時課題：向量內積的坐標運算與距離公式

1、第2-3課時 課 題：向量內積的坐標運算與距離公式教學目標：要求學生掌握平面向量內積的坐標公式（2）要求學生掌握平面向量長度的坐標公式掌握向量垂直的坐標表示的充要條件，及平面內兩點間的距離公式能用所學知識解決有關簡單問題 .教學重點：平面向量內積的坐標公式教學難點：平面向量內積的應用（平面向量內積的坐標公式的簡單運用）教學過程：一、復習引入:1. 兩個非零向量夾角的概念已知非零向量a與b，作OA = a , OB = b，則Z AOB = 9 （o< 9 < n ） 叫 a與b的夾角2. 平面向量內積的定義：已知兩個非零向量 a與b ,它們的夾角是9 ,則數(shù)量| a | b |co

2、s二叫a與b的數(shù)量積，記作 a b，即有a b = | a | b |cos二,（0< 9 < n ）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.3向量的內積的幾何意義：內積a b等于a的長度與b在a方向上投影| b |cos二的乘積.4.兩個向量的內積的性質：設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.1e a = a e =| a |cosv；2 a _b ：= a b = 03當a與b同向時，a b=I a | b | ;當a與b反向時，a b = -|a | b |.特別 2 的 a a = | a| 或| a I= a aa b- -_4 cos 71 =; 5 I a b I

3、 < | a II b |a|b|5平面向量內積的運算律交換律：a b = b a數(shù)乘結合律：（，a）b =，（ a b ） = a（ b ）分配律：（a + b ） c = a c + b c、講解新課:1. 平面兩向量內積的坐標公式已知兩個非零向量 a = (a1,a2), b =(b|,b2)，試用a和b的坐標表示a b .設i是x軸上的單位向量，j是y軸上的單位向量，那么a,i a2j，b1i b2j所以 a b = (a1i a2 j)(b1i b2 ja1b1i2 a1b2i j b1a2i j a2b2 j2又 i i = 1， j j = 1， i j = j i = 0

4、，所以 a b = a1b a2b2這就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和.即a b = ad a2b22. 平面內兩點間的距離公式- 2 2 2 2 2(1) 設 a = (a1 ,a2)，貝U | a |= a1a2 或 |a |二 a1a?.(2) 如果 A(x1，yJ、B(X2,y2)，那么 dA,B=| AB |二打&1 - X2)2 厲-y2)2 (平面內兩點 間的距離公式)3. 向量垂直的判定設a =(&1, a?) , b (b|,b?)，則 a 丄 ba1 b<i*a? b?= 04. 兩向量夾角的余弦(0 _二_：)cos Tl =a b

5、|a| |b|x 1 x 2y22 2.2 2X1y1x 2目 2三：講解范例：例 1.已知 a = (3, -1 ) , b = (1, -2 ).求 a b , | a | , | b |,< a , b >.解： a b =3x 1+(-1) x (-2)= 5 |a|= . a2a；=. 32(-1)2=、10|b |= .b；b；=.12(-2)2=、.5- a b542t co s< a , b > =|a | |b | J10 J52-, 0二 < a, b >=45例2.已知A,B兩點的直角坐標分別是 A(-2 , 5),耳3 , -4)，求

6、dw解：dA,B=7B =J3_(-2)P + (_4_5f = J25 + 81 =7106例3.已知 ABC的三頂點坐標分別為 A（2 , -1） , B（4 , 1） , C（6 , -3），證明 ABC是等腰 三角形（本例引導學生根據兩點間距離公式計算各邊長度，比較后得出結論）證明：|AB = . （4 一2）2 1 一 一1 I2 4 4=2,2岡=v（4）（-lf = J4+16 = 245|ac = ： （6 -2）2 -3壬1 F =如16 4 = 2、5因此 BC = AC,從而 ABC是等腰三角形.例 4.已知：點 A（ 1，2），B（2，3），C（-2，5）.求證：AB

7、_ AC .證明：/ AB= （2，3）（ 1，2） = （1，1）AC = （-2， 5） - （1， 2） = （-3， 3）又 AB AC= （1，1 ）（ -3，3） =0 AB _ AC四、課堂練習1.已知 a =（3 ，-1），b = （1，2），求滿足x a = 9與x b = -4的向量x.解：設x = （ t，S），3t -s=9t 2s = -4s - -3- x = （2，-3）2.已知a =（1，v 3）， b =（ x/3 +1，貝U a與b的夾角是多少？分析：為求a與b夾角，需先求a b及Ia I !b丨，再結合夾角0的范圍確定其值.解：由a =（1，.3 （ , 3 1）=4，|=2，| b I=22.記a與b的夾角為則cosJT4評述：已知三角形函數(shù)值求角時，應注重角的范圍的確定3.右 a =（-4 ，3），b=（5，6），貝y 3| a | 4 a b =A.23B.57C.63D.834.已知 A（1，2），B（2，3），C（-2，5），則 ABC（）A.直角三角形B銳角三角形C.鈍角三角形D.不等邊三角形5. a=(2 , 3), b =(-2 , 4)，則(a +b ) ( a - b )=.6. 已知 A(1 , 0) , B(3 , 1) , C(