數(shù)學(xué)直角坐標(biāo)系講義新人教A選修

1、數(shù)學(xué)直角坐標(biāo)系講義新人教A選修一平面直角坐標(biāo)系的建立思考思考:聲響定位問(wèn)題聲響定位問(wèn)題 某中心接到其正東、正西、正北方向某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到巨點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到巨響的時(shí)間比其他兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)晚響的時(shí)間比其他兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)晚4s，已知各，已知各觀測(cè)點(diǎn)到中心的距離都是觀測(cè)點(diǎn)到中心的距離都是1020m，試確定，試確定該巨響的位置。（假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速該巨響的位置。（假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為度為340m/s，各相關(guān)點(diǎn)均在同一平面上），各相關(guān)點(diǎn)均在同一平面上）(2004年廣東高

2、考題年廣東高考題)y yx xB BA AC CP Po o 以接報(bào)中心為原點(diǎn)以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，以，以BA方向?yàn)榉较驗(yàn)閤軸，建立軸，建立直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系.設(shè)設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn)，分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn)， 設(shè)設(shè)P（x,y）為巨響為生點(diǎn)，由）為巨響為生點(diǎn)，由B、C同時(shí)聽(tīng)同時(shí)聽(tīng)到巨響聲，得到巨響聲，得|PC|=|PB|，故，故P在在BC的垂直平分的垂直平分線線PO上，上，PO的方程為的方程為y=x，因，因A點(diǎn)比點(diǎn)比B點(diǎn)晚點(diǎn)晚4s聽(tīng)到爆炸聲，聽(tīng)到爆炸聲，y yx xB BA AC CP Po o則則 A(1020,0), B(1020,0), C(0,1020)故故|PA| |PB

3、|=3404=1360由雙曲線定義知由雙曲線定義知P點(diǎn)在以點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的為焦點(diǎn)的雙曲線雙曲線 上，上，12222byax)0(13405680340568010201020,6802222222222xyxacbca故雙曲線方程為10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即答：巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北答：巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北450距中心距中心 處處.m10680用用y=x代入上式，得代入上式，得 ，|PA|PB|,5680 x 解決此類應(yīng)用題的關(guān)鍵：解決此類應(yīng)用題的關(guān)鍵：1、建立平面直角坐標(biāo)系、建立平面直角坐標(biāo)系2、設(shè)點(diǎn)（點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)）、設(shè)點(diǎn)（點(diǎn)與坐標(biāo)的

4、對(duì)應(yīng)）3、列式（方程與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)）、列式（方程與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)）4、化簡(jiǎn)、化簡(jiǎn)5、說(shuō)明、說(shuō)明坐坐 標(biāo)標(biāo) 法法例例1.已知已知ABC的三邊的三邊a,b,c滿足滿足 b2+c2=5a2,BE,CF分別為邊分別為邊AC,CF上上的中線，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系的中線，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系探究探究BE與與CF的位置關(guān)系。的位置關(guān)系。(A)FBCEOyx以以ABC的頂點(diǎn)為原點(diǎn)的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，邊邊AB所在的直線所在的直線x軸，建立直角軸，建立直角坐標(biāo)系，由已知，點(diǎn)坐標(biāo)系，由已知，點(diǎn)A、B、F的的坐標(biāo)分別為坐標(biāo)分別為解：解：A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( ,0 ).2cCx y設(shè)點(diǎn)

5、 的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（ ，）.2 22222225|5|bcaACABBC由，可得到，222225().xycxcy即 22222250.xyccx整理得(,),(,),222xycBEcCFxy 因?yàn)?()()0.222xcyBE CFcx 所以因此，因此，BE與與CF互相垂直互相垂直. 具體解答過(guò)程見(jiàn)書本具體解答過(guò)程見(jiàn)書本P4 你能建立不同的直角坐標(biāo)系解決這你能建立不同的直角坐標(biāo)系解決這個(gè)問(wèn)題嗎？比較不同的直角坐標(biāo)系下解個(gè)問(wèn)題嗎？比較不同的直角坐標(biāo)系下解決問(wèn)題的過(guò)程，建立直角坐標(biāo)系應(yīng)注意決問(wèn)題的過(guò)程，建立直角坐標(biāo)系應(yīng)注意什么問(wèn)題？什么問(wèn)題？建系時(shí)，根據(jù)幾何特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)闹苯?/p>

6、建系時(shí)，根據(jù)幾何特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系。坐標(biāo)系。（1）如果圖形有對(duì)稱中心，可以選對(duì)）如果圖形有對(duì)稱中心，可以選對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）如果圖形有對(duì)稱軸，可以選擇對(duì)）如果圖形有對(duì)稱軸，可以選擇對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；稱軸為坐標(biāo)軸；（3）使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多的在）使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多的在坐標(biāo)軸上。坐標(biāo)軸上。二二. .平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換思考：思考：（1）怎樣由正弦曲線）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲得到曲線線y=sin2x?xO 2 y=sinxy=sin2x 在正弦曲線在正弦曲線y=sinx上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)P(x,y)，保持縱坐標(biāo)不變，

7、將橫坐標(biāo)保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來(lái)縮為原來(lái)的的 ，就得到正弦曲線，就得到正弦曲線y=sin2x.12 上述的變換實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)坐標(biāo)的上述的變換實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)坐標(biāo)的壓縮變換，即：壓縮變換，即： 設(shè)設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)一點(diǎn)，保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)x縮為縮為原來(lái)原來(lái) ，得到點(diǎn)，得到點(diǎn)P(x,y).坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為：為：12x= xy=y121通常把通常把 叫做平面直角坐標(biāo)系中叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)壓縮變換。的一個(gè)壓縮變換。1坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為：坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為：（2）怎樣由正弦曲線）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲

8、得到曲線線y=3sinx?寫出其坐標(biāo)變換。寫出其坐標(biāo)變換。設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P（x,y）經(jīng)變換得到點(diǎn)為）經(jīng)變換得到點(diǎn)為P(x,y)x=xy=3y2通常把通常把 叫做平面直角坐標(biāo)系中叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)伸長(zhǎng)變換。的一個(gè)坐標(biāo)伸長(zhǎng)變換。2 在正弦曲線上任取一點(diǎn)在正弦曲線上任取一點(diǎn)P（x,y），），保持橫坐標(biāo)保持橫坐標(biāo)x不變，將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原不變，將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的來(lái)的3倍，就得到曲線倍，就得到曲線y=3sinx。（3）怎樣由正弦曲線）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲得到曲線線y=3sin2x? 寫出其坐標(biāo)變換。寫出其坐標(biāo)變換。 在正弦曲線在正弦曲線y=sinx上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)P(x,y)，保持

9、縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來(lái)縮為原來(lái)的的 ，在此基礎(chǔ)上，將縱坐標(biāo)變?yōu)樵?，在此基礎(chǔ)上，將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的來(lái)的3倍，就得到正弦曲線倍，就得到正弦曲線y=3sin2x.12設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P（x,y）經(jīng)變換得到點(diǎn)為）經(jīng)變換得到點(diǎn)為P(x,y)x= xy=3y123通常把通常把 叫做平面直角坐標(biāo)系中叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)伸縮變換。的一個(gè)坐標(biāo)伸縮變換。3定義：設(shè)定義：設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，在變換任意一點(diǎn)，在變換(0):(0)xxyy 的作用下，點(diǎn)的作用下，點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)P(x,y).稱稱 為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換。為平面直角坐標(biāo)

10、系中的伸縮變換。 4注注 （1） （2）把圖形看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，）把圖形看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換得到；變換得到； （3）在伸縮變換下，平面直角）在伸縮變換下，平面直角坐標(biāo)系不變，在同一直角坐標(biāo)系下進(jìn)坐標(biāo)系不變，在同一直角坐標(biāo)系下進(jìn)行伸縮變換。行伸縮變換。0,0練習(xí)：練習(xí)：1.在直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對(duì)在直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過(guò)伸縮變換應(yīng)的圖形經(jīng)過(guò)伸縮變換x=xy=3y后的圖形。后的圖形。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=12.在同一直角坐標(biāo)系下，求滿足下列在同一直角坐標(biāo)系下，求滿足下列圖形的伸縮變換：曲線圖形的伸縮變換：曲線4x2+9y2=36變變?yōu)榍€為曲線x2+y2=13.在同一直角坐標(biāo)系下，經(jīng)過(guò)伸縮變?cè)谕恢苯亲鴺?biāo)系下，經(jīng)過(guò)伸縮變換換 后，后，曲線曲線C變?yōu)樽優(yōu)閤29y2 =1，求曲線，求曲線C的方的方程并畫出圖形。程并畫出圖形。x=3xy=y思考：在伸縮思考：在伸縮 下，橢圓是否可以下，橢圓是否可以變成圓？拋物線，