注重數(shù)學(xué)的整體性提升系統(tǒng)思維水平(湖南科技大學(xué)20140731)

1、注重數(shù)學(xué)的整體性提升系統(tǒng)思維水平注重數(shù)學(xué)的整體性提升系統(tǒng)思維水平人民教育出版社人民教育出版社 章建躍章建躍一、關(guān)于數(shù)學(xué)的整體性一、關(guān)于數(shù)學(xué)的整體性 整體是事物的一種真實存在形式。整體是事物的一種真實存在形式。 數(shù)學(xué)是一個整體。數(shù)學(xué)是一個整體。 數(shù)學(xué)的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等數(shù)學(xué)的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，同時也體各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，同時也體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知識的前后邏輯關(guān)系現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知識的前后邏輯關(guān)系上上縱向聯(lián)系、橫向聯(lián)系。縱向聯(lián)系、橫向聯(lián)系。 學(xué)生的學(xué)習是循序漸進、逐步深入的，概學(xué)生的學(xué)習是循序漸進、逐步深入的，概念要逐個學(xué)，知識要逐步

2、教。如何處理好念要逐個學(xué)，知識要逐步教。如何處理好這種矛盾，是教學(xué)中的核心問題。這種矛盾，是教學(xué)中的核心問題。1. 從數(shù)及其運算看數(shù)學(xué)的整體性從數(shù)及其運算看數(shù)學(xué)的整體性 在數(shù)系的發(fā)展過程中，正整數(shù)與人的直覺在數(shù)系的發(fā)展過程中，正整數(shù)與人的直覺一致，天經(jīng)地義。然而，一致，天經(jīng)地義。然而，0、負整數(shù)、分數(shù)、負整數(shù)、分數(shù)、無理數(shù)、復(fù)數(shù)取得、無理數(shù)、復(fù)數(shù)取得“合法合法”地位，都經(jīng)地位，都經(jīng)歷了漫長、曲折而相似的過程。讓學(xué)生返歷了漫長、曲折而相似的過程。讓學(xué)生返璞歸真地擇要經(jīng)歷這個過程，對他們理解璞歸真地擇要經(jīng)歷這個過程，對他們理解數(shù)學(xué)的整體性、感受數(shù)學(xué)研究的數(shù)學(xué)的整體性、感受數(shù)學(xué)研究的“味道味道”很有

3、好處，自然地，這也是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)很有好處，自然地，這也是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高他們發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析學(xué)素養(yǎng)，提高他們發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力的極好和解決問題的能力的極好途徑途徑。數(shù)系擴充中的基本思想數(shù)系擴充中的基本思想 數(shù)系的擴充：引入一種新數(shù)（如何引）；數(shù)系的擴充：引入一種新數(shù)（如何引）；定義運算（如何定義）；研究運算律（什定義運算（如何定義）；研究運算律（什么叫運算律）。么叫運算律）。 擴充的基本原則：使算術(shù)運算的運算律保擴充的基本原則：使算術(shù)運算的運算律保持不變。持不變。 數(shù)學(xué)推廣過程的一個重要特性：使得在原數(shù)學(xué)推廣過程的一個重要特性：使得在原來范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范

4、圍內(nèi)仍然來范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然成立。成立。 運算是代數(shù)中的核心問題。運算是代數(shù)中的核心問題?！坝欣頂?shù)有理數(shù)”的整體結(jié)構(gòu)的整體結(jié)構(gòu) 背景（現(xiàn)實需要、數(shù)學(xué)發(fā)展的需要）背景（現(xiàn)實需要、數(shù)學(xué)發(fā)展的需要）定義、表示、劃分定義、表示、劃分性質(zhì)性質(zhì)運算運算聯(lián)系和應(yīng)用。聯(lián)系和應(yīng)用。 研究一個數(shù)學(xué)新對象的基本套路。研究一個數(shù)學(xué)新對象的基本套路。 如何理解如何理解有理數(shù)乘有理數(shù)乘法法則的法法則的教材設(shè)計教材設(shè)計中滲透的中滲透的數(shù)系擴充數(shù)系擴充的基本思的基本思想？想？2.2.從字母表示數(shù)發(fā)展出的代數(shù)學(xué)從字母表示數(shù)發(fā)展出的代數(shù)學(xué) 代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運算，代數(shù)學(xué)要研代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運算，代數(shù)學(xué)要研討

5、的就是如何有效、有系統(tǒng)地解決各種各討的就是如何有效、有系統(tǒng)地解決各種各樣的代數(shù)問題。樣的代數(shù)問題。 用字母表示數(shù)，就要研究各種代數(shù)式的運用字母表示數(shù)，就要研究各種代數(shù)式的運算問題算問題如何進行代數(shù)式的加、減、乘如何進行代數(shù)式的加、減、乘、除、乘方、開方，運算的依據(jù)是什么，、除、乘方、開方，運算的依據(jù)是什么，就要研究代數(shù)式的相等和不等，就要研究就要研究代數(shù)式的相等和不等，就要研究運算性質(zhì)等。運算性質(zhì)等。 為什么要研究等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)為什么要研究等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)？ 這里的這里的“性質(zhì)性質(zhì)”反映了什么規(guī)律？反映了什么規(guī)律？3. 課例課例“同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪的乘法” 立意：立意：構(gòu)

6、建一個前后一致、邏輯連貫的代構(gòu)建一個前后一致、邏輯連貫的代數(shù)學(xué)習過程，使學(xué)生在掌握知識的過程中數(shù)學(xué)習過程，使學(xué)生在掌握知識的過程中學(xué)會思考，把學(xué)生培養(yǎng)成為善于認識問題、學(xué)會思考，把學(xué)生培養(yǎng)成為善于認識問題、善于解決問題的人才。善于解決問題的人才。 關(guān)注的重點：關(guān)注的重點：數(shù)學(xué)的整體性，代數(shù)基數(shù)學(xué)的整體性，代數(shù)基本思想，運算技能，發(fā)現(xiàn)和提出問題本思想，運算技能，發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力。的能力。（1）為什么要學(xué)習本章內(nèi)容？）為什么要學(xué)習本章內(nèi)容？ 運算運算代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運算，代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運算， 代代數(shù)學(xué)這門學(xué)問所要研討的就是如何有效、數(shù)學(xué)這門學(xué)問所要研討的就是如何有效、有系統(tǒng)地解決各種

7、各樣的代數(shù)問題。有系統(tǒng)地解決各種各樣的代數(shù)問題。 整式本身就是運算的結(jié)果；整式本身就是運算的結(jié)果； 整式中的數(shù)和字母都滿足運算律；整式中的數(shù)和字母都滿足運算律； 整式的運算就是對數(shù)、字母符號運用運算整式的運算就是對數(shù)、字母符號運用運算律所進行的形式運算；律所進行的形式運算； 前面已經(jīng)學(xué)習整式的加減（利用分配律去前面已經(jīng)學(xué)習整式的加減（利用分配律去括號，再合并同類項）。括號，再合并同類項）。 接下來自然要學(xué)習整式的乘法、除法等。接下來自然要學(xué)習整式的乘法、除法等。 兩個多項式相乘兩個多項式相乘（用分配律）轉(zhuǎn)化為（用分配律）轉(zhuǎn)化為單項式的乘積之和式單項式的乘積之和式用乘法的交換律、用乘法的交換律、

8、結(jié)合律和冪的運算性質(zhì)（指數(shù)法則）得到結(jié)合律和冪的運算性質(zhì)（指數(shù)法則）得到單項式的乘積。所以，多項式乘法的基礎(chǔ)單項式的乘積。所以，多項式乘法的基礎(chǔ)是單項式的乘法，而單項式的乘法又以冪是單項式的乘法，而單項式的乘法又以冪的運算性質(zhì)為基礎(chǔ)。的運算性質(zhì)為基礎(chǔ)。 通過歸納可以發(fā)現(xiàn)，冪的運算最基本的形通過歸納可以發(fā)現(xiàn)，冪的運算最基本的形式是三類：式是三類：aman，(am)n，(ab)n?！罢降某朔ㄕ降某朔ā钡倪壿嬀€索的邏輯線索 同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪的乘法冪的乘方冪的乘方積的乘積的乘方方單項式的乘法單項式的乘法單項式乘多項式單項式乘多項式多項式乘多項式多項式乘多項式乘法公式（特殊乘法公式（特殊的多項

9、式乘法）的多項式乘法）（2）如何開篇？）如何開篇？ 重點：構(gòu)建重點：構(gòu)建“先行組織者先行組織者”，使學(xué)生明確，使學(xué)生明確本章的學(xué)習主線。本章的學(xué)習主線。 思路一思路一 從整體出發(fā)，逐漸分化從整體出發(fā)，逐漸分化從整式從整式運算的整體出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從宏觀到微觀，運算的整體出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從宏觀到微觀，逐步尋找整式的乘法所需要的邏輯基礎(chǔ)，逐步尋找整式的乘法所需要的邏輯基礎(chǔ)，將研究的問題具體化，進而構(gòu)建整體研究將研究的問題具體化，進而構(gòu)建整體研究思路，然后再按照知識的邏輯順序逐步展思路，然后再按照知識的邏輯順序逐步展開學(xué)習。開學(xué)習。 思路二思路二 從一個從一個“實際問題實際問題”出發(fā)，直接提出發(fā)，直接提

10、出同底數(shù)冪的乘法的學(xué)習任務(wù)，再采用從出同底數(shù)冪的乘法的學(xué)習任務(wù)，再采用從具體到抽象的方法，從具體數(shù)字的運算中具體到抽象的方法，從具體數(shù)字的運算中歸納出同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的歸納出同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方等運算法則。乘方等運算法則。 顯然，前一種立意高，思想性強，顯然，前一種立意高，思想性強，“數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)味味”更濃，課題的引入更加自然而水到渠更濃，課題的引入更加自然而水到渠成，能使學(xué)生切實地感受到學(xué)習同底數(shù)冪成，能使學(xué)生切實地感受到學(xué)習同底數(shù)冪的乘法的必要性，同時還能更好地落實的乘法的必要性，同時還能更好地落實“發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決

11、問題的能力的培養(yǎng)的能力的培養(yǎng)”。這樣的安排，更加符合。這樣的安排，更加符合數(shù)學(xué)法則產(chǎn)生的原來面目，完美地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)法則產(chǎn)生的原來面目，完美地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體觀，課堂更加大氣，能給學(xué)生數(shù)學(xué)的整體觀，課堂更加大氣，能給學(xué)生更多智慧的啟迪，思維的教學(xué)更加到位。更多智慧的啟迪，思維的教學(xué)更加到位。 學(xué)生已經(jīng)學(xué)過整式的概念、加減運算，從學(xué)生已經(jīng)學(xué)過整式的概念、加減運算，從“數(shù)式通性數(shù)式通性”的角度說，學(xué)習同底數(shù)冪的的角度說，學(xué)習同底數(shù)冪的乘法的基礎(chǔ)（即數(shù)的乘方）很牢固，因此，乘法的基礎(chǔ)（即數(shù)的乘方）很牢固，因此，用前一種方式引入，不僅更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的用前一種方式引入，不僅更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性，更有利于創(chuàng)新

12、精神和實踐能力的整體性，更有利于創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的思維訓(xùn)練價值更能得到充分培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的思維訓(xùn)練價值更能得到充分發(fā)揮，而且也與學(xué)生的認知準備相適應(yīng)，發(fā)揮，而且也與學(xué)生的認知準備相適應(yīng)，更能體現(xiàn)學(xué)習的自主性，也更能激發(fā)學(xué)生更能體現(xiàn)學(xué)習的自主性，也更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習主動性。的學(xué)習主動性。（3）落實）落實“有效、有系統(tǒng)地算有效、有系統(tǒng)地算” 一是同底數(shù)冪的乘法法則，解決算理的問一是同底數(shù)冪的乘法法則，解決算理的問題，實現(xiàn)題，實現(xiàn)“有系統(tǒng)地算有系統(tǒng)地算”；二是如何用法；二是如何用法則進行有效計算，實際上是進行運算技能則進行有效計算，實際上是進行運算技能的訓(xùn)練，提高運算能力，實現(xiàn)的訓(xùn)練，提高

13、運算能力，實現(xiàn)“有效地有效地算算”。 訓(xùn)練運算技能是代數(shù)教學(xué)的基本任務(wù)，本訓(xùn)練運算技能是代數(shù)教學(xué)的基本任務(wù)，本節(jié)課的節(jié)課的“訓(xùn)練點訓(xùn)練點”在兩個方面。一是在兩個方面。一是“用用同底數(shù)冪的乘法法則進行計算同底數(shù)冪的乘法法則進行計算”，關(guān)鍵是，關(guān)鍵是解決解決“把不同底轉(zhuǎn)化為同底把不同底轉(zhuǎn)化為同底”，這是知識，這是知識與方法的角度；二是運算習慣的培養(yǎng)，與與方法的角度；二是運算習慣的培養(yǎng)，與“數(shù)感數(shù)感”、“符號意識符號意識”等相關(guān)，具體可等相關(guān)，具體可以從以從“先觀察，后計算先觀察，后計算”、“先定符號，先定符號，再算絕對值再算絕對值”等方面著手。等方面著手。（4） 關(guān)注代數(shù)的基本思想關(guān)注代數(shù)的基本思

14、想 從運算的角度提出問題從運算的角度提出問題代數(shù)學(xué)的根源代數(shù)學(xué)的根源在于運算；在于運算； 運算律（特別是分配律）是解決各種各樣運算律（特別是分配律）是解決各種各樣代數(shù)問題的核心；代數(shù)問題的核心； 歸納地去探究、發(fā)現(xiàn)，歸納地定義，然后歸納地去探究、發(fā)現(xiàn)，歸納地定義，然后再歸納地論證。再歸納地論證。小結(jié)小結(jié) 本課內(nèi)容簡單，沒有難點。但從注重數(shù)學(xué)本課內(nèi)容簡單，沒有難點。但從注重數(shù)學(xué)的整體性，強調(diào)代數(shù)基本思想，加強運算的整體性，強調(diào)代數(shù)基本思想，加強運算技能以及發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力等角度看，技能以及發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力等角度看，又有許多值得注意的問題，需要在課題的又有許多值得注意的問題，需要在課題的引

15、入、同底數(shù)冪的乘法法則的得出、法則引入、同底數(shù)冪的乘法法則的得出、法則的應(yīng)用等環(huán)節(jié)加強思考，努力為學(xué)生構(gòu)建的應(yīng)用等環(huán)節(jié)加強思考，努力為學(xué)生構(gòu)建一個前后一致邏輯連貫的代數(shù)學(xué)習過程，一個前后一致邏輯連貫的代數(shù)學(xué)習過程，使他們在掌握知識的過程中學(xué)會思考，把使他們在掌握知識的過程中學(xué)會思考，把他們培養(yǎng)成為善于認識問題、善于解決問他們培養(yǎng)成為善于認識問題、善于解決問題的人才。這是題的人才。這是“數(shù)學(xué)育人數(shù)學(xué)育人”的康莊大道。的康莊大道。教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)過程設(shè)計（一）（一） 創(chuàng)設(shè)情景，引入新課創(chuàng)設(shè)情景，引入新課1前面我們學(xué)習了數(shù)的運算，學(xué)習了哪些內(nèi)前面我們學(xué)習了數(shù)的運算，學(xué)習了哪些內(nèi)容？是怎樣學(xué)習的（學(xué)習

16、路徑）？容？是怎樣學(xué)習的（學(xué)習路徑）？2整式運算，我們已學(xué)習了什么運算？能否整式運算，我們已學(xué)習了什么運算？能否類比數(shù)的運算，猜想我們將要學(xué)習整式的類比數(shù)的運算，猜想我們將要學(xué)習整式的哪種運算？哪種運算？2. 探究活動：下面有四個整式，從中任選兩探究活動：下面有四個整式，從中任選兩個構(gòu)造乘法運算：個構(gòu)造乘法運算： a2 ，a3 ，a3 +ab，a +ab（1）你能寫出哪些算式？（只需列式，不要）你能寫出哪些算式？（只需列式，不要求計算）；求計算）； （2）試著將你寫出的算式分類，你認為整式）試著將你寫出的算式分類，你認為整式乘法有哪幾種類型乘法有哪幾種類型?3. 小組討論單項式乘多項式和多項式

17、乘多項小組討論單項式乘多項式和多項式乘多項式的步驟。式的步驟。 先由學(xué)生回答，教師幫助、補充先由學(xué)生回答，教師幫助、補充4你認為在單項式乘單項式中，最基本的運你認為在單項式乘單項式中，最基本的運算有哪些？算有哪些？ 學(xué)生思考并嘗試回答，教師歸納、講解：學(xué)生思考并嘗試回答，教師歸納、講解：最基本的運算是最基本的運算是am an，(am)n ， (ab)n 。 出示課題。出示課題。（二）（二） 交流對話，探究新知交流對話，探究新知1. 運用乘方的意義計算運用乘方的意義計算（1）103104 = ( ) ( )= =10( )（2） a3a4 = ( ) ( )= =a( )（3）10 m10n=

18、( ) ( )= =10( )2. 通過對以上過程的觀察，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)通過對以上過程的觀察，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？你能用一個式子來表達這個規(guī)律嗎律嗎？你能用一個式子來表達這個規(guī)律嗎？你能解釋為什么？你能解釋為什么aman=am+n 嗎？嗎？ 3. 回顧法則的探究過程，我們經(jīng)歷了怎樣的回顧法則的探究過程，我們經(jīng)歷了怎樣的過程？過程？4. 誦讀法則并思考：運用法則的條件是什么誦讀法則并思考：運用法則的條件是什么？（三）應(yīng)用新知，體驗成功（三）應(yīng)用新知，體驗成功1【辨一辨辨一辨】 下列各式哪些是同底數(shù)冪的乘法？下列各式哪些是同底數(shù)冪的乘法？ 2【做一做做一做】 計算下列各式，結(jié)果用冪的形式表示計算下

19、列各式，結(jié)果用冪的形式表示. 3【判一判判一判】 下面的計算對嗎？如果不對，怎樣改正？下面的計算對嗎？如果不對，怎樣改正？4【做一做做一做】 計算下列各式，結(jié)果用冪的形式表示計算下列各式，結(jié)果用冪的形式表示. （四）梳理小結(jié)，盤點收獲（四）梳理小結(jié)，盤點收獲 今天我們發(fā)現(xiàn)、歸納并運用了一個新的法今天我們發(fā)現(xiàn)、歸納并運用了一個新的法則則 法則的內(nèi)容是什么？法則的內(nèi)容是什么？ 我們是怎么發(fā)現(xiàn)和歸納這個法則的？我們是怎么發(fā)現(xiàn)和歸納這個法則的？ 在運用法則過程中要注意什么？在運用法則過程中要注意什么？（五）延伸思考，提升層次（五）延伸思考，提升層次 冪的乘方、積的乘方也是計算單項式乘單冪的乘方、積的乘

20、方也是計算單項式乘單項式的基礎(chǔ)，它們的法則又是如何呢？請項式的基礎(chǔ)，它們的法則又是如何呢？請同學(xué)們類比同底數(shù)冪乘法的研究路徑和方同學(xué)們類比同底數(shù)冪乘法的研究路徑和方法自主探究法自主探究 例例 乘法公式的理解及教學(xué)設(shè)計乘法公式的理解及教學(xué)設(shè)計 多項式運算就是含有字母符號的算式之間多項式運算就是含有字母符號的算式之間的運算（字母代表數(shù)，數(shù)滿足運算律，所的運算（字母代表數(shù)，數(shù)滿足運算律，所以字母也滿足運算律）；以字母也滿足運算律）； 兩個多項式的乘積就是用分配律把它歸于兩個多項式的乘積就是用分配律把它歸于單項式的乘積之和來計算，單項式的乘積單項式的乘積之和來計算，單項式的乘積是用乘法的交換律、結(jié)合律

21、和指數(shù)法則來是用乘法的交換律、結(jié)合律和指數(shù)法則來計算計算運算法則；運算法則； 乘法公式是一類特殊的多項式乘法問題，乘法公式是一類特殊的多項式乘法問題，是一個模式。是一個模式。乘法公式蘊含的思想方法乘法公式蘊含的思想方法 乘法公式是研究一般多項式乘法基礎(chǔ)上對乘法公式是研究一般多項式乘法基礎(chǔ)上對“特例特例”的考察，尋找一個模式：的考察，尋找一個模式： 在在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母中，字母a，b，c，d有某些特殊關(guān)系時的特殊形式，即有某些特殊關(guān)系時的特殊形式，即（1）c=a，d=b時為平方差公式；時為平方差公式；（2）c=a，d=b時為完全平方和公式；等。時為完全平方和公

22、式；等。從一般到特殊，歸納的思想，從一般到特殊，歸納的思想，“考察特例考察特例”是數(shù)學(xué)研究的是數(shù)學(xué)研究的“基本套路基本套路”。教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)過程設(shè)計 1復(fù)習與引入復(fù)習與引入 問題問題1 前面我們學(xué)習了單項式、多項式的前面我們學(xué)習了單項式、多項式的乘法，你能說說運算法則嗎？這些運算的乘法，你能說說運算法則嗎？這些運算的依據(jù)是什么？依據(jù)是什么？ 設(shè)計意圖：回顧運算法則，強化設(shè)計意圖：回顧運算法則，強化“用運算用運算律計算律計算”的意識。的意識。 先行組織者：先行組織者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，中，a，b，c，d可以是數(shù)、式或別的什么。數(shù)可以是數(shù)、式或別的什么。數(shù)學(xué)中，經(jīng)常

23、要通過考察特殊情況來獲得對學(xué)中，經(jīng)常要通過考察特殊情況來獲得對問題的進一步認識，例如在兩條直線的位問題的進一步認識，例如在兩條直線的位置關(guān)系中，我們特別研究了平行、垂直兩置關(guān)系中，我們特別研究了平行、垂直兩種特殊的位置關(guān)系，得到了一些有用的結(jié)種特殊的位置關(guān)系，得到了一些有用的結(jié)論。類似的，在多項式乘法中，也有一些論。類似的，在多項式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。特殊情形值得研究。 2公式的探究公式的探究 問題問題2 (x+b)(x+d)可以利用公式直接寫出結(jié)可以利用公式直接寫出結(jié)果。它是果。它是(a+b)(c+d)在在a=c=x時的特例。在時的特例。在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc

24、+bd中，你認為還有哪中，你認為還有哪些特殊情形？你能得到什么？些特殊情形？你能得到什么？ 設(shè)計意圖：通過設(shè)計意圖：通過“先行組織者先行組織者”，滲透從，滲透從一般到特殊，考察特例，深入認識數(shù)學(xué)對一般到特殊，考察特例，深入認識數(shù)學(xué)對象的方法；在讓學(xué)生自主活動之前，先指象的方法；在讓學(xué)生自主活動之前，先指出已有特例出已有特例(x+b)(x+d)，使學(xué)生有一個類比，使學(xué)生有一個類比對象，明確思考方向。對象，明確思考方向。 問題問題3 請你用自己的語言表述平方差公式、請你用自己的語言表述平方差公式、完全平方公式。完全平方公式。 設(shè)計意圖：幫助學(xué)生理解公式。設(shè)計意圖：幫助學(xué)生理解公式。 3例題例題 本

25、環(huán)節(jié)主要目的是通過變式（字母本環(huán)節(jié)主要目的是通過變式（字母a，b取取數(shù)、式等各種變形），讓學(xué)生體會公式在數(shù)、式等各種變形），讓學(xué)生體會公式在“形式化運算形式化運算”中的作用。另外，通過適中的作用。另外，通過適當反例，糾正學(xué)生可能的疏忽。最終要讓當反例，糾正學(xué)生可能的疏忽。最終要讓學(xué)生明確：第一，具備形式學(xué)生明確：第一，具備形式(a+b)(ab)或或(ab)2，就可以用公式；第二，要注意哪，就可以用公式；第二，要注意哪個代表個代表a，哪個代表，哪個代表b。 4公式的多元聯(lián)系表示公式的多元聯(lián)系表示 問題問題4 如果如果a，b表示線段的長，則表示線段的長，則a2，b2分分別表示正方形的面積。你能根據(jù)

26、公式的形別表示正方形的面積。你能根據(jù)公式的形式，自己構(gòu)造一個圖形表示上述乘法公式式，自己構(gòu)造一個圖形表示上述乘法公式嗎？嗎？ 設(shè)計意圖：通過構(gòu)造幾何模型表示公式，設(shè)計意圖：通過構(gòu)造幾何模型表示公式，以開拓學(xué)生的思路。通過數(shù)形結(jié)合、圖形以開拓學(xué)生的思路。通過數(shù)形結(jié)合、圖形直觀，以加深理解、增強記憶。直觀，以加深理解、增強記憶。 5小結(jié)小結(jié) （1）請你總結(jié)一下本節(jié)課討論問題的基本）請你總結(jié)一下本節(jié)課討論問題的基本過程。過程。 設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)“基本套路基本套路”，即即“多項式乘法（一般）多項式乘法（一般）乘法公式（乘法公式（特殊）特殊）公式特征分析公式特征分析與相關(guān)知識

27、與相關(guān)知識的聯(lián)系的聯(lián)系”。 （2）你能說說公式的結(jié)構(gòu)特點嗎？應(yīng)用時）你能說說公式的結(jié)構(gòu)特點嗎？應(yīng)用時應(yīng)注意哪些問題？應(yīng)注意哪些問題？ 設(shè)計意圖：注重知識的使用條件。設(shè)計意圖：注重知識的使用條件。 （3）能否循著上述思路，再提出一些值得）能否循著上述思路，再提出一些值得研究的問題？研究的問題？ 設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生自主研究。必要時可設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生自主研究。必要時可作提示，如公式作提示，如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，推廣中，推廣“次數(shù)次數(shù)”，可以研究，可以研究(a+b)3，(a+b)4；或推廣字母個數(shù)或推廣字母個數(shù)(a+b+c)2。雖不是。雖不是“課標課標”的要求，但對學(xué)生思維發(fā)展是

28、有好處的。的要求，但對學(xué)生思維發(fā)展是有好處的。二、關(guān)于系統(tǒng)思維的培養(yǎng)二、關(guān)于系統(tǒng)思維的培養(yǎng) 數(shù)學(xué)是一個系統(tǒng)，理解和掌握數(shù)學(xué)知識需數(shù)學(xué)是一個系統(tǒng)，理解和掌握數(shù)學(xué)知識需要系統(tǒng)思維。系統(tǒng)思維就是把認識對象作要系統(tǒng)思維。系統(tǒng)思維就是把認識對象作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地考察認識對象的一種思維方法。系統(tǒng)思維考察認識對象的一種思維方法。系統(tǒng)思維能極大地簡化人們對事物的認知。系統(tǒng)思能極大地簡化人們對事物的認知。系統(tǒng)思維給我們帶來整體觀、全局觀，具備系統(tǒng)維給我們帶來整體觀、全局觀，具備系統(tǒng)思維

29、是邏輯抽象能力強的集中表現(xiàn)。思維是邏輯抽象能力強的集中表現(xiàn)。例例 “三角形三角形”研究中的系統(tǒng)思維研究中的系統(tǒng)思維 定義定義“三角形三角形”，明確它的構(gòu)成要素；用，明確它的構(gòu)成要素；用符號表示三角形及其構(gòu)成要素；以要素為符號表示三角形及其構(gòu)成要素；以要素為標準對三角形進行分類；標準對三角形進行分類；明確研究對明確研究對象象 基本性質(zhì)，即研究要素之間的關(guān)系，得到基本性質(zhì)，即研究要素之間的關(guān)系，得到 “三角形內(nèi)角和等于三角形內(nèi)角和等于180” 等；等； 研究研究“相關(guān)要素及其關(guān)系相關(guān)要素及其關(guān)系”，如，如“三角形三角形的外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和的外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和”等；等； 三角形的全等（反

30、映空間的對稱性，三角形的全等（反映空間的對稱性，“相相等等”是重要的數(shù)學(xué)關(guān)系，也可以看成是重要的數(shù)學(xué)關(guān)系，也可以看成“確確定一個三角形的條件定一個三角形的條件”）；）； 特殊三角形的性質(zhì)與判定（等腰三角形、特殊三角形的性質(zhì)與判定（等腰三角形、直角三角形）；直角三角形）； 三角形的變換（如相似三角形等）；三角形的變換（如相似三角形等）； 直角三角形的邊角關(guān)系（銳角三角函數(shù)）直角三角形的邊角關(guān)系（銳角三角函數(shù)），解直角三角形；，解直角三角形； 解三角形（正弦定理、余弦定理）。解三角形（正弦定理、余弦定理）。把三角形作為一個系統(tǒng)進行研究把三角形作為一個系統(tǒng)進行研究 明確研究對象（定義、表示、劃分）明

31、確研究對象（定義、表示、劃分） 性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系）性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系）特例（性質(zhì)和判定）特例（性質(zhì)和判定）聯(lián)系；聯(lián)系； 定性研究（相等、不等、對稱性等）定性研究（相等、不等、對稱性等）定量研究（面積、勾股定理、相似、解三定量研究（面積、勾股定理、相似、解三角形等）。角形等）。 培養(yǎng)系統(tǒng)思維，是為了使學(xué)生養(yǎng)成全面思培養(yǎng)系統(tǒng)思維，是為了使學(xué)生養(yǎng)成全面思考問題的習慣，避免考問題的習慣，避免“見木不見林見木不見林”，進，進而使他們在面對數(shù)學(xué)問題時，能把解決問而使他們在面對數(shù)學(xué)問題時，能把解決問題的目標、實現(xiàn)目標的過程、解決過程的題的目標、實現(xiàn)目標的過程、解決過程的優(yōu)化以及對問

32、題的拓展、深化等作為一個優(yōu)化以及對問題的拓展、深化等作為一個整體進行研究。這樣，整體進行研究。這樣，“使學(xué)生學(xué)會思考使學(xué)生學(xué)會思考，成為善于認識和解決問題的人才，成為善于認識和解決問題的人才”就能就能落在實處。落在實處。什么叫性質(zhì)？什么叫性質(zhì)？ 性質(zhì)是指事物所具有的本質(zhì)，即事物內(nèi)部性質(zhì)是指事物所具有的本質(zhì)，即事物內(nèi)部穩(wěn)定的聯(lián)系。穩(wěn)定的聯(lián)系。 問題：這里的問題：這里的“事物內(nèi)部事物內(nèi)部”指什么？指什么？“穩(wěn)穩(wěn)定的聯(lián)系定的聯(lián)系”是怎么表現(xiàn)的？到底怎樣才能是怎么表現(xiàn)的？到底怎樣才能發(fā)現(xiàn)這種發(fā)現(xiàn)這種“聯(lián)系聯(lián)系”？ 從三角形的從三角形的“內(nèi)角和為內(nèi)角和為180”、“兩邊之兩邊之和大于第三邊和大于第三邊”

33、、“大邊對大角大邊對大角”、“等等邊對等角邊對等角”等你想到了什么？等你想到了什么？ “內(nèi)部內(nèi)部”可以是可以是“三角形的組成要素三角形的組成要素”，“穩(wěn)定的聯(lián)系穩(wěn)定的聯(lián)系”是指是指“三角形要素之間確三角形要素之間確定的關(guān)系定的關(guān)系”。 幾何對象組成要素之間確定的關(guān)系就是性幾何對象組成要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì)。質(zhì)。 從從“外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和”、“三三條高交于一點條高交于一點”、“等腰三角形三線合一等腰三角形三線合一”等又想到了什么？等又想到了什么？ 把外角、高、中線、角平分線等叫做三角把外角、高、中線、角平分線等叫做三角形的相關(guān)要素，這些形的相關(guān)要素，這些“相關(guān)要

34、素相關(guān)要素”也可以也可以看成是看成是“三角形的內(nèi)部三角形的內(nèi)部”。 要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系也是性質(zhì)要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系也是性質(zhì)。 兩個幾何事物所形成的某種位置關(guān)系所體兩個幾何事物所形成的某種位置關(guān)系所體現(xiàn)的性質(zhì)，例如兩條直線平行，從現(xiàn)的性質(zhì)，例如兩條直線平行，從“同位同位角相等角相等”、“內(nèi)錯角相等內(nèi)錯角相等”以及以及“同旁內(nèi)同旁內(nèi)角互補角互補”可以想到，這時的可以想到，這時的“性質(zhì)性質(zhì)”是借是借助助“第三條直線第三條直線”構(gòu)成一些角，然后看由構(gòu)成一些角，然后看由兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些角之間有什么確定的關(guān)系。角之間有什么確定的關(guān)系

35、。 研究兩個幾何事物的某種位置關(guān)系下具有研究兩個幾何事物的某種位置關(guān)系下具有什么性質(zhì)，可以從探索這種位置關(guān)系下的什么性質(zhì)，可以從探索這種位置關(guān)系下的兩個幾何事物與其他幾何事物之間是否形兩個幾何事物與其他幾何事物之間是否形成確定的關(guān)系入手。成確定的關(guān)系入手。圓的幾何性質(zhì)圓的幾何性質(zhì) 要素：圓心、半徑、直徑、弧、圓心角；要素：圓心、半徑、直徑、弧、圓心角； 相關(guān)要素：弦、圓周角相關(guān)要素：弦、圓周角 你認為可以怎樣引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出值得你認為可以怎樣引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的命題？研究的命題？ 同（等）圓的直徑大于不經(jīng)過圓心的任何同（等）圓的直徑大于不經(jīng)過圓心的任何一條弦；一條弦； 垂直于弦的直徑

36、平分弦，并且平分這條弦垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對的兩條??；所對的兩條??； 在同（等）圓中：弧相等則所對的弦相等在同（等）圓中：弧相等則所對的弦相等，且弦心距也相等；兩條劣弧不等，則大，且弦心距也相等；兩條劣弧不等，則大弧所對的弦較大（弦心距較?。荒娑ɡ砘∷鶎Φ南逸^大（弦心距較?。?；逆定理也成立。也成立。 切線垂直于過切點的半徑。切線垂直于過切點的半徑。 過圓外一點所作圓的兩條切線長相等。過圓外一點所作圓的兩條切線長相等。 你能發(fā)現(xiàn)一些與圓心角相關(guān)的定理嗎？你能發(fā)現(xiàn)一些與圓心角相關(guān)的定理嗎？從培養(yǎng)系統(tǒng)思維的要求出發(fā)設(shè)計教學(xué)從培養(yǎng)系統(tǒng)思維的要求出發(fā)設(shè)計教學(xué) 以數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程

37、為載體，按學(xué)以數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程為載體，按學(xué)生的認知規(guī)律設(shè)計教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷研究生的認知規(guī)律設(shè)計教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷研究一個數(shù)學(xué)對象的基本過程，提高發(fā)現(xiàn)和提一個數(shù)學(xué)對象的基本過程，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)認出問題、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)認識和解決問題的能力。識和解決問題的能力。數(shù)學(xué)化的過程數(shù)學(xué)化的過程銳角三角函數(shù)的定義過程銳角三角函數(shù)的定義過程 以以“比薩斜塔糾偏問題比薩斜塔糾偏問題”引入，以引入，以“對于對于直角三角形，我們已經(jīng)知道三邊之間、兩直角三角形，我們已經(jīng)知道三邊之間、兩個銳角之間的關(guān)系，它的邊角之間有什么個銳角之間的關(guān)系，它的邊角之間有什么關(guān)系呢？關(guān)系呢？

38、”提出問題，然后研究銳角的正提出問題，然后研究銳角的正弦，再給出銳角的余弦、正切。弦，再給出銳角的余弦、正切。銳角的正弦的定義銳角的正弦的定義 先利用先利用“直角三角形中，直角三角形中，30角所對的邊角所對的邊是斜邊的一半是斜邊的一半”，得到，得到30角所對的邊與角所對的邊與斜邊的比值；再討論斜邊的比值；再討論45、 60角所對的角所對的邊與斜邊的比值；然后討論一般情況：相邊與斜邊的比值；然后討論一般情況：相似直角三角形中，一個銳角的對邊與斜邊似直角三角形中，一個銳角的對邊與斜邊的比，隨著這個銳角的變化而變化，隨著的比，隨著這個銳角的變化而變化，隨著它的確定而唯一確定，把它的確定而唯一確定，把

39、RtABC中銳角中銳角A的對邊與斜邊的比叫做的對邊與斜邊的比叫做A的正弦。的正弦。銳角三角函數(shù)概念的展開銳角三角函數(shù)概念的展開 課題的引入課題的引入 從實際需要看（比薩斜塔糾偏從實際需要看（比薩斜塔糾偏問題）；從數(shù)學(xué)內(nèi)部看（以往討論了直角問題）；從數(shù)學(xué)內(nèi)部看（以往討論了直角三角形邊與邊的關(guān)系、角與角的關(guān)系，邊三角形邊與邊的關(guān)系、角與角的關(guān)系，邊與角有沒有確定的關(guān)系？）。與角有沒有確定的關(guān)系？）。 概念屬性的歸納概念屬性的歸納 例證例證1 從最熟悉的開始，從最熟悉的開始，30角所對的邊與斜邊的比值是角所對的邊與斜邊的比值是1/2 。 思考：由這個結(jié)論能解決什么問題？思考：由這個結(jié)論能解決什么問題

40、？當當A=30時，已知斜邊就可求出時，已知斜邊就可求出A的的對邊，反之也然。對邊，反之也然。 例證例證2 等腰直角三角形中，銳角等腰直角三角形中，銳角A的對邊與的對邊與斜邊的比是多少？由此能解決什么問題？斜邊的比是多少？由此能解決什么問題？ 歸納：任意給定銳角歸納：任意給定銳角A，A的對邊與斜邊的對邊與斜邊的比值是否為一個確定的值？的比值是否為一個確定的值？ 概念的明確與表示概念的明確與表示 下定義，用符號表示。下定義，用符號表示。 定義的辨析定義的辨析 （1）A為為RtABC的銳角，的銳角， ABC的大小可以變化，但的大小可以變化，但A的對邊與斜的對邊與斜邊的比值不變，即對于每一個銳角邊的比值不變，即對于每一個銳角A都有唯都有唯一確定的比值與之對應(yīng)，這個比值叫做一確定的比值與之對應(yīng)，這個比值叫做A的正弦；（的正弦；（2）符號）符號sinA的理解的理解一個由一個由A唯一確定的數(shù)，例如唯一確定的數(shù)，例如sin30=1/2 ；等。；等。 概念的鞏固應(yīng)用概念的鞏固應(yīng)用 已知直角三角形的邊求正已知直角三角形的邊求正弦值等。弦值等。 概念的精致概念的精致 解直角三角形。解直角三角形。關(guān)于關(guān)于“解直角三角形解直角三角形” 教學(xué)設(shè)計中，加強思想方法、解決問題的教學(xué)設(shè)計中，加強思想方法、解決問題的策略等方面的思考：