八種經(jīng)典線性規(guī)劃例題最全總結(jié)(經(jīng)典)

1、線性規(guī)劃常見題型及解法由已知條件寫出約束條件，并作出可行域，進(jìn)而通過平移直線在可行域內(nèi)求線性 目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是最常見的題型，除此之外，還有以下六類常見題型。、求線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍x空2I例1、 若x、y滿足約束條件 y豈2 ，則z=x+2y 的取值范圍是 （）Ix y -2A、2,6 B、2 ,5C、3,6D、( 3,5解：如圖，作出可行域，作直線I : x+2y = 0，將I向右上方平移，過點(diǎn)A （ 2,0 ）時(shí)，有最小值 2，過點(diǎn)B （ 2,2 ）時(shí)，有最大值6，故選Ay、JBy =22*%AO7x + yx=2/ =2、求可行域的面積2x y -6 _0I例2、不等式組 x，y-3

2、乞0表示的平面區(qū)域的面積為（）八2A、4 B、1 C、5 D、無窮大解：如圖，作出可行域， ABC的面積即為所求，由梯形OMBC 的面積減去梯形OMAC的面積即可，選B三、求可行域中整點(diǎn)個(gè)數(shù)例3、滿足兇+ |y| 2的點(diǎn)（x，y）中整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)）有（） D、 14 個(gè)A、9 個(gè) B、10 個(gè)C、 13 個(gè)解：|x|+ |y| 0）x _3取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則a的值為A、 一 3 B、 3 C、 一 1 D、 1解：如圖，作出可行域，作直線I : x+ay = 0,要使目標(biāo)函數(shù)z=x+ay （a0）取得最小值的最優(yōu)解 有無數(shù)個(gè)，則將I向右上方平移后與直線x+y = 5重合，故

3、a=1 ,選D五、求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值l2x y - 2 _0I 例5、已知x、y滿足以下約束條件 x -2y 4 _0 ，則z=x 2+y2的最大值和最小值分別是（）3x - y - 3 空 0A、 13 , 1C、13 ,45B、13, 2D、幣,二152 2解：如圖，作出可行域,x +y是點(diǎn)（x , y）到原點(diǎn)的距離的平方，故最大值為點(diǎn) A （ 2, 3 ）到原點(diǎn)的距離的平方，即|AO| 2=13，最小值為原點(diǎn)到直線2x + y 2=0的距離的平方，-2= 0六、求約束條件中參數(shù)的取值范圍例6、已知|2x y + m| v 3表示的平面區(qū)域包含點(diǎn)（0,0 ）和（一1,1 ），則m的取值

4、范圍是 （）A、( -3,6) B、( 0,6 ) C、( 0,3 ) D、( -3,3)解 : |2x y + m| v 3 等價(jià)于 2x 一 y m 30、2x-y+ m-3c0由右圖可知m 33 ,故0 v mv 3,選Cm -3 咗 0七、比值問題第4頁共5頁第5頁共5頁當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如Z =紅？時(shí),可把z看作是動(dòng)點(diǎn)P(x, y)與定點(diǎn)Q(b, a)連線的斜率，這樣目標(biāo)函數(shù)的最值就轉(zhuǎn) x b化為PQ連線斜率的最值。x y + 2 1,貝U y的取值范圍是().x+ y 70, b0)取得最大12,2 3/23、2a 3b 13 zb a、 1325 皿” “即 4a+6b=12,即 2a

5、+3b=6,而一+ =(+ )=+(+)工一 + 2= 故選 Aa b a b 66 a b 66 【命題立意】：本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題.要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的23平面區(qū)域，并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值,對于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答a bx丄044. (2009年安徽理7)若不等式組+ 3 4所表示的平面區(qū)域被直線y = kx + 分為面積相等的兩部分，則k x 3 y 433x y _ 4的值是第7頁共5頁734(A)( B)( C)-373解析:不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分(D)ABC由 fx+3y =4

6、得 A( 1, 1),又 B(0, 4), C( 0,3x y =41 44S AB (4 二)燈亡, 設(shè) y=kx 與 3x + y= 4 的2 331 2交點(diǎn)為D,則由SBCD S ABC 知x結(jié)231 47 g,k選 Ao2 335=k 125.(2008年山東理12)設(shè)二元一次不等式組使函數(shù)y =ax(a d, a)的圖象過區(qū)域1D，yD =2 2A-*x4y=kx+ x 2y-19 0,x-y8 0,所表示的平面區(qū)域?yàn)?M ,2x + y 14 0M的a的取值范圍是(A. 1,3B. 2, 10 C . 2,9 D.卜10，解：C,區(qū)域M是三條直線相交構(gòu)成的三角形(如圖)顯然a 1,

7、 只需研究過(1 ,、(3,8)兩種情a1 _9且 a3 _8 即 2 _ a _ 9.2x - y 2 _0i y6.(2010 年安徽理13)設(shè)x, y滿足約束條件0,b 0 )的最大值為8,貝U a+b的最小值為 【答案】4【解析】不等式表示的區(qū)域是一個(gè)四邊形，4個(gè)頂點(diǎn)是1(0,0),(0, 2),(,0),(1,4),易見目標(biāo)函數(shù)在(1,4)取最大值8 ,2所以8二ab *4= ab =4,所以，在a二b=2時(shí)是等號成立。所以 a b的最小值為4.【規(guī)律總結(jié)】線性規(guī)劃問題首先作出可行域，若為封閉區(qū)域(即幾條直線圍成的區(qū)域)則區(qū)域端點(diǎn)的值是目標(biāo)函數(shù) 取得最大或最小值，求出直線交點(diǎn)坐標(biāo)代入

8、得ab = 4 ,要想求a b的最小值，顯然要利用基本不等式7.( 2010 年陜西理14)鐵礦石A和B的含鐵率a,冶煉每萬噸鐵礦石的 CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價(jià)格c如F表:ab(萬噸)c (百萬兀)A50%13B70%0. 56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9（萬噸）鐵，若要求CO?的排放量不超過2（萬噸），則購買鐵礦石的最少費(fèi)用為 （百萬元）.【解析】 設(shè)鐵礦石A購買了 x萬噸，鐵礦石 B購買了 y萬噸，購買鐵礦石的費(fèi)用為z百萬元，則由題設(shè)知，本題即50%x +70%y K1.95x +7y 319x+05y 蘭 22x+y 蘭 4求實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件y _ ，即八 （*）時(shí)，z = 3x 6y的最小值作不等式組（*）1xK01xK0八0八01