字符串 第一種方法是使用二維字符數(shù)組Two Dimensional Character Arrays必須先確認每個字符串即每一行的長度一樣，否那么就必須在短字符串結(jié)尾補上空格符departments=ee ;cs ;econ %注意空格符的使用 用char 指令儲存多個字符串departments=char(ee,cs,e

29、con) %注意“()及“,的使用 得到結(jié)果和前例一樣;從二維字符數(shù)組抽取出字符串時，切記要使用 deblank 指令來移除尾部的空格符 departments = char(ee,cs,econ) dept1 = departments(1,:) % (1,:)代表第一行的元素 dept2 = deblank(dept1) % 使用 deblank 指令來移除尾部的空格符 len1 = length(dept1) % 顯示變量 dept1 的長度=4 len2 = length(dept2) % 顯示變量 dept2 的長度=2 例如：3、字符串的比較、尋找、代換、分解與結(jié)合str1 = today; str2 = tomo