全等三角形問(wèn)題中常見的8種輔助線的作法

1、全等三角形問(wèn)題中常見的輔助線的作法 （ 有答案 ）常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二個(gè)角之間的相等。1） 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”法構(gòu)造全等三角形2） 遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” 法 構(gòu)造全等三角形3） 遇到角平分線在三種添輔助線的方法，（ 1 ）可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理 （ 2 ）可以在角平分線上的一點(diǎn)

2、作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對(duì)全等三角形。 （ 3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點(diǎn)相等長(zhǎng)度的位置上截取二點(diǎn)， 然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線， 構(gòu)造一對(duì)全等三角形。4） 過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線， 構(gòu)造全等三角形， 利用的思維模式是全等變換中的 “平移” 或“翻轉(zhuǎn)折疊”5） 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法， 具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等， 或是將某條線段延長(zhǎng)， 是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目6） 已知某線段的垂直平分線， 那么可以在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個(gè)端點(diǎn)作連線， 出一對(duì)全等三角

3、形。特殊方法： 在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)， 常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)， 利用三角形面積的知識(shí)解答一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等例1、已知，如圖 ABC中，AB=5, AC=3則中線 AD的取值范圍是 例2、如圖， ABC中，E、F分別在 AB AC上，DE± DF, D是中點(diǎn)，試比較 BE+CFW EF的大小.例3、如圖， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中點(diǎn)，求證： AD平分/ BAE.應(yīng)用：1、 （09崇文二模）以 ABC的兩邊AR AC為腰分別向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE ,BADCAE 90 ,連接de M N>別是BG D的中點(diǎn).探究

4、：AIMf DE勺位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.（1）如圖 當(dāng) ABC為直角三角形時(shí)，AMf DE勺位置關(guān)系是 , 線段AM DE勺數(shù)量關(guān)系是;（2）將圖中的等腰Rt ABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（0< <90）后，如圖所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變并說(shuō)明理由.二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1、如圖， ABC 中，AB=2AC A葉分 BAC ,且 AD=BD 求證：CDLAC2、如圖，AD)/ BC, EA,EB分別平分/ DAB,/CBA CD過(guò)點(diǎn) E,求證;AB = AD+BC03、如圖，已知在 VABC內(nèi)， BAC 60 , C40°,P,Q分別在BC,CA上，并且AP,BQ分另

5、U是BAC ,ABC 的角平分線。求證： BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形 ABCD43, BC> BA,AD= CD, BD 平分 ABC,求證： A C 18005、如圖在 ABC中，AB>AC, /1 = /2, P 為 AD上任意一點(diǎn)，求證；AB-AC> PB-PC應(yīng)用：三、平移變換例1 AD為 ABC的角平分線，直線 MNL AD為MNk一點(diǎn)， ABC周長(zhǎng)記為PA , EBC周長(zhǎng)記為PB .求證PBA.例2如圖，在 ABC的邊上取兩點(diǎn) D E,且BD=CE求證：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在 ABC中，/ B=60

6、76; , ABC的角平分線 AD,CE相交于點(diǎn) O,求證：OE=OD2、如圖， ABC中，AD平分/ BAC DGL BC且平分 BC； DEI AB于 E, DFL AC于 F.(1)說(shuō)明BE=CF的理由；(2)如果 AB=a , AC=b ,求AE BE的長(zhǎng).應(yīng)用：1、如圖，OP是/ MON勺平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)(1)(2)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：如圖，在 ABC中，/ AC蝠直角，/ B=60° , AD CE分別是/ BAC / BCA勺平分線，AD CE相交 于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出 FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系

7、；如圖，在 ABO43,如果/ ACM是直角，而（1）中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在 （1）中所得結(jié)論是否 仍然成立若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。五、旋轉(zhuǎn)例1正方形ABC邛，E為BC上的一點(diǎn),F為CD上的一點(diǎn),BE+DF=EF 求 / EAF的度數(shù).例2 D為等腰Rt ABC斜邊AB的中點(diǎn),(1)(2)當(dāng) MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),DML DN,DM,DNHJ交 BC,CA于點(diǎn) E,F。求證DE=DF若AB=2,求四邊形DECF勺面積。例3如圖， ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形， 角，使其兩邊分別交 AB于點(diǎn)M交AC于點(diǎn)BDC是等腰三角形，且 BDC 120°, N,連接MN則 AMN

8、的周長(zhǎng)為以D為頂點(diǎn)做一個(gè)600應(yīng)用：1、已知四邊形ABCD中，AB AD, BCCD , AB BCB點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 AD, DC （或它們的延長(zhǎng)線）于當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)（如圖1）,易證AE/ABC 120°, / MBN 60°, / MBN 繞E, F .CF EF .明；若不成立，線段 AE, CFCF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立若成立，請(qǐng)給予證 EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.2、(西城09年一模)已知：PA=V2,PB=4,以AB為一邊作正方形 ABCD使P、D兩點(diǎn)落在直線 AB的兩

9、側(cè).(1)如圖，當(dāng)/ APB=45時(shí)，求AB及PD的長(zhǎng)；(2)當(dāng)/ APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)/ APB的大小.3、在等邊 ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N, D為VABC外一點(diǎn)，且MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC.探究：當(dāng)M N分別在直線AR AC上移動(dòng)時(shí)，BM NG MN間的數(shù)量關(guān) 系及 AMN的周長(zhǎng)Q與等邊 ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系.圖1圖2圖3(I)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M N邊AR AC上，且DM=D附,BM NG MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ;此L(II )如圖2,點(diǎn)M N邊AR AC上，且當(dāng)DM DN時(shí)，猜想(I)問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎寫出你的猜

10、想并加 以證明；(III ) 如圖3,當(dāng)M N分別在邊AR CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=X ,則Q= (用X、L表示).參考答案與提示、倍長(zhǎng)中線(線段)造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中，AB=5, AC=3,則中線AD的取值范圍是 解：延長(zhǎng) AD至E使AE= 2AD,連BE由三角形性質(zhì)知AB-BE <2AD<AB+BE 故 AD的取值范圍是 1<AD<4例2、如圖， ABC中，E、F分別在 AR AC上，DE± DF, D是中點(diǎn)，試比較 BE+CFW EF的大小.解：（倍長(zhǎng)中線，等腰三角形“三線合一”法 ）延長(zhǎng)FD至G使FG= 2EF,連BG E

11、G,顯然BG= FC,在4EFG中，注意到DEX DF,由等腰三角形的三線合一知EG= EF在 BEG中，由三角形性質(zhì)知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如圖， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中點(diǎn)，求證： AD平分/ BAE.解：延長(zhǎng) AE至G使AG= 2AE,連BG DG,顯然 DG= AC,/GDCW ACD由于 DC=AC故 / ADChDAC在 AD端 ADG 中，BD = AC=DG AD= AD,/ ADB=/ ADC吆 ACDW ADC它 GDC= / ADG ADE MDG 故有/ BADh DAG 即 AD平分/ BAE應(yīng)用:1、1、（09崇文二模）

12、以 ABC的兩邊AR AC為腰分別向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE,BAD CAE 90 ,連接DE M N>別是BG D的中點(diǎn).探究：AW DE勺位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.（1）如圖 當(dāng) ABC為直角三角形時(shí)，AMWDE勺位置關(guān)系是 , 線段AMKDE勺數(shù)量關(guān)系是;（2）將圖中的等腰Rt ABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（0< <90）后，如圖所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變并說(shuō)明理由.解：(1) AML DE, AM=DE(2)結(jié)論仍然成立，證明：如圖，延長(zhǎng) CA至F,使FA=AC FA交DE于點(diǎn)巳連接BF, . DAI BA, EA! AF,/ BAF=90&#

13、176; +/ DAF4 EAR在 18與4 EAD中：FA=AE / BAF± EAD BA=DAAFAB EAD (SAS , .BF=DE /F=/AEP / FPD+/ F=Z APE吆 AEP=90 , FBI DE,又 CA=AF CM=MB .AM/ FB且 AM=FB .AML DE, AM=DE二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1、如圖， ABC 中，AB=2AC A葉分 BAC ,且 AD=BD 求證：CD!AC解：（截長(zhǎng)法）在 AB上取中點(diǎn)F,連FD ADB是等腰三角形，F(xiàn)是底AB中點(diǎn)，由三線合一知DF± AB,故 / AFD= 90° ADH ADC （SAS/

14、ACD= /AFD= 90° 即：CDL AC2、如圖，AD/ BC, EA,EB分別平分/ DAB,/CBA CD過(guò)點(diǎn) E,求證;AB = AD+BC解：(截長(zhǎng)法)在 AB上取點(diǎn)F,使AF= AD,連FE AD段 AFE (SAS/ ADE= / AFE,/ ADE+Z BCE= 180°Z AFE+Z BFE= 180°故/ ECB= / EFB FBE ACBE (AAS故有BF= BC從而;AB = AD+BC0nBAC,3、如圖，已知在 ABC內(nèi)， BAC 60 , C 400 , P, Q分別在BC, CA上，并且AP, BM別是ABC的角平分線。求證

15、：BQ+AQ=AB+BP解：(補(bǔ)短法，計(jì)算數(shù)值法)延長(zhǎng) AB至D,使BD= BP,連DP在等月BPD中，可得/ BDP= 40°從而/ BDP= 40° =Z ACP AD咤 ACP (ASA故 AD= AC又/ QBC= 40° =Z QCB 故 BQ=QCBD= BP從而 BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形 ABCD43, BO BA,AA CD, BD平分 ABC ,求證： A C 1800解：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng) BA至F,使BF= BC,連FD BDH BDC （SAS故 / DFB= / DCB , FD= DC又 AD- CD故在等腰 BFD中/ D

16、FB= / DAF故有/ BAD吆 BCD- 180°5、如圖在 ABC中，AB>AC, /1 = /2, P 為 AD上任意一點(diǎn)，求證；AB-AC> PB-PC解：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng) AC至F,使AF= AB,連PD AB國(guó) AFP （SAS故 BP= PF由三角形性質(zhì)知PB- PC= PF- PC < CF = AF- AC= AB- AC應(yīng)用：三、平移變換例1 AD為 ABC的角平分線，直線 MNL AD為MNk一點(diǎn)， ABC周長(zhǎng)記為PA , EBC周長(zhǎng)記為PB .求證PB > Pa.解：（鏡面反射法）延長(zhǎng) BA至F,使AF= AC連FE人口為 ABC的角平

17、分線，MN，AD知 / FAE= / CAE故有 FAEACAE （SAS故 EF= CE在 BEF 中有：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC從而 Pb=BE+CE+BC>BF+BC=BA+ACPBC=例2如圖，在 ABC的邊上取兩點(diǎn) D E,且BD=CE求證：AB+AC>AD+AE.證明：取BC中點(diǎn)M,連AM并延長(zhǎng)至N,使MN=AMg BN,DN. BD=CE, .DM=EM, .DM 陣 AEMA（SAS）, .DN=AE,同理BN=CA.延長(zhǎng) NDX AB于 P,WJ BN+BP>PN,DP+PA>AD,相力口得 BN+BP+DP+PA>PN+A

18、D,各減去 DP得 BN+AB>DN+AD, .AB+AC>AD+AE四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在 ABC中，/ B=60° , ABC的角平分線 AD,CE相交于點(diǎn) 0,求證：OE=OD DC+AE =AC證明(角平分線在三種添輔助線，計(jì)算數(shù)值法)/ B=60度，WJ/ BAC廿 BCA=120g;AD,CE均為角平分線，則 / 0AC+ 0CA=6(g=/ AOEW COD;ZA0C=12(g.在AC上截取線段AF=AE連接OF.又 AO=AOZ OAEW OAF .WJ/OA竄 A OAF(SAS),OE=OF;AE=AF;/AOF"OE=60g

19、.則 / COF= AOC/ AOF=6Cg=/ COD;又 co=co;ocd=ocf.故，OC摯 A OCF(SAS), OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如圖， ABC中，AD平分/ BAC DGL BC且平分 BC； DEI AB于 E, DFL AC于 F.(1)說(shuō)明BE=CF的理由；(2)如果 AB=a , AC力，求AE BE的長(zhǎng).解：(垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端)連接BQ DCDG垂直平分BC,故BD= DC由于 AD平分/ BAC DEXABT E, DF±AC于F,故有ED= DF故 RTA DBE RTA DFC (HD故有BE=

20、CEAB+AC= 2AEAE= ( a+b) /2BE=(a-b)/2應(yīng)用：1、如圖，OP是/ MON1平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以0P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：(1)如圖，在 ABC中，/ AC加直角，/ B=60° , AD CE分別是/ BAC / BCA勺平分線，AD CE相交 于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出 FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，在 ABO43,如果/ ACM是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在 (1)中所得結(jié)論是否 仍然成立若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。五、旋轉(zhuǎn)例1正方形 ABC邛，E為BC上的一

21、點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF求/ EAF的度數(shù).證明：將三角形ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形ABGWJ GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE AF=AG所以三角形AEF全等于AEG所以/ EAF之 GAEW BAEV GAB= BAE它 DAF又 / EAFV BAE它 DAF=90所以/ EAF=45度例2 D為等腰Rt ABC斜邊AB的中點(diǎn)，DML DN,DM,DNiJ交BC,CA于點(diǎn)E,F。(1)當(dāng) MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證 DE=DF(2)若AB=2,求四邊形DECF的面積。解：(計(jì)算數(shù)值法)(1)連接DCD為等腰Rt ABC斜邊AB的中點(diǎn)，故有 CDL

22、AB, CD= DACD平分/BCA= 90° , / ECD= / DCA= 45°由于 DML DN 有/ EDN= 90°由于 CDAB,有/ CDA= 90°從而/ CDE= / FDA=故有 CD陵 ADI3 (ASA)故有DE=DF(2) Sa abc=2, S 四 DEC= S AC=1例3如圖， ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，BDC是等腰三角形，且 BDC 1200 ,以D為頂點(diǎn)做一個(gè)600角，使其兩邊分別交 AB于點(diǎn)M交AC于點(diǎn)N,連接MN則 AMN的周長(zhǎng)為;解：(圖形補(bǔ)全法，“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”，計(jì)算數(shù)值法)AC的延長(zhǎng)線與BD的延長(zhǎng)

23、線交于點(diǎn)F,在線段CF上取點(diǎn)E,使CE= BM.ABC為等邊三角形， BCD為等腰三角形，且/ BDC=120 , / MBDW MBC廿 DBC=60 +30° =90° ,/DCE=180 - ZACD=180 - Z ABD=90 , 又 BM=CE BD=CD . CD® BDM / CDEh BDM DE=DM/NDE=Z NDC廿 CDEW NDC廿 BDMW BDC-Z MDN=120 -60° =60° , .在 DMNF 口 DEN 中，DM=DE/ MDN= EDN=60DN=DN . DMN DENMN=NE在 DMAF口 DEF 中,DM=DE/MDA=0°- ZMDB=0