基于廣義誤差分布的期權(quán)定價(jià)模型研究

1、基于廣義誤差分布的期權(quán)定價(jià)模型研究邱世斌 陳燕武華僑大學(xué)商學(xué)院，福建泉州（362021）摘要：針對我國上市公司權(quán)證市場的發(fā)展情況，本文對傳統(tǒng)BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型中標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從對數(shù)正態(tài)分布這一假設(shè)條件進(jìn)行了修正，提出了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從對數(shù)廣義誤差分布的假設(shè)，并且通過實(shí)證研究得出，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從對數(shù)廣義誤差分布以及廣義誤差期權(quán)模型的定價(jià)與實(shí)際情況較為相符的結(jié)論。關(guān)鍵詞：BlackScholes模型；廣義誤差分布；協(xié)整檢驗(yàn)；擬合優(yōu)度 中圖分類號：F224.0，O211.621. 引言及文獻(xiàn)回顧BlackScholes的期權(quán)定價(jià)模型是金融學(xué)中廣泛應(yīng)用的模型之一，該模型是金融資產(chǎn)定

2、價(jià)的核心理論基礎(chǔ)，是金融創(chuàng)新的原動(dòng)力，是金融理論界和實(shí)踐界的一場重大變革。盡管該模型的一些假設(shè)與現(xiàn)實(shí)不相符，但標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)價(jià)格與該公式的計(jì)算結(jié)果還是比較吻合的。期權(quán)定價(jià)理論的研究可以追索到Bachelier （1900）的博士論文“投資理論”，其后許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家都嘗試解決這個(gè)問題，直到二十世紀(jì)七十年代，該問題才得到了實(shí)質(zhì)的解決，Black 和Scholes （1973）應(yīng)用均衡資本資產(chǎn)定價(jià)理論及風(fēng)險(xiǎn)中性理論推導(dǎo)出期權(quán)定價(jià)方程，得到期權(quán)的定價(jià)公式1。在此之后，Harrison 和Kreps 、Harrison 和Pliska 分別應(yīng)用鞅和隨機(jī)積分從數(shù)學(xué)的角度推導(dǎo)出了期權(quán)定價(jià)公式，該定價(jià)公

3、式奠定了現(xiàn)代金融工程的理論基礎(chǔ)。之后的很多學(xué)者對該模型的推廣進(jìn)行了大量的研究，其中比較有影響力的是Roll(1977 給出了支付離散股利的美式看漲股票期權(quán)的解析定價(jià)公式，Merton （1976）首次考慮市場中突發(fā)事件對股票價(jià)格的影響，指出了標(biāo)的股票收益是由標(biāo)準(zhǔn)幾何布朗運(yùn)動(dòng)引起的連續(xù)擴(kuò)散變動(dòng)和泊松過程引起的跳躍共同作用的結(jié)果，并依此建立了跳-擴(kuò)散模型并給出了在這種模型下的歐式期權(quán)解析定價(jià)公式。在國內(nèi)，唐湘晉和吳新林（2006）年提出了基于非高斯和相依回報(bào)的期權(quán)定價(jià)模型，安占強(qiáng)和徐潔媛（2007）提出了非正態(tài)分布下的二叉樹期權(quán)定價(jià)模型，但是這些模型都缺少實(shí)證來支持，只是單純的改變BlackSch

4、oles的期權(quán)定價(jià)模型中的一些假設(shè)條件，這些改進(jìn)的模型是否適用于實(shí)際情況，還有待進(jìn)一步的驗(yàn)證。本文首先研究傳統(tǒng)期權(quán)定價(jià)理論是否服從正態(tài)分布，因?yàn)榻鹑跀?shù)據(jù)大都存在尖鋒厚尾的現(xiàn)象，而正態(tài)分布并不能有效的擬合這種實(shí)際數(shù)據(jù)，最后通過實(shí)證的比較分析，驗(yàn)證哪種模型較為合理。2. GARCH模型及分布檢驗(yàn)本文需要計(jì)算期權(quán)定價(jià)理論中的波動(dòng)率，而波動(dòng)率本文采用廣義自回歸條件異方差（GARCH ）模型來確定；同時(shí)還要確定標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是服從對數(shù)正態(tài)分布還是其他分布，故在該部分先介紹自回歸條件異方差模型及分布檢驗(yàn)。2.1 GARCH模型自回歸條件異方差模型（generalized autoregressive con

5、ditional heteroskedasticity model,GARCH 模型）是由Bollerslev,Tim(1986首先提出的，該模型包括兩個(gè)方程：一個(gè)是條件均值方程；另一個(gè)是條件方差方程，標(biāo)準(zhǔn)的GARCH （1，1）模型為：y t =a 0+a i y t i +i x t i +u ti =1i =0p q(1t 2=w +u t 21+t 21+v t其中u t 為均值方程的殘差項(xiàng)，v t 為異方差方程的誤差項(xiàng)，且服從標(biāo)準(zhǔn)態(tài)分布。對于該模型的參數(shù)估計(jì)，大都采用似然估計(jì)。2.2 分布擬合檢驗(yàn)分布擬合檢驗(yàn)的目的在于尋找與樣本數(shù)據(jù)擬合程度最好的分布形式。對其檢驗(yàn)的方法很多，例如游程

6、檢驗(yàn)、秩和檢驗(yàn)等，但是使用最大似然估計(jì)法和擬合優(yōu)度法較為科學(xué)。 1、分布的極大似然估計(jì)法極大似然估計(jì)的基本思想是：已經(jīng)發(fā)生的事件在未發(fā)生之前其發(fā)生的概率最大。根據(jù)Law 和Kelton 的定義，分布的最大似然估計(jì)是使分布與給定觀測數(shù)據(jù)之間的擬合程度最佳的函數(shù)形式。對于任意有兩個(gè)擁有n 個(gè)樣本值X 的不同概率密度分布f (X 、g (X 似然函數(shù)可表示為：L 1=f (X i , L 2=i =1ng (X , i =1in其中 、均為分布函數(shù)的參數(shù)。這樣我們會(huì)得到兩個(gè)分布函數(shù)的似然函數(shù)值，似然值越大，其分布與實(shí)際的樣本值的擬合程度越高，如果l 1l 2說明密度函數(shù)f (x 比密度函數(shù)g (X

7、的擬合程度更高，反之亦然。2、擬合優(yōu)度法擬合優(yōu)度是指樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際統(tǒng)計(jì)頻率與給定分布之間的擬合概率之間的接近程度，它通常被用在比較不同分布函數(shù)之間擬合程度?？梢酝ㄟ^三種方法對擬合優(yōu)度進(jìn)行檢驗(yàn)：2檢驗(yàn)、Kolmogorov-Smirnov 或Anderson-Darling 檢驗(yàn)，2檢驗(yàn)是最常用的檢驗(yàn)方法，適用于連續(xù)和離散的樣本數(shù)據(jù)。2檢驗(yàn)的定義為：(P i p i 2= (2p i =1i2n_在(2式中，P i 為觀測到的頻率值，p i 為落在某一區(qū)域的理論概率值。擬合優(yōu)度統(tǒng)計(jì)量_測量了分布與樣本數(shù)據(jù)之間的偏差。擬合優(yōu)度越小，擬合程度越好。3. 傳統(tǒng)期權(quán)定價(jià)理論3.1 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的行為模型

8、BlackScholes的期權(quán)定價(jià)模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從如下Ito 過程：ds t =sdt +sdz (3其中s 表示資產(chǎn)的價(jià)格，表示資產(chǎn)價(jià)格的預(yù)期收益率， 表示資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率，dz =，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，是一隨機(jī)數(shù)，dt 為時(shí)間的微分。3.2 BlackScholes的期權(quán)定價(jià)模型根據(jù)無套利定價(jià)理論、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論和依藤定理可得期權(quán)定價(jià)公式： 看漲期權(quán)23：c =SN (d 1 Xe r (T t N (d 2 (4看跌期權(quán)：p =Xe r (T t N (d 2 SN (d 1 (5其中，c 表示看漲期權(quán)合約價(jià)值，S 表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，N (x 為均值為0標(biāo)準(zhǔn)偏差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

9、變量的累計(jì)概率分布函數(shù)，X 為執(zhí)行價(jià)格，r 為無風(fēng)險(xiǎn)利率，T 為到期時(shí)間，t 為當(dāng)前時(shí)期，d 1= d 2=為股票價(jià)格的波動(dòng)率。3.3 基于廣義誤差分布的期權(quán)定價(jià)理論在標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格行為模式過程中，Black 和Scholes 認(rèn)為資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)過程服從正態(tài)分布，但是大量的實(shí)證研究表明，資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)過程更多的表現(xiàn)為廣義誤差分布，如果標(biāo)的資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)過程服從廣義誤差分布的話，那么期權(quán)的定價(jià)公式可表示成如下公式： 看漲期權(quán)：c =SGED (d 1,1 Xe r (T t GED (d 2,1 (6看跌期權(quán)：p =Xe r (T t GED (d 2,1 SGED (d 1,1 (7其中，GED (x ,

10、1 表示為1的廣義誤差分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)，其他的參數(shù)意義與BlackScholes的期權(quán)定價(jià)模型相同。4. 實(shí)證研究由于我國尚未建立完善的期權(quán)交易市場，故本文在實(shí)證研究過程中以上證交易所中的股票權(quán)證為樣本，但由于股票權(quán)證對股票價(jià)格（標(biāo)的資產(chǎn)）具有稀釋作用，因此必須經(jīng)過必要的調(diào)整，調(diào)整公式如下：V M =S +W N N (84.1 分布擬合檢驗(yàn)及GARCH 模型的實(shí)證研究1、 分布的擬合檢驗(yàn)在BlackScholes的期權(quán)定價(jià)模型中假設(shè)股票價(jià)格服從對數(shù)正態(tài)分布的, 但是否服從對數(shù)正態(tài)分布有待進(jìn)一步的檢驗(yàn)。本文擬采用似然估計(jì)函數(shù)與擬合優(yōu)度進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)前先將股票收益率分成幾個(gè)區(qū)間，其區(qū)間

11、越細(xì)其檢驗(yàn)的精度就越高，本文把收益率按如表1所示的區(qū)間劃分：表1 收益率的劃分區(qū)間Tab. 1 Classification Interval of Return Rate0.036將樣本股票的收益率按分布的極大似然估計(jì)法與擬合優(yōu)度法的公式計(jì)算，可以得到如表2所示的結(jié)果：表2 分布檢驗(yàn)結(jié)果 Tab. 2 Results of Distribution Test區(qū)間個(gè)數(shù)實(shí)際概率廣義誤差分布理論概率正態(tài)分布理論概率廣義誤差分布擬合優(yōu)度正態(tài)分布擬合優(yōu)度0.131084 0.112321 -0.01 r0 0 r0.01 0.01 r0.02 0.02 r0.036 擬合優(yōu)度 似然值3 2 6 20.

12、09375 0.0625 0.1875 0.06250.046888 0.0768940.0475950.0026940.0046680.410541 0.0019780.488128 0.915559 9.555149 9.0702390.06919注：表中的廣義誤差分布中=1，這樣可克服尖鋒厚尾現(xiàn)象。從表2中的檢驗(yàn)結(jié)果可得出，收益率服從廣義誤差分布的擬合優(yōu)度小于收效率服從正態(tài)分布的擬合優(yōu)度，而廣義誤差分布的似然值卻大于正態(tài)分布的似然值，這兩種檢驗(yàn)結(jié)果都顯示股票價(jià)格服從對數(shù)廣義誤差分布。 2、GARCH 模型在期權(quán)定價(jià)過程中，最重要的一個(gè)參數(shù)就是股票價(jià)格的波動(dòng)率，本文利用GARCH 模型，采

13、用股票收益率來估計(jì)各期股票價(jià)格的波動(dòng)率。在進(jìn)行GARCH 建模前，對武鋼股票收益率進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，本文采用ADF 檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果見表3。表3 ADF 檢驗(yàn)結(jié)果 Tab.3 Results of ADF Testt-Statistic Prob.* ADF 統(tǒng)計(jì)量 臨界值1% level-4.658838 0.0009 -3.6793225% level -2.967767 10% level -2.622989注：檢驗(yàn)過程的滯后階數(shù)由Eviews 軟件用AIC 檢驗(yàn)自動(dòng)判斷。由檢驗(yàn)結(jié)果可知，武鋼股票收益率序列是非常平穩(wěn)的。由于GARCH 模型的相關(guān)已經(jīng)相當(dāng)成熟，本文對本過程只簡單描述一下。通過

14、回歸以及LM 檢驗(yàn)，AIC 準(zhǔn)則的判斷，擬采用如下形式的GARCH 模型：y t =a 1y t 1+u t=w +u +其估計(jì)結(jié)果為：2t 2t 12t 1+v t(9y t =0.3014366854y t 1t 2=0.00124- 0.218u t 21+1.0767t 21z=1.739 z=-1.8997 z=5.643估計(jì)結(jié)果中的z 值表示的是廣義誤差分布的分位值，從以上的估計(jì)結(jié)果可以得出，各參數(shù)的估計(jì)結(jié)果都較為顯著，通過模型的估計(jì)結(jié)果可以得到各期的波動(dòng)率。4.2 期權(quán)定價(jià)模型估計(jì)出了各時(shí)期股票價(jià)格的波動(dòng)率后，通過BlackScholes的期權(quán)定價(jià)模型以及基于廣義誤差分布的期權(quán)定價(jià)模型，把相關(guān)時(shí)期的數(shù)據(jù)帶入到兩個(gè)模型當(dāng)中去，可以得出在這兩個(gè)模型下的權(quán)證理論價(jià)格，經(jīng)過Eviews 編程可得到如表4所示的結(jié)果：表4 期權(quán)的理論價(jià)格與實(shí)際價(jià)格Tab. 4 Theoretical Price and Practical Pri