小學(xué)奧數(shù)16數(shù)陣圖

1、1.10.5數(shù)陣圖1.10.5.1基礎(chǔ)知識數(shù)陣是由幻方演化出來的另一種數(shù)字圖?；梅揭话憔鶠檎叫?。圖中縱、橫、對角線數(shù)字和相等。數(shù)陣則不僅有正方形、長方形，還有三角形、圓、多邊形、星形、花瓣形、十字形，甚至多種圖形的組合。變幻多姿，奇趣迷人。一般按數(shù)字的組合形式，將其分為三類，即輻射型數(shù)陣、封閉型數(shù)陣、復(fù)合型數(shù)陣。數(shù)陣的特點(diǎn)是：每一條直線段或由若干線段組成的封閉線上的數(shù)字和相等。它的表達(dá)形式多為給出一定數(shù)量的數(shù)字，要求填入指定的圖中，使其具備數(shù)陣的特點(diǎn)。解數(shù)陣問題的一般思路是：1.求出條件中若干已知數(shù)字的和。2.根據(jù)“和相等”，列出關(guān)系式，找出關(guān)鍵數(shù)重復(fù)使用的數(shù)。3.確定重復(fù)用數(shù)后，對照“和相

2、等”的條件，用嘗試的方法，求出其他各數(shù)。有時(shí)，因數(shù)字存在不同的組合方法，答案往往不是唯一的。1.10.5.2輻射型數(shù)陣?yán)? 將15五個(gè)數(shù)字，分別填入下圖的五個(gè)中，使橫、豎線上的三個(gè)數(shù)字和都是10。解：已給出的五個(gè)數(shù)字和是：1234515 題中要求橫、豎每條線上數(shù)字和都是10，兩條線合起來便是20了。20155，怎樣才能增加5呢？因?yàn)橹行牡囊粋€(gè)數(shù)是個(gè)重復(fù)使用數(shù)。只有5連加兩次才能使五個(gè)數(shù)字的和增加5，關(guān)鍵找到了，中心數(shù)必須填5。確定中心數(shù)后，按余下的1、2、3、4，分別填在橫、豎線的兩端，使每條線上數(shù)的和是10便可。例2將17七個(gè)數(shù)字，分別填入圖中的各個(gè)內(nèi)，使每條線上的三個(gè)數(shù)和相等。 解：圖中共

3、有3條線，若每條線數(shù)字和相等，三條線的數(shù)字總和必為3的倍數(shù)。設(shè)中心數(shù)為a，則a被重復(fù)使用了2次。即，12345672a282a，282a應(yīng)能被3整除。（282a）÷328÷32a÷3其中28÷39余1，所以2a÷3應(yīng)余2。由此，便可推得a只能是1、4、7三數(shù)。當(dāng)a1時(shí)，282a30 30÷310，其他兩數(shù)的和是1019，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和為9分成三組填入兩端即可。同理可求得a4、a7兩端應(yīng)填入的數(shù)。例3將從1開始的連續(xù)自然數(shù)填入各中，使每條線上的數(shù)字和相等。 解：圖中共有三條線，若每條線數(shù)字和相等，三條線的數(shù)字總

4、和必為3的倍數(shù)。設(shè)中心數(shù)為a，a被重復(fù)使用了兩次，即：123102a552a，552a應(yīng)能被3整除。（552a）÷355÷32a÷3其中，55÷318余1，所以2a÷3應(yīng)余2。由此，可推知a只能在1、4、7中挑選。在a1時(shí)，552a57，57÷319，即中心數(shù)若填1，各條線上的數(shù)字和應(yīng)為19。但是除掉中心數(shù)1，在其余九個(gè)數(shù)字中，只有兩組可滿足這一條件，即：97218，86418，75315所以，a不能填1。經(jīng)試驗(yàn)，a7時(shí)，余下的數(shù)組合為12（19712），也不能滿足條件。因此，確定a只能填4。例4將19九個(gè)數(shù)字，填入下圖各中，使縱、橫

5、兩條線上的數(shù)字和相等。 解：19九個(gè)數(shù)字和是：12395×945，把45平分成兩份：45÷222余1。這就是說，若使每行數(shù)字和為23，則需把1重復(fù)加一次，即中心數(shù)填1；若使數(shù)字和為24，中心數(shù)應(yīng)填3?？傊?，因45÷2余數(shù)是1，只能使1、3、5、7、9各個(gè)奇數(shù)重復(fù)使用，才有可能使橫、豎行的數(shù)字和相等。因而，此題可有多種解法。但中心數(shù)必須是9以內(nèi)的奇數(shù)。例5 將111十一個(gè)數(shù)字，填入下圖各中，使每條線段上的數(shù)字和相等。 解：圖中共有五條線段，全部數(shù)字的總和必須是5的倍數(shù)，每條線上的數(shù)字和才能相等。111十一個(gè)數(shù)字和為66，66÷513余1，必須再增加4，可使

6、各線上數(shù)字和為14。共五條線，中心數(shù)重復(fù)使用4次，填1恰符合條件。此題的基本解法是：中心數(shù)重復(fù)使用次數(shù)與中心數(shù)的積，加上原余數(shù)1，所得的和必須是5的倍數(shù)。據(jù)此，中心數(shù)填6、11均可得解。1.10.5.3封閉型數(shù)陣?yán)?把2、3、4、5、6、7六個(gè)數(shù)字，分別填入中，使三角形各邊上的數(shù)字和都是12。 解：要使三角形每邊上的數(shù)字和都是12，則三條邊的數(shù)字和便是12×336，而23456727，36與27相差9。三個(gè)角頂?shù)臄?shù)字都重復(fù)使用兩次，只有這三個(gè)數(shù)字的和是9，才能符合條件。確定了角頂?shù)臄?shù)字，其他各數(shù)通過嘗試便容易求得了！這題還可有許多解法，上圖只是其中一種。例2把19九個(gè)數(shù)字，分別填入下

7、圖中，使每邊上四個(gè)數(shù)的和都是21。 解：要使三角形每條邊上的數(shù)字和是21，則三條邊的數(shù)字和便是：21×363。而19九個(gè)數(shù)字的和只有45。45比63少18，只有使三角形三個(gè)頂角的數(shù)字和為18，重復(fù)使用兩次，才能使總和增加18。所以應(yīng)確定頂點(diǎn)的三個(gè)數(shù)。下面是填法中的一種。確定了頂角的數(shù)后，其他各數(shù)便容易了。例3下圖是四個(gè)互相聯(lián)系的三角形。把19九個(gè)數(shù)字，填入中，使每個(gè)三角形中數(shù)字的和都是15。 解：每個(gè)三角形數(shù)字和都是15，四個(gè)三角形的數(shù)字和便是：15×460，而19九個(gè)數(shù)字和只有45。45比60少15。怎樣才能使它增加15呢？靠數(shù)字重復(fù)使用才能解決。中間的一個(gè)三角形，每個(gè)頂

8、角都聯(lián)著其他三角形，每個(gè)數(shù)字都被重復(fù)使用兩次。因此，只要使中間的一個(gè)三角形數(shù)字和為15，便可以符合條件。因此，它的三個(gè)頂角數(shù)字，可以分別為：1、9、5 2、8、5 2、7、6 4、6、5及2、9、4 3、8、4 3、7、5 8、6、1。把中間的三角形各頂角數(shù)字先填出，其他各個(gè)三角形便容易解決了。前頁下圖是其中的一種。例4 把210九個(gè)數(shù)字，分別填入下圖中，使每條直線上的三個(gè)數(shù)和為15。 解：210九個(gè)數(shù)字的和為：234106×954若排成每個(gè)三角形每邊的數(shù)字和都是15，圖中含有每邊都三個(gè)數(shù)字的三角形有兩個(gè)，共六條邊，數(shù)字總和應(yīng)是15×690。54比90少36。在外圍的六個(gè)數(shù)

9、都被重復(fù)使用了兩次，它們又分屬于兩個(gè)三角形。所以，每個(gè)三角形三個(gè)頂角的數(shù)和應(yīng)為：36÷218。這樣，便可以先填外三角形三個(gè)頂角的數(shù)。三個(gè)數(shù)和為18的有很多組，可以通過試驗(yàn)篩選出適宜的一組。填好了外圍三角形各個(gè)數(shù)后，里面的三角形，因?yàn)轫斀堑臄?shù)已知，其他各數(shù)便容易填寫了。上面是填法中的一種。例5 把110十個(gè)數(shù)字，分別填入下圖中，使每個(gè)三角形三個(gè)頂角的三個(gè)數(shù)字和相等。 解：圖中有三個(gè)三角形，頂角數(shù)字互不聯(lián)系，中心的一個(gè)數(shù)獨(dú)立于各個(gè)三角形之外。因此，要使各三角形頂角的數(shù)字和相等。去掉中心數(shù)后，數(shù)字總和應(yīng)是3的倍數(shù)，而且三角形頂角的數(shù)字三組中不能出現(xiàn)重復(fù)。如：以10為中心數(shù)，可填為如上圖樣。

10、例6 將112分別填入下圖中，使圖中每個(gè)三角形周邊上的六個(gè)數(shù)的和都相等。 解：圖中共有四個(gè)三角形，共有六個(gè)邊。112的數(shù)字和是78。每條邊上的數(shù)字和應(yīng)為：78÷613。這樣，我們可以推想：因?yàn)閮?nèi)部的三條邊都被重復(fù)計(jì)算兩次，只要每個(gè)數(shù)增加1，十二個(gè)數(shù)的總和便增加6，它們同樣可以填出來，因而，本題的解法是很多的。7、把九個(gè)數(shù)分別填入下圖中，使每條直線上的三個(gè)數(shù)的和都相等。 解：九個(gè)分?jǐn)?shù)排成方陣，使縱、橫、對角線的三個(gè)數(shù)和相等，這已經(jīng)符合幻方的要求了，因此，可以按幻方的制作方法求解。這十二個(gè)分?jǐn)?shù)，按從小到大的順序排列是：把它們按序排列為斜方形：將上、下兩數(shù)，左、右兩數(shù)對調(diào)，再把中間四數(shù)向外

11、拉出，這樣重新組成的數(shù)陣，便是求得的解了。例8 將18八個(gè)數(shù)字，分別填入下圖中，使每個(gè)小三角形頂點(diǎn)上三數(shù)之和為12。 解：圖中共有四個(gè)小三角形，每個(gè)三角形頂點(diǎn)數(shù)字的和若都是12，數(shù)字總和便是12×448，可是18八個(gè)數(shù)字總和只有36。36比48少12。只有靠共用頂角上數(shù)的重復(fù)使用，才能解決。因此，必須把四個(gè)公用頂角的數(shù)字和填成12。把18八個(gè)數(shù)四個(gè)一組，和為12的有：63215421上述兩組中，經(jīng)驗(yàn)證，只有6321可以作公用頂點(diǎn)的數(shù)字。例9 在下圖五個(gè)內(nèi)，各填入一個(gè)自然數(shù)，使圖中八個(gè)三角形中頂點(diǎn)的數(shù)字和各不相同。求能滿足這個(gè)條件的自然數(shù)中最小的五個(gè)數(shù)。 解：能滿足使八個(gè)三角形頂點(diǎn)數(shù)字

12、和各不相同的任意自然數(shù)有很多組，但自然數(shù)中能滿足這個(gè)條件的最小自然數(shù)卻只有一組。最小的一組自然數(shù)中的五個(gè)數(shù)，若有兩個(gè)相同的，其中三個(gè)數(shù)的和可以多到有7個(gè)不同值，因此，五個(gè)數(shù)互不相同。如果這五個(gè)數(shù)是1，2，3，4，5，則其中三個(gè)數(shù)的和有如下組合方式：1236 2349 345121247 1348 2351024511這樣，總共只有七種不同的和，而圖中共八個(gè)三角形，可知1，2，3，4，5五個(gè)自然數(shù)不能滿足條件。例10 在下列圖中三個(gè)正方形中，每個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，只填入1，2，3，4四數(shù)，使圖中八個(gè)三角形頂點(diǎn)數(shù)字和互不相同。 解：圖中，頂角在大正方形邊上的四個(gè)三角形，頂角都分別為兩個(gè)三角形共用，只有正方形的四個(gè)角分別只屬于一個(gè)三角形，所以，四個(gè)三角形頂點(diǎn)數(shù)字的和應(yīng)等于：（1234）×33030不是4的倍數(shù)，因而，外面的四個(gè)三角形頂點(diǎn)數(shù)字和不可能相等。同理，里面的四個(gè)三角形頂點(diǎn)數(shù)字和也不可能相等。題中要求，每個(gè)三角形頂點(diǎn)數(shù)字和不相同，14四個(gè)數(shù)之和最小值是1124，最大值是44311，這樣共可