考研數(shù)學(xué)春季基礎(chǔ)班高數(shù)下講義鐵軍大連

1、2011年萬學(xué)海文高等數(shù)學(xué)春季基礎(chǔ)班考研輔導(dǎo)講義 主講 鐵軍 教授鐵軍教授簡介：著名考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)專家，近幾年在全國各大城市聲名鵲起，成為與王式安、趙達(dá)夫齊名的考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)“三駕馬車”之一。鐵軍教授從事考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)工作以來，以其高屋建瓴、大氣磅礴、睿智幽默的風(fēng)格，對(duì)考點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)全面、深刻、透徹的把握，關(guān)愛學(xué)生、高度負(fù)責(zé)的態(tài)度以及對(duì)考題的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)，令考生受益無窮。特別是鐵軍老師的數(shù)學(xué)全程保過班，更是以無與倫比的連續(xù)性、系統(tǒng)性和考生的數(shù)學(xué)成績大面積高分而受到廣大莘莘學(xué)子的愛戴！2011年，考研競(jìng)爭(zhēng)空前激烈！萬學(xué)海文邀請(qǐng)鐵軍教授親臨面授，為您考研成功保駕護(hù)航。您的理想將在您我的共同努力下實(shí)現(xiàn)。這是

2、我們的信心，也將是您的信心！ 第六章 多元函數(shù)微積分學(xué)（上）本章將復(fù)習(xí)多元函數(shù)微積分學(xué)中數(shù)學(xué)一、二、三共同要求的內(nèi)容，有利于大家的復(fù)習(xí)和把握。同時(shí)分散了數(shù)學(xué)一的難點(diǎn)，復(fù)習(xí)條理更加清晰。第一節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)是一元函數(shù)微分學(xué)的推廣與發(fā)展。復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，要對(duì)二者加以比較，既要注意一元函數(shù)與多元函數(shù)在基本概念、理論和方法上的共同點(diǎn)，更要注意它們之間的區(qū)別?！敬缶V內(nèi)容】多元函數(shù)的概念；二元函數(shù)的幾何意義；二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念；有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分；全微分存在的必要條件和充分條件；多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法；二階偏導(dǎo)數(shù)；多元函數(shù)極值和條件的概念

3、；多元函數(shù)極值的必要條件；二元函數(shù)極值的充分條件；極值的求法；拉格朗日乘數(shù)法；多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用。 數(shù)學(xué)一要求了解二元函數(shù)的二階泰勒公式，而數(shù)學(xué)二、三、四不要求。【大綱要求】要理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義；了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念。在方法上，要掌握復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法；會(huì)求全微分；會(huì)求隱函（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)；了解二元函數(shù)的二階泰勒公式（數(shù)學(xué)二、三、四不要求）。在應(yīng)用方面，理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，解決一些簡單的最大最小值應(yīng)

4、用問題?！究键c(diǎn)分析】應(yīng)用鏈鎖規(guī)則求多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)問題，是考試的一個(gè)重點(diǎn)。另一個(gè)考試重點(diǎn)是求多元函數(shù)的條件極值和無條件極值。一、多元函數(shù)微分學(xué)的基本概念及其關(guān)系定義1 設(shè)二元函數(shù)的某心鄰域內(nèi)有定義，如果動(dòng)點(diǎn)(x,y)以任何方式無限趨于點(diǎn)總是無限趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)時(shí)，。定義2 如果連續(xù)。如果在區(qū)域D上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱在區(qū)域D上連續(xù)。定理1 最大值和最小值定理 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值。定理2 介值定理 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，可以取到它在D上的最小值與最大值之間的任何值。定義3 偏導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果極限存在，則稱此極限為

5、函數(shù)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記作即 .類似地，函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義為 .定義4 如果二元函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D的每一點(diǎn)(x,y)處都有偏導(dǎo)數(shù)，一般地說，它們?nèi)允莤,y的函數(shù)，稱為f(x,y)的偏導(dǎo)函數(shù)，簡稱偏導(dǎo)數(shù)，記為定義5 高階偏導(dǎo)數(shù) 如果二元函數(shù) 仍然具有偏導(dǎo)數(shù)，則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，記作其中稱為混合偏導(dǎo)數(shù)，類似地可以定義三階、四階以及n階偏導(dǎo)數(shù)。定理3 如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)都在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在D內(nèi)，即二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求偏導(dǎo)的先后次序無關(guān)。定義6 全微分 設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)f(x,y)的全增量可以表示為

6、，其中A，B不依賴于，而僅與x,y有關(guān)，則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，稱為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)（x,y）處的全微分，記作定理4 若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，則必在(x,y)處連續(xù)。定理5 可微的必要條件 如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，則該函數(shù)在點(diǎn)(x,y)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且。又對(duì)于自變量x,y有定理6 可微的充分條件 如果函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù) 連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微。偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：設(shè)有二元函數(shù)在幾何上分別表示曲線的切線對(duì)x軸和對(duì)y軸的斜率?！究键c(diǎn)一】（1）求二元函數(shù)的極限值時(shí)，一般應(yīng)用兩邊夾定理或化為一元函數(shù)的極限進(jìn)行求解。 （

7、2）當(dāng)點(diǎn)沿著不同的路徑趨于點(diǎn)時(shí)，若函數(shù)的極限值不同，則二重極限 不存在。【例1】求下列二重極限：（1） （2）（3）【考點(diǎn)二】多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在與可微之間的關(guān)系： 可微偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)存在. 可微連續(xù)，但連續(xù)，連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在。若一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則可微。【例2】考慮二元函數(shù)的下面4條性質(zhì)：的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在。若用“”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)，則有（ ）（A） （B）（C） （D）【例3】二元函數(shù)存在，是在該點(diǎn)連續(xù)的（ ）（A）充分條件而非必要條件。（B）必要條件而非充分條件。（C）充分必要條件。（D）既非充分條件又非必要條件。二、多元函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則1若處偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)z=f(

8、u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)處偏導(dǎo)數(shù)存在，且2設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，都可導(dǎo)，則，這里稱為z對(duì)t的全導(dǎo)數(shù)。3設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在，則.【考點(diǎn)三】1. 求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需將中的非視為常數(shù)，利用一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可，類似地可求出表示先對(duì)求偏導(dǎo)，然后再對(duì)求偏導(dǎo)，其余類推。 2求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，主要把握三點(diǎn)：（1） 關(guān)鍵問題是弄清復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，分清中間變量與自變量。（2）避免丟項(xiàng)。一般地，函數(shù)有幾個(gè)自變量就求幾個(gè)偏導(dǎo)數(shù)；函數(shù)有幾個(gè)中間變量，偏導(dǎo)數(shù)公式中就有幾項(xiàng)的和；函數(shù)有幾重復(fù)合，偏導(dǎo)數(shù)公式中就有幾項(xiàng)因子的乘積。（3） 對(duì)于求抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。首先必須設(shè)出中

9、間變量，構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，再利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)?！纠?】設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求?！纠?】設(shè)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求【例6】設(shè)，求.【考點(diǎn)四】隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1設(shè)函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，則方程在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)恒能惟一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，并有 .2由方程組確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)方程組，上式兩邊分別對(duì)x求偏導(dǎo)，注意到u和v是x及y的函數(shù)，有當(dāng)時(shí)，從上式中可解出。同理，原方程兩端對(duì)y求偏導(dǎo)，可求出【評(píng)注】計(jì)算由方程組所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)該使用直接法，其關(guān)鍵是事先要明確哪些變量是自變量，哪些變量是因變量，這應(yīng)根據(jù)具體問題來判定。例如求，可判

10、定是因變量，一般地，在一定條件下，對(duì)于有個(gè)方程、個(gè)自變量的方程組來說，有個(gè)因變量，有-個(gè)自變量。然后依次對(duì)所給方程的兩端關(guān)于求偏導(dǎo)，得到一個(gè)線性方程組，再解出所求（偏）導(dǎo)數(shù)即可?！纠?】設(shè)有三元方程，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(diǎn)(0,1,1)的一個(gè)鄰域，在此鄰域內(nèi)該方程(A) 只能確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)z=z(x,y). (B) 可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)y=y(x,z)和z=z(x,y). (D) 可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z). 【例8】設(shè)，其中是由方程確定的隱函數(shù)

11、，則.【例9】設(shè)函數(shù)，方程確定是的函數(shù)，其中可微；連續(xù)，且，求?！究键c(diǎn)五】計(jì)算全微分的方法：（1） 先求和，然后代入公式：。（2） 對(duì)已知函數(shù)或方程取微分，根據(jù)微分形式的不變性，直到計(jì)算出和上為止，再解出即可?！纠?0】設(shè)，求與 .二、多元函數(shù)的極值與最值 定義1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某實(shí)心鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)該鄰域內(nèi)異于的任意點(diǎn)，總有（或）成立，則稱是函數(shù)在點(diǎn)處取得的極大值（或極小值），并取點(diǎn)為的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值；極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。定義2 方程組的解，稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。定理1（極值存在的必要條件） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù)存在，且為的極值點(diǎn)，則有 .定理2（

12、極值存在的充分條件） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的某實(shí)心鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且。若，則點(diǎn)是的一個(gè)極值點(diǎn)。 （1）若（或），則為極大值； （2）若（或），則 為極大值； （3）若，則不是極值?！究键c(diǎn)六】在函數(shù)的定義域D上求極值，這是無條件極值。求多元函數(shù)無條件極值的程序是： （1） 求函數(shù)的駐點(diǎn)（可能極值點(diǎn)），即求解方程組 的一切實(shí)數(shù)解（或偏導(dǎo)數(shù)不存的點(diǎn)），即得函數(shù)的可有極值點(diǎn)。 （2）利用極值存在的充分條件判定所求駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。（3）求出極值。 【評(píng)注】 駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)。【例11】求函數(shù)的極值?！纠?2】證明函數(shù)有無窮多個(gè)極大值，而沒有任何極小值?！究键c(diǎn)七】1.

13、 求函數(shù)，在約束條件下的極值問題，稱為條件極值問題。求解條件極值的一般方法有兩種。一是利用所組的約束條件把條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題；一是拉格朗日乘數(shù)法。【拉格朗日乘數(shù)法】 其步驟是： （1）作輔助函數(shù)（稱為拉朗日函數(shù)），其中為待定常數(shù)（稱為拉格朗日乘數(shù)）；（2）求解方程組得可能極值點(diǎn)；（3） 判定在可能極值點(diǎn)處是否取得極值。（對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問題，由實(shí)際確定，一般免去了這一步驟）。2二元函數(shù)的最大值與最小值：有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的駐點(diǎn)、偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)及其邊界點(diǎn)上取得最大值與最小值?！纠?3】求函數(shù)在條件及下的極值?！纠?4】求二元函數(shù)在由直線、軸和軸所圍成的閉區(qū)域D上的極值

14、、最大值與最小值。第二節(jié) 二重積分【大綱內(nèi)容與要求】理解二重積分的概念、幾何意義與基本性質(zhì)，了解二重積分的中值定理，掌握在直角坐標(biāo)系下與極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算。會(huì)計(jì)算簡單的無界區(qū)域上的二重積分?！究键c(diǎn)分析】本節(jié)考點(diǎn)的核心是二重積分的計(jì)算，要熟練掌握。二重積分計(jì)算的關(guān)鍵是化二重積分為二（累）次積分.【考點(diǎn)八】在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的公式：【型區(qū)域】若，則.【型區(qū)域】若，則.【例1】計(jì)算二重積分其中D是由雙曲線及直線所圍成的平面區(qū)域?！纠?】設(shè)連續(xù)，且，其中是由所圍區(qū)域，則等于（ ）（A）（B）（C）（D）【例3】設(shè) ，求，其中。【考點(diǎn)九】如果在二重積分的被積函數(shù)中含有絕對(duì)值，則先令絕對(duì)值中

15、的函數(shù)為零，將積分區(qū)域分割，再利用二重積分的可加性進(jìn)行計(jì)算。 【例4】計(jì)算，其中【例5】計(jì)算二重積分，其中.【例6】計(jì)算二重積分【考點(diǎn)十】當(dāng)積分區(qū)域D為圓域、環(huán)域或圓域的某部分。被積函數(shù)為等形式時(shí)，選用極坐標(biāo)較為方便。在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的公式：【極點(diǎn)在區(qū)域D內(nèi)】，【極點(diǎn)在區(qū)域D外】，.【極點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上】，.【例7】設(shè)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，。（1）證明：（2）求（3）【例8】計(jì)算二重積分其中積分區(qū)域D=【例9】設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且滿足方程, 求?！究键c(diǎn)十一】計(jì)算無界區(qū)域上簡單的二重積分的方法：根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的情況，選用直角坐標(biāo)或極坐標(biāo)化成二次積分進(jìn)行計(jì)算。無界區(qū)域上簡單的二重積分

16、按無界區(qū)域分類，常見的有三類： （1），則. （2），則.（3）記為圓與無界區(qū)域的交集，則 ，在用極坐標(biāo)計(jì)算.【例10】計(jì)算二重積分，其中是曲線和在第一象限所圍成的區(qū)域?！纠?1】化為極坐標(biāo)下的二次積分，則.【考點(diǎn)十二】利用區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算二重積分：（1） 若D關(guān)于y軸對(duì)稱，則 ，其中（2）若D關(guān)于y軸對(duì)稱，則 ，其中（3）若D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則其中D1為D的右半平面或上半平面部分。（4）若D關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則，其中D分成兩部分，D1和D2分別為D在y=x的上方與下方部分。（5）如果被積函數(shù)，積分區(qū)域關(guān)于變量x,y具有輪換對(duì)稱性（即x換成y，y換成x ，其表達(dá)式均不變）

17、，則.【例12】設(shè)D是xoy面上以（1，1），和為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，D1是D在第一有限的部分，則.（A）（B）（C）（D）0【例13】設(shè)區(qū)域，f(x)為D上的正值連續(xù)函數(shù)，a,b為常數(shù)，則（ ）(A) . (B) . (C) . (D) . 【例14】求二重積分的值，其中是由直線及圍成的平面區(qū)域。【考點(diǎn)十三】交換積分次序的程序是： （1）由二次積分推出積分區(qū)域由哪些曲線圍成； （2）畫出積分區(qū)域的草圖； （3）由積分區(qū)域的圖形按新的積分次序?qū)懗龆畏e分.【例15】交換積分次序 .【例16】計(jì)算【例17】設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2).

18、(D) 0. 第七章 微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用【大綱內(nèi)容與要求】了解導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義（含邊際與彈性的概念），會(huì)用定積分求簡單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題?！究键c(diǎn)分析】微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用是數(shù)學(xué)三考試的重點(diǎn)?！緩?fù)習(xí)要點(diǎn)】一、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)（1）需求函數(shù) 設(shè)某產(chǎn)品的需求量為x，價(jià)格為p。一般地，需求量x是價(jià)格p的函數(shù)，稱為需求函數(shù)，并且價(jià)格p上升（下降），需求量x下降（上升）。需求函數(shù)的反函數(shù)稱為價(jià)格函數(shù)。也常稱為需求函數(shù)。（2）供給函數(shù) 設(shè)某產(chǎn)品的供給量為x，價(jià)格為p。一般地，供給量x是價(jià)格p的函數(shù)，稱為供給函數(shù)，并且價(jià)格上升（下降）供給量上升（下降）。（3）成本函數(shù) 成本生產(chǎn)產(chǎn)品的總投入。它由固定成本（常

19、量）和可變成本兩部分組成，其中x表示產(chǎn)量。即稱為平均成本。記為或，即（4）收益（入）函數(shù) 收益產(chǎn)品售出后所得的收入。它是銷售量x與銷售單價(jià)p之積。即收益函數(shù)為（5）利潤函數(shù) 利潤收益扣除成本后的余額。它由總收益減去總成本組成。即利潤函數(shù)為（其中x為銷售量）二、邊際函數(shù)與邊際分析在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，導(dǎo)函數(shù)稱為邊際函數(shù)。若函數(shù)可導(dǎo)，則稱 為的邊際函數(shù)。稱為在點(diǎn)的邊際值。用邊際函數(shù)來分析經(jīng)濟(jì)量的變化叫邊際分析。令 即 ，取， 得 .于是，邊際值被解釋為：在點(diǎn)，當(dāng)改變一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)近似（實(shí)際問題中，經(jīng)常略去“近似”二字）改變個(gè)單位。的符號(hào)反映出自變量的改變與因變量的改變是同向還是近向。（1）邊際成本 設(shè)總成

20、函數(shù)為（q為產(chǎn)量） 則邊際成本函數(shù)（記為MC）為 .產(chǎn)量為時(shí)的邊際收益表示：當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，產(chǎn)量q改變一個(gè)單位，總成本C（q）將改變個(gè)單位。的符號(hào)反映出產(chǎn)量q的改變與成本C（q）的改變是同向還是反向。 （2）邊際收益 設(shè)總收益函數(shù)為（q為產(chǎn)量）則邊際收益函數(shù)（記為MR）為 .銷售量為時(shí)的邊際收益表示：當(dāng)銷售量為時(shí)，銷售量改變一個(gè)單位，總收益將改變個(gè)單位。的符號(hào)反映出銷售量的改變與總收益R的改變是同向還是反向。 （3）邊際利潤 設(shè)利潤函數(shù)為 （q為產(chǎn)量）則邊際利潤函數(shù)（記為ML）為.銷售量為時(shí)的邊際利潤表示：當(dāng)銷售量為 時(shí)，銷售量改變一個(gè)單位，利潤將改變個(gè)單位，的符號(hào)反映出銷售量的改變與利潤L的改變

21、是同向還是反向?！究键c(diǎn)十四】1. 復(fù)利問題：（1） 假設(shè)本金為，年利率為r，存款期限為t年，t年后的本利和稱為t年后的期末價(jià)值。如按單利計(jì)息，t年后的期末價(jià)值為.如按復(fù)利計(jì)算，t的后的期末價(jià)值為.如按連續(xù)復(fù)利計(jì)息，t年后的期末價(jià)值為。（2） 反問題：t年后a元，其現(xiàn)值即貼現(xiàn)價(jià)值為多少？設(shè)年利率為r，如一年計(jì)算復(fù)利一次，則，故a的貼現(xiàn)價(jià)值。如按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，則2 收支流的貼現(xiàn)價(jià)值：（1） 設(shè)r表示年利率，若按連續(xù)復(fù)利計(jì)息，則在時(shí)間間隔0，T內(nèi)總收入（或支出）的貼現(xiàn)價(jià)值為：（2） 若按復(fù)利計(jì)息（非連續(xù)復(fù)利），則T期總收入的貼現(xiàn)價(jià)值【例1】某酒廠有一批新釀成的酒，若當(dāng)即賣掉（t=0），收入元，若窖藏

22、t年按陳年酒售出，售價(jià)為元。如果窖藏不需支付儲(chǔ)存費(fèi)，問窖藏多少年按現(xiàn)值計(jì)算可使利潤最大（連續(xù)計(jì)息年利息為0.1）【例2】設(shè)一輛轎車，售價(jià)14萬元，現(xiàn)某人分期支付，準(zhǔn)備20年付清，按年利率0.05連續(xù)復(fù)利計(jì)息，問每年應(yīng)支付多少元？【考點(diǎn)十五】經(jīng)濟(jì)問題中出現(xiàn)較多的是最值問題，特別是利潤最大化問題。其解題程序是：首先建立目標(biāo)函數(shù)，然后求導(dǎo)數(shù)，該函數(shù)的極值點(diǎn)往往就是所求的最值點(diǎn)。【例3】假設(shè)某種商品的需求量是單價(jià)（單位：元）的函數(shù)：；商品的總成本是需求量的函數(shù)：，每單位商品需要納稅2元，試求使銷售利潤最大的商品單價(jià)和最大利潤額?！纠?】已知某企業(yè)的總收入函數(shù)為，總成本函數(shù)為，其中表示產(chǎn)品的產(chǎn)量，求利潤

23、函數(shù)，邊際收入函數(shù)，邊際成本函數(shù)，以及企業(yè)獲得最大利潤時(shí)的產(chǎn)量和最大利潤?！纠?】假設(shè)某企業(yè)在兩個(gè)相互分割的市場(chǎng)上出售同一種產(chǎn)品，兩個(gè)市場(chǎng)的需求函數(shù)分別是其中和分別表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場(chǎng)的價(jià)格（單位：萬元/噸），和分別表示該產(chǎn)品在兩上市場(chǎng)的銷售量（即需求量，單位：噸），并且該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本函數(shù)是，其中表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場(chǎng)的銷售總量，即。（1）如果該企業(yè)實(shí)行價(jià)格差別策略，試確定兩個(gè)市場(chǎng)上該產(chǎn)品的銷售量和價(jià)格，使該企業(yè)獲得最大利潤；（2）如果該企業(yè)實(shí)行價(jià)格無差別策略，試確定兩上市場(chǎng)上該產(chǎn)品的銷售量及其統(tǒng)一的價(jià)格，使該企業(yè)的總利潤最大化；并比較兩種價(jià)格策略下的總利潤大小?！究键c(diǎn)十六】彈性函數(shù)

24、與彈性分析：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，把因變量對(duì)自變量變化的的應(yīng)的靈敏度，稱為彈性或彈性系數(shù)。設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，稱為函數(shù)的彈性函數(shù)。稱為函數(shù)在處的（點(diǎn)）彈性。表示在處，當(dāng)自變量x改變1%時(shí)，因變量y將改變。其符號(hào)表示自變量x與因變量y的改變是同向還是反向。用彈性函數(shù)來分析經(jīng)濟(jì)量的變化叫彈性分析 （1）需求的價(jià)格彈性 設(shè)需求函數(shù)為（其中p為價(jià)格，Q 為需求彈性）則 .由于需求函數(shù)單調(diào)遞減，從而。 其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)價(jià)格為p時(shí)，若提價(jià)（降價(jià)）1%，則需求量將減少（增加）。 （2）供給的價(jià)格彈性 設(shè)供給函數(shù)為Q=（p為價(jià)格，Q為供給量），則供給彈性為 .由于供給函數(shù)單調(diào)增加，從而。 其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)價(jià)格為p時(shí)，若提價(jià)（降

25、價(jià)）1%，則供給量將增加（減少）。【例6】設(shè)某商品需求量Q是價(jià)格P的單調(diào)減少函數(shù)：，其需求彈性.（1）設(shè)R為總收益函數(shù)，證明（2）求P=6時(shí)，總收益對(duì)價(jià)格的彈性，并說明其經(jīng)濟(jì)意義?！究键c(diǎn)十七】積分學(xué)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用 ： 總成本函數(shù)，總收益函數(shù)等，統(tǒng)稱總函數(shù)。用微分法對(duì)總函數(shù)求導(dǎo)數(shù)可得邊際成本、邊際收益等；已知邊際成本，邊際收益等邊際函數(shù)，用積分法對(duì)邊際函數(shù)積分可得總成本、總收益等。（1）用不定積分表示總函數(shù) ，用（固定成本）確定積常數(shù)C，則，用定積分常數(shù)C。（2）用定積分表示總函數(shù)（表示固定成本），（3）由個(gè)單位變化到個(gè)單位，總成本的改變量、總收益的改變量分別為 .【例7】設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本

26、為10，而產(chǎn)量為時(shí)的邊際成本函數(shù)為，邊際收入函數(shù)為。試求：（1）總利潤函數(shù)；（2）使總利潤最大的產(chǎn)量。第八章 常微分方程常微分方程是高等數(shù)學(xué)中理論性和應(yīng)用性都較強(qiáng)的一部分，是描述客觀規(guī)律的一種重要方法，是處理物理、力學(xué)、幾何等應(yīng)用問題的一個(gè)重要工具，微分和積分的知識(shí)是研究微分方程的基礎(chǔ)。微分方程作為考試的重點(diǎn)內(nèi)容，每年研究生考試均會(huì)考到。特別是微分方程的應(yīng)用問題，既是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)必須有所突破。【大綱內(nèi)容】常微分方程的基本概念；變量可分離的方程；齊次方程；一階線性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用簡單的變量代換求解的某些微分方程；可降階的高階微分方程；線性微分方

27、程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；二階常系數(shù)齊次線性微分方程；高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程；簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；歐拉（Euler）方程；微分方程的簡單應(yīng)用?！敬缶V要求】要理解微分方程的有關(guān)概念，如階、解、通解、特解、定解條件等，掌握幾類方程的解法：如變量可分離方程，齊次方程，一階線性微分方程，伯努利方程，可降階方程等。理解線性微分方程解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)，掌握求解常系數(shù)齊次線性方程的方法，掌握求解某些自由項(xiàng)的常系數(shù)非齊次線性方程的待定系數(shù)法。了解歐拉方程的概念，會(huì)求簡單的歐拉方程。會(huì)用微分方程處理物理、力學(xué)、幾何中的簡單問題?！究键c(diǎn)分析】本章包括三個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容：1常見的一階、二階微

28、分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判斷方程為哪種類型，并記住解法的推導(dǎo)過程。2微分方程的應(yīng)用問題，這是一個(gè)難點(diǎn)，也是重點(diǎn)。利用微分方程解決實(shí)際問題時(shí)，若是幾何問題，要根據(jù)問題的幾何特性建立微分方程。若是物理問題，要根據(jù)某些物理定律建立微分方程，也有些問題要利用微元法建立微分方程。3數(shù)學(xué)三要求掌握一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法，了解差分與差分方程及其通解與特解等概念，會(huì)用差分方程求解簡單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題。【考點(diǎn)十八】形如的一階微分方程稱為變量可分離微分方程。可分離變量的微分方程的解題程序： 當(dāng)，然后左、右兩端積分上式即為變量可分離微分方程的通解。其中，C為任意常數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，表示函數(shù)

29、的一個(gè)原函數(shù).【例1】若連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系式，則等于（ ）（A）（B）（C）（D）【例2】已知曲線處的切線斜率為則.【例3】一個(gè)半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與半球面面積S成正比，比例常數(shù)。假設(shè)在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，已知半徑為的雪堆在開始融化的3小時(shí)內(nèi)，融化了其體積的，問雪堆全部融化需要多少小時(shí)？【例4】在某一人群中推廣新技術(shù)是通過其中已掌握新技術(shù)的人進(jìn)行的，設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為，在時(shí)刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為，在任意時(shí)刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為（將視為連續(xù)可微變量），其變化率與已掌握新技術(shù)人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比，比例系數(shù)，求?！纠?】設(shè)單位質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)，初速度。已知阻

30、力與速度成正比（比例常數(shù)為1），問t為多少時(shí)此質(zhì)點(diǎn)的速度為？并求到此時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程?！究键c(diǎn)十九】形如的微分方程稱為齊次方程。其解法是固定的：令，則，代入得 .分離變量，得 。兩端積分，得，求出積分后，將換成，即得齊次方程的通解?！纠?】設(shè)函數(shù)在上連續(xù)。若由曲線，直線與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為 試求所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件的解?！纠?】求微分方程的通解.【考點(diǎn)二十】1. 形如的微分方程稱為一階線性非齊次微分方程，其通解公式為： .【評(píng)注】由于一階微分方程的通解只包含一個(gè)任意常數(shù)c,因此通解公式中的積分，只表示其中一個(gè)任意的原函數(shù)，不含任意常數(shù)c

31、。2. 求通解可以套用上述公式，如不套用公式，就用教材中推導(dǎo)公式的方法求解。3. 通解公式的記憶方法：一階線性非齊次微分方程等價(jià)于即兩邊積分得即 【例8】設(shè)為連續(xù)函數(shù)，（1）求初值問題的解，其中是正常數(shù)；（2）若（為常數(shù)）。證明：當(dāng)時(shí)，有【例9】設(shè)F(x)=f(x)g(x), 其中函數(shù)f(x),g(x)在內(nèi)滿足以下條件：，且f(0)=0, (1) 求F(x)所滿足的一階微分方程；(2) 求出F(x)的表達(dá)式.【例10】f (u , v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足.求所滿足的一階微分方程，并求其通解.【例11】設(shè)連續(xù)，求解方程.【例12】過點(diǎn)且滿足關(guān)系式的曲線方程為.【例13】求微分方程，使得由曲線

32、軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小?！究键c(diǎn)二十一】可降階的高階微分方程：1.大綱要求：會(huì)用降階法解下列高階微分方程：；（缺）；（缺）。2方程：直接求次積分，即可求解。3方程：這類方程的特點(diǎn)是不顯含未知函數(shù)。令，則化為關(guān)于的一階微分方程，然后再用解一階微分方程的解法解之。4方程：這類方程的特點(diǎn)是不顯含自變量。令，則 .因而原方程化為關(guān)于的一階微分方程： .【例14】微分方程的通解為_?！纠?5】設(shè)對(duì)任意，曲線上點(diǎn)處的切線在軸上的截距等于，求的一般表達(dá)式?！纠?6】函數(shù)且滿足等式（1）求導(dǎo)數(shù)；（2）證明：當(dāng)【考點(diǎn)二十二】二階常系數(shù)齊次線性微分方程:1標(biāo)準(zhǔn)形式：，均為常數(shù)。2通解公式：特

33、征方程為；若特征方程有互異實(shí)根，則通解為；若特征方程有相等實(shí)根，則通解為；若特征根為共軛復(fù)根（為常數(shù)，），則通解為【例17】求下列微分方程的特解：，當(dāng)時(shí)，?！纠?8】設(shè)（為任意常數(shù)）為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為_。【考點(diǎn)二十三】二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：1大綱要求：會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式，指數(shù)、函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。2二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式是：，其中為常數(shù)，若特解為，對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解為，則原方程的通解為。3求二階線性常系數(shù)非齊次微分方程的待定系數(shù)法：設(shè)，其中是次多項(xiàng)式，設(shè)特解，其中也是次多項(xiàng)式，當(dāng)不

34、是的單特征根時(shí)，；當(dāng)是的重特征根時(shí)，再設(shè)，將代入微分方程，兩端比較同次冪系數(shù)，就可求出符定系數(shù)。設(shè)其特解為其中，而按 （或）不是特征方程的根據(jù)或是特征方程的單根依次取0或1。4求二階線性常系數(shù)非齊次微分方程的常數(shù)變易法：設(shè)，且對(duì)應(yīng)齊欠微分方程的通解為，其中為任意常數(shù)。將換成函數(shù)，保持不變，即令是的通解，其中是待定系數(shù)。函數(shù)的求法如下：先求方程組解出與，再積分就可得出與代入得就是原方程的通解?！纠?9】設(shè)函數(shù)滿足，且，求【例20】求微分方程的通解?！纠?1】設(shè)函數(shù)滿足微分方程，且其圖形在點(diǎn)處的切線與曲線在該點(diǎn)的切線重合，求函數(shù)?！究键c(diǎn)二十四】（只數(shù)學(xué)一要求掌握） 1伯努利（Bernoulli）方

35、程（1）概念 形如的一階微分方程稱為伯努利方程，當(dāng)n=0時(shí)，是一階線性非齊次微分方程；當(dāng)n=1時(shí)，是一階線性齊次微分方程。（2）解法 當(dāng)時(shí)，引進(jìn)新的未知函數(shù)則伯努利方程變?yōu)檫@是關(guān)于未知函數(shù)的一個(gè)一階線性微分方程，然后用一階線性微分方程的解法解之，解出后，再用代回，即可得伯努利方程的通解。2. 全微分方程若存在可微函數(shù)則稱一階微分方程為全微分方程。是全微分方程的通解，其中C是任意常數(shù)。一般地，當(dāng)就是全微分方程，這時(shí)，只要求出了全微分式的一個(gè)原函數(shù)也就得到了此方程的通解。而利用對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，可求出3. 歐拉(Euler)方程形如的微分方程稱為n階歐拉方程，其中是常數(shù)。作變換因此歐拉方程變?yōu)檫@是

36、一個(gè)以t為自變量，y為未知函數(shù)的n階線性常系數(shù)微分方程，然后再用解n階線性常系數(shù)微分方程的解法解之?！纠?2】解方程?！纠?3】設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且為一全微分方程，求及此全微分方程的通解?！究键c(diǎn)二十五】差分方程數(shù)學(xué)三要求掌握一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法，了解差分與差分方程及其通解與特解等概念，會(huì)用差分方程求解簡單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題?？紤]到很多理工類學(xué)生跨專業(yè)考數(shù)學(xué)三，這里一并列出。1 謂“差分”：假設(shè)函數(shù)經(jīng)過定義域上的點(diǎn)，那么便為兩點(diǎn)的差分（嚴(yán)格說是一階差分）?？梢钥闯?，差分的極限便是的導(dǎo)數(shù)。若對(duì)再求差分，則稱為二階差分。其實(shí)差分的概念被廣泛運(yùn)用：Lagrange中值定理所描述的就是函數(shù)在一

37、個(gè)區(qū)間上的差分等于這區(qū)間中的一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；對(duì)于等差數(shù)列，就是數(shù)列的公差；對(duì)于某些商品，差分就是單價(jià)。牛頓的成功乃是因?yàn)樗麆?chuàng)立了微積分將差分變?yōu)榱藢?dǎo)數(shù)！2 函數(shù) 函數(shù)在t時(shí)刻的一階差分定義為： 。3. 形如的差分方程稱為一階常系數(shù)線性差分方程，其中為已知函數(shù)，a為非零常數(shù)。則對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為： 。（1）若 ，且，則原方程的特解為：為待定系數(shù)； 若，則 。（2） 若，則當(dāng)時(shí)，原方程的特解為：；當(dāng)a+d=0時(shí) ，則 ?！纠?4】差分方程的通解為?！纠?5】差分方程的通解為。第九章 無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，是一種研究和表示函數(shù)的重要方法，是數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三的考試重點(diǎn)。第一節(jié) 常

38、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)【大綱內(nèi)容】常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念；收斂級(jí)數(shù)的和的概念；級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件；幾何級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)以及它們的收斂性；正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、比值審斂法、根值審斂法；交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理；任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂.【大綱要求】1. 了解級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級(jí)數(shù)的和的概念. 2掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及級(jí)數(shù)收斂的必要條件.掌握幾何級(jí)數(shù)及p級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件.掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法. 3了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系.掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法.【考點(diǎn)分析】常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的考研題型主要是選擇題和證明題，其中選

39、擇題的解答需綜合應(yīng)用常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的知識(shí)，而證明題的難度一般較大?！緩?fù)習(xí)要點(diǎn)】一、無窮級(jí)數(shù)的概念定義1. 已知數(shù)列：，那么表達(dá)式稱為無窮級(jí)數(shù)，簡稱級(jí)數(shù)。這里稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)。 級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的和，稱為級(jí)數(shù) 的部分和。定義2. 若級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限，即 存在，則稱級(jí)數(shù)收斂，并稱s為級(jí)數(shù)的和。記為.若沒有極限（即不存在），則稱級(jí)數(shù)發(fā)散。二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法若級(jí)數(shù)滿足，則稱級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。定理 1. 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則收斂的充分必要條件是其部分和數(shù)列有上界。 2比較判別法 （1）比較判別法 設(shè)，那么，若收斂，則 也收斂；當(dāng)發(fā)散時(shí)，則也發(fā)散。設(shè)存在常數(shù)，使得。那么若收斂，則也收斂，若發(fā)散，則也發(fā)散。

40、 （2）比較判別法的極限形式 設(shè)與均為正常級(jí)數(shù)，那么，若則與同時(shí)收 斂或同時(shí)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，若收斂，則收斂；若發(fā)散，則發(fā)散；當(dāng)時(shí)，若收斂，則收斂；若發(fā)散，則發(fā)散。【常用于比較的級(jí)數(shù)】 （1）幾何級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂且；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。 （2）p-級(jí)數(shù)當(dāng)p1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。 （3）調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。3比值判別法 設(shè)，且，那么，若，則級(jí)數(shù) 收斂；若，則級(jí)數(shù)發(fā)散；若，則該法失效。 4根值（柯西）判法 設(shè)，且，那么，若，則級(jí)數(shù) 收斂；若，則級(jí)數(shù)發(fā)散；若，則該法失效。【評(píng)注】比值與根值判別法中的條件都是充分但非必要條件。凡涉及級(jí)數(shù)命題有關(guān)論證，不能用比值或根值判別法，只能用比較判別法。三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)

41、的斂散性判別1 萊布尼茨判別法交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的充分條件若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件（1），（2），則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，且和。 2絕對(duì)收斂與條件收斂設(shè)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。定義3. 若級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若級(jí)數(shù) 收斂，而級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱條件收斂。 定理2. 若收斂，則必收斂【評(píng)注】若發(fā)散，且此結(jié)論是由比值判別法得出的，則 發(fā)散；若發(fā)散，且結(jié)論不是由比值判別法得出的，則應(yīng)直接考慮的斂散性（這時(shí)，級(jí)數(shù)有可能為條件收斂）?！究键c(diǎn)二十六】判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，可綜合使用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的各種判別方法，但主要用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法進(jìn)行判別，也可用級(jí)數(shù)收斂的定義進(jìn)行判別。同時(shí)，在解答關(guān)于級(jí)數(shù)的選擇題時(shí)，常用利用級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)加以判別

42、。無窮級(jí)數(shù)具有以下基本性質(zhì)： （1）若，則 【評(píng)注】若收斂，發(fā)散，則發(fā)散； 若與均發(fā)散，則的斂散性不能確定。（2）級(jí)數(shù)（為非零常數(shù)）與有相同的斂散性，且當(dāng)時(shí)，有。（3）級(jí)數(shù)增加或去掉有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的斂散性。（4）收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)間可以任意括號(hào)，所得新級(jí)數(shù)仍然收斂，且收斂于原級(jí)數(shù)的和?！驹u(píng)注】若加括號(hào)所得新級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)必發(fā)散；若加括號(hào)所得新級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)的斂散性不能確定。（5）級(jí)數(shù)收斂的必要條件 若級(jí)數(shù)收斂，則必有。 【評(píng)注】這一級(jí)數(shù)收斂的必要條件，常用于判別級(jí)數(shù)的發(fā)散，即時(shí)，則級(jí)數(shù)必發(fā)散；這用于驗(yàn)證（或求）極限值為“0”的極限?！纠?】判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性：（1）設(shè)， （2）設(shè)，

43、（3），其中是單調(diào)遞增而且有界的正項(xiàng)數(shù)列。【例2】設(shè)（1）求的值。（2）證：對(duì)任意的常數(shù)，級(jí)數(shù)收斂?！纠?】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少且發(fā)散，問級(jí)數(shù)是否收斂？并說明理由?！纠?】下列命題中正確的是（ ）.(A) 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則(B) 設(shè)收斂，則收斂. (C)設(shè) ，至少一個(gè)發(fā)散，則發(fā)散（D）設(shè)收斂，則，均收斂.【例5】設(shè)=在0，1上收斂，證明：收斂?！纠?】設(shè)有方程，其中n為正整數(shù)，證明此方程存在唯一正實(shí)根，并證明P3時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。【考點(diǎn)二十七】涉及交錯(cuò)級(jí)數(shù)和任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的單項(xiàng)選擇題, 一般應(yīng)先判定級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂, 轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)級(jí)數(shù)問題。這就要應(yīng)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的有關(guān)審斂法，特別是正項(xiàng)級(jí)數(shù)的涉及交錯(cuò)級(jí)數(shù)和任

44、意項(xiàng)級(jí)數(shù)的單項(xiàng)選擇題。這種題型一般應(yīng)先判定級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂。這就要應(yīng)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的有關(guān)審斂法。在比較審斂法中特別要重視它的極限形式，即：若具有相同的斂散性?！纠?】設(shè)，且,則級(jí)數(shù)（ ）（A）發(fā)散（B）絕對(duì)收斂（C）條件收斂（D）收斂性不能確定【例8】設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則（ ）. （A）條件收斂 (B)絕對(duì)收斂 (C)發(fā)散 (D)不能確定斂散性第二節(jié) 冪級(jí)數(shù)【大綱內(nèi)容】函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念；冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域；冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)；冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)；簡單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法；函數(shù)可展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件；的麥克勞林（Maclaurin）展開式。

45、.【大綱要求】理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，掌握冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)，掌握收斂半徑的求法，并能處理將函數(shù)展開為指定點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)及求簡單級(jí)數(shù)和的問題，掌握一些基本初等函數(shù)的麥克勞林展開式，并會(huì)利用它們及冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)將一些簡單函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)。【考點(diǎn)分析】求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)與將函數(shù)展開為指定點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)，是一個(gè)問題的正反兩個(gè)方面，所用的方法均為逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分。它們是數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三最重要的題型之一?！緩?fù)習(xí)要點(diǎn)】1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義1. 設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集合I上的函數(shù)序列，則稱 為定義在I上的函數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)，簡稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。定義2. 設(shè)點(diǎn)若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂（發(fā)散），則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在點(diǎn)處收斂（發(fā)散），點(diǎn)稱

46、為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂（發(fā)散）點(diǎn)。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)所有收斂（發(fā)散）點(diǎn)組成的集合，稱為該函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂（發(fā)散）域。定義3. 設(shè)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和序列。若極限存在，則稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)。2冪級(jí)數(shù)及其有關(guān)概念定義4. 形如 的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱為的冪級(jí)數(shù)，其中為常數(shù)。 特別地，當(dāng)時(shí)，則有稱為的冪級(jí)數(shù)，并稱常數(shù)為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)。定理1. 如果冪級(jí)數(shù)在某點(diǎn)處收斂，則在滿足不等式的一切點(diǎn)處絕對(duì)收斂；如果冪級(jí)數(shù)在某點(diǎn)處發(fā)散，由在滿足不等式的一切點(diǎn)處發(fā)散。 【評(píng)注】由上述定理可知，當(dāng)冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)處收斂，而在點(diǎn)發(fā)散時(shí)，必有，故必存在常數(shù)，使得。定義5. 若存在常數(shù)，使當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱該常數(shù)R

47、為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。定理2. 設(shè)冪級(jí)數(shù)滿足，則有 （1）當(dāng)時(shí)，則； （2）當(dāng)時(shí)，則； （3）當(dāng)時(shí)，則R=03. 冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì) 設(shè)冪級(jí)數(shù)其收斂半徑分別為和，取，則對(duì)于任意的，有（1），且在內(nèi)絕對(duì)收斂；（2）且在內(nèi)絕對(duì)收斂；（3）當(dāng)時(shí)，這里可由待定系數(shù)法逐個(gè)求出，其收斂半徑R可能比和都小得多。4. 冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，且和函數(shù)為則有（1）在內(nèi)是連續(xù)函數(shù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)，且； （3）在內(nèi)可積，且5函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開（1） 泰勒級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的某鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱為函數(shù)在處的泰勒級(jí)數(shù)。特別地，當(dāng)時(shí)，有，則稱其為函數(shù)在處的麥克勞林級(jí)數(shù)。定理3. 函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)

48、域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處能展成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是 .這里 稱為的拉格朗日余項(xiàng)，且在處的泰勒展開式唯一。（2）常見函數(shù)的麥克勞林展開式（1）（2）（3） =.（4） =（5） = （6） 【考點(diǎn)二十八】1. 收斂半徑的求法：（1）若級(jí)數(shù)，（即不缺項(xiàng)），且；若 。 【評(píng)注】極限存在（或是無窮大）僅僅是冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑為的一個(gè)充分條件。因此，由冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R，并不能保證。（2）若冪級(jí)數(shù)中存在系數(shù)（即缺項(xiàng)），則根據(jù)收斂半徑的定義，我們一般用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判斂法或根值判斂法來求冪級(jí)數(shù)收斂半徑的值。 【例9】冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑為【例10】求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性?！纠?/p>

49、11】設(shè)冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑分別為與，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為（ ）（A）5（B）（C）（D）【考點(diǎn)九十四】級(jí)數(shù)求和有以下4種常見的基本題型,其中第四種題型最重要：（1）型。這是等比級(jí)數(shù)，用如下公式計(jì)算：（2）型。采用先積分后求導(dǎo)的方法求和。積分，得求導(dǎo)，得（3）型。采用先求導(dǎo)后積分的方法求和。求導(dǎo)，得積分，得 （4）上述三種基本題型的綜合問題，這也是考研試題中最常見的題型?！纠?2】給定級(jí)數(shù)，（1）求它的和函數(shù)（2）證明廣義積分收斂，并寫出它的值。【例13】已知滿足（為正整數(shù)），且，求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和?！纠?4】求級(jí)數(shù)的和.【例15】求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x).【例16】設(shè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(

50、x). 求：(I) S(x)所滿足的一階微分方程；(II) S(x)的表達(dá)式.【考點(diǎn)二十九】將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的方法主要有兩種：直接展開法和間接展開法. 直接展開法指的是：利用泰勒級(jí)數(shù)的定義及泰勒級(jí)數(shù)收斂的充要條件，將函數(shù)在某個(gè)區(qū)間直接展開成指定點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)的方法。間接展開法是將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的主要方法。間接展開法指的是：通過一定運(yùn)算將函數(shù)轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)，進(jìn)而利用新函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式將原來函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的方法。所用運(yùn)算主要是加法運(yùn)算，數(shù)乘運(yùn)算，（逐項(xiàng)）積分運(yùn)算和（逐項(xiàng)）求導(dǎo)運(yùn)算。利用的冪級(jí)數(shù)展開公式主要是一些簡單函數(shù)的麥克勞林展開公式，常見函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)展開式為：其中，當(dāng) 特別地，當(dāng)=

51、-1時(shí)，有【例17】將函數(shù)的冪級(jí)數(shù)。【例18】將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間。第三節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù)【大綱內(nèi)容】函數(shù)的傅里葉（Fourier）系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)；狄利克雷（Dirichlet）定理；函數(shù)在上的傅里葉級(jí)數(shù)；函數(shù)在上的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)?！敬缶V要求】數(shù)學(xué)一要求，了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會(huì)將定義在上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在上的函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫出傅里葉級(jí)數(shù)的和的表達(dá)式.【考點(diǎn)分析】傅里葉級(jí)數(shù)是刻畫周期性問題的常用工具，只有了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念，掌握狄利克雷收斂定理，才能寫出函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)?！緩?fù)習(xí)要點(diǎn)】1周期為的傅里葉級(jí)數(shù)

52、定義1 設(shè)函數(shù)f(x)是周期為的周期函數(shù)，且在上可積，則稱為f(x)的傅里葉系數(shù)。稱級(jí)數(shù) 為f(x)的以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)。記作【評(píng)注】（1）根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，.（2）根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)f(x)是周期為的可積奇函數(shù)時(shí)，的以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)為稱為正弦級(jí)數(shù)。類似地，當(dāng)f(x)是周期為的可積偶函數(shù)時(shí)，其以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)為 ，稱為余弦級(jí)數(shù)，其中狄里克雷收斂定理 設(shè)f(x)是周期為的可積函數(shù)，且滿足 （1）上連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；（2）上只有有限個(gè)單調(diào)區(qū)間，則f(x)的以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，且【評(píng)注】在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處，S(x)與f(x)的值相等；在f(x)的第一類間斷點(diǎn)處，s(x)的值等于在f(x)在此點(diǎn)的左、右極限的平均值。2周期為的傅里葉級(jí)數(shù)定義2 設(shè)函數(shù)上可積，則稱為f(x)的以為周期的傅里葉系數(shù)；稱級(jí)數(shù)為f(x)的以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)，記作.【評(píng)注】周期為的傅里葉級(jí)數(shù)收斂性結(jié)論與周期為的傅里葉級(jí)數(shù)一樣。3只在上有定義的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開定義在上的函數(shù)可以有多種方式展開成三角函數(shù)，但常用的方式只有三種，即：周期奇延拓、周期偶延拓、周期延拓。三種延拓方式得到的三角級(jí)數(shù)展開式分別為：（1）正弦級(jí)數(shù)展開（2）余弦級(jí)數(shù)展開（3）三角級(jí)數(shù)展開【例19】設(shè)是周期為2的周期函數(shù)，它在上定義為則