高中數(shù)學(xué)壓軸題系列——導(dǎo)數(shù)專題——函數(shù)零點或交點問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學(xué)壓軸題系列導(dǎo)數(shù)專題函數(shù)零點或交點問題頭條號：延龍高中數(shù)學(xué) 微信：gyl_math123 1已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）x2x（aR）在x=0處取得極值（1）求實數(shù)a的值；（2）證明：ln（x+1）x2+x；（3）若關(guān)于x的方程f（x）=x+b在區(qū)間0，2上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍【解答】（1）解：f（x）=，在x=0處取得極值，f（0）=0，1=0，解得a=1經(jīng)過驗證a=1時，符合題意（2）證明：當(dāng)a=1時，f（x）=ln（x+1）x2x，其定義域為x|x1f（x）=，令f（x）=0，解得x=0當(dāng)x0時，令f（x）0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)1

2、x0時，令f（x）0，f（x）單調(diào)遞增f（0）為函數(shù)f（x）在（1，+）上的極大值即最大值f（x）f（0）=0，ln（x+1）x2+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號（3）解：f（x）=x+b即ln（x+1）x2+xb=0，令g（x）=ln（x+1）x2+xb，x（1，+）關(guān)于x的方程f（x）=x+b在區(qū)間0，2上恰有兩個不同的實數(shù)根g（x）=0在區(qū)間0，2上恰有兩個不同的實數(shù)根g（x）=2x+=，當(dāng)x（0，1）時，g（x）0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增當(dāng)x（1，2）時，g（x）0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，2已知函數(shù)f（x）=（xR），當(dāng)x=2時f（x）取得極值（1）求a的值；（2）求f（

3、x）的單調(diào)區(qū)間；（3）若關(guān)于x的方程f（x）2m+1=0在x2，1時有解，求實數(shù)m的取值范圍解：（1）當(dāng)x=2時f（x）取得極值，f（2）=0，a=2；（2），由f（x）0得1x2；由f（x）0得x1或x2，所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（1，2），減區(qū)間是（，1），（2，+）（3）由（2）知函數(shù)f（x）在2，1）單減，在（1，1單增當(dāng)x2，1時，fmin（x）=1，依題意，所以3（2018南平一模）已知函數(shù)f（x）=lnx（a+1）x，g（x）=ax+a，其中aR（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性及最值；（2）若函數(shù)F（x）=f（x）g（x）不存在零點，求實數(shù)a的取值范圍解：（1）f（x）=lnx

4、（a+1）x，函數(shù)的定義域是（0，+），f（x）=（a+1）=，a+10即a1時，1（a+1）x0，故f（x）0，f（x）遞增，無最值，a+10即a1時，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：x，故f（x）在（0，）遞增，在（，+）遞減；故f（x）min=f（）=ln（a+1）1；（2）F（x）=lnx（a+1）x+axa=lnxxa，F(xiàn)（x）=1+=，令F（x）0，解得：x2，令F（x）0，解得：x2，故F（x）在（0，2）遞增，在（2，+）遞減，故F（x）max=F（2）=ln221a=ln23a，若F（x）不存在零點，則ln23a0，解得：aln234（2018榆林三模）設(shè)函數(shù)f（

5、x）=ax3+bx2x（xR，a，b 是常數(shù)，a0），且當(dāng)x=1和x=2時，函數(shù)f（x）取得極值（1）求f（x）的解析式；（2）若曲線y=f（x）與g（x）=3xm（2x0）有兩個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍解：（1）f'（x）=3ax2+2bx1，（2分）依題意f'（1）=f'（2）=0，即，解得a=，b=（4分）f（x）=x3+x2x（5分）（2）由（1）知，曲線y=f（x）與g（x）=3xm（2x0）有兩個不同的交點，即x3x22xm=0在2，0上有兩個不同的實數(shù)解 （6分）設(shè)（x）=x3x22xm，則（x）=x2x2，（8分）由'（x）=0的x=4或x

6、=1當(dāng)x（2，1）時'（x）0，于是（x）在2，1上遞增；當(dāng)x（1，0）時'（x）0，于是（x）在1，0上遞減（10分）依題意有0m，實數(shù)m的取值范圍是0m（13分）5（2018廣元模擬）已知函數(shù)f（x）=2lnxx2+ax（aR）（）當(dāng)a=2時，求f（x）的圖象在x=1處的切線方程；（）若函數(shù)f（x）與g（x）=axm圖象在上有兩個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍解：（）當(dāng)a=2時，f（x）=2lnxx2+2x，f（x）=2x+2，切點坐標為（1，1），切線的斜率k=f（1）=2，則切線方程為y1=2（x1），即y=2x1（）由題意可得：2lnxx2+m=0，令h（x）=2ln

7、xx2+m，則h（x）=2x=，x，e，故h（x）=0時，x=1當(dāng)x1時，h（x）0；當(dāng)1xe時，h（x）0故h（x）在x=1處取得極大值h（1）=m1又=m2，h（e）=m+2e2，h（e）=4e2+0，則h（e），h（x）在上的最小值為h（e）h（x）在上有兩個零點的條件是，解得：1m2+，實數(shù)m的取值范圍是1，2+6（2018廣西二模）已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）x（aR），直線l：是曲線y=f（x）的一條切線（1）求a的值；（2）設(shè)函數(shù)g（x）=xex2xf（xa）a+2，證明：函數(shù)g（x）無零點解：（1）函數(shù)f（x）=ln（x+a）x（aR）的導(dǎo)數(shù)為f（x）=1，設(shè)切點為（m，n

8、），直線l：是曲線y=f（x）的一條切線，可得1=，ln（m+a）m=m+ln3，解得m=2，a=1；（2）證明：函數(shù)g（x）=xex2xf（xa）a+2=xex2xf（x1）2+2=xexxlnx，x0，g（x）=（x+1）ex1=（x+1）（ex），可設(shè)ex=0的根為m，即有em=，即有m=lnm，當(dāng)xm時，g（x）遞增，0xm時，g（x）遞減，可得x=m時，g（x）取得極小值，且為最小值，則g（x）g（m）=memmlnm=1m+m=1，可得g（x）0恒成立，則函數(shù)g（x）無零點7（2018全國二模）已知函數(shù)（）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；（）若f（x）有兩個零點，求實數(shù)a的

9、取值范圍解：（）當(dāng)a=1時，x0.，x01分當(dāng)0x1時，f（x）0；當(dāng)x1時，f（x）03分所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；單調(diào)增區(qū)間為（1，+）f（x）的極小值為；無極大值5分（）=7分x0，a0，x2+x+a0，當(dāng)xa時，f（x）0；當(dāng)0xa時，f（x）0f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減；在（a，+）上單調(diào)遞增8分所以若f（x）有兩個零點，必有，得a310分又，綜上所述，當(dāng)a3時f（x）有兩個零點，所以符合題意的a的取值范圍為（3，+）12分8已知函數(shù)f（x）=lnxax（aR），在x=1時取得極值（）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）若方程f（x）=x+b在區(qū)間1，3上有兩個不等實數(shù)根，求實

10、數(shù)b取值范圍（）若函數(shù)h（x）=f（x）x2，利用h（x）的圖象性質(zhì)，證明：3（12+22+n2）ln（1222n2）（nN*）解：（）函數(shù)f（x）=lnxax的導(dǎo)數(shù)為f（x）=xa，由在x=1時取得極值，則f（1）=0，即11a=0，解得a=0，即有f（x）=lnx的導(dǎo)數(shù)為f（x）=x，（x0），令f（x）0可得0x1，令f（x）0可得x1，則f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+）；（）若方程f（x）=x+b在區(qū)間1，3上有兩個不等實數(shù)根，即為b=lnxx2+x在區(qū)間1，3上有兩個不等實數(shù)根令g（x）=lnxx2+x，g（x）=x+=，當(dāng)1x2時，g（x）0，g（x）遞增；當(dāng)x2時，g（x）0，g（x）遞減即有x=2處g（x）取得極大值，也為最大值，且為ln2+1，x=1時，g（x）=1，x=3時，g（x）=ln3則當(dāng)ln3bln2+1時，方程在區(qū)間1，3上有兩個不等實數(shù)根；（）證明：函數(shù)h（x）=f（x）x2=lnxx2，h（x）=3x=，（x0），當(dāng)0x時，h（x）