拋物線(xiàn)的定義準(zhǔn)確嗎

1、對(duì)教材的再發(fā)現(xiàn)再創(chuàng)造一拋物線(xiàn)的定義準(zhǔn)確嗎全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)(必修)。數(shù)學(xué) 第二冊(cè)(上) 人民教育出版社 中學(xué)室編著。第115頁(yè)，“平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)L的距離相等的點(diǎn) 的軌跡叫拋物線(xiàn)。點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)L叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)。”在教學(xué) 中我發(fā)現(xiàn)該定義有缺陷，必須指明“定點(diǎn) F不在定直線(xiàn)L上”。如果點(diǎn)F在直線(xiàn) L 上,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過(guò)F點(diǎn)且與L垂直的直線(xiàn)，它就不是我們所學(xué)習(xí)的拋物線(xiàn)。 教材在推導(dǎo)拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，又強(qiáng)調(diào)了定點(diǎn)F到定直線(xiàn)L的距離p>0。在與學(xué)生的探討交流中，有學(xué)生認(rèn)為可以將直線(xiàn)理解為“退化” 了的拋物線(xiàn)。我個(gè)人 不認(rèn)可這一觀點(diǎn)，否則在橢圓定義中，為什么要強(qiáng)

2、調(diào)2a> 2c,能否把線(xiàn)段看作“退 化” 了的橢圓呢？同樣，在雙曲線(xiàn)的定義中又強(qiáng)調(diào)了2av2c,當(dāng)2a=2c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是二條射線(xiàn)。而且教材在給出橢圓、雙曲線(xiàn)的第二定義時(shí)，其中明確了定a點(diǎn)F(c,0)不在定直線(xiàn)X 上。以上觀點(diǎn)的提出，我經(jīng)歷了下面的發(fā)現(xiàn)與研究過(guò)程。(1)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與提出 教材第71頁(yè)上例4:已知一條曲線(xiàn)在x軸的上方，它上面的每一點(diǎn)到點(diǎn) A (0, 2)的距離減去它到x軸的距離的差是2,求這條曲線(xiàn)方程。答案是X2 =8y (X 工0)。在求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程時(shí)，當(dāng)我把題目改為：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)A (0, 2)的距 離比它到x軸的距離大2,求點(diǎn)M的軌跡方程。原以為利用拋物線(xiàn)的定義

3、直接 可得點(diǎn)M的軌跡方程，因?yàn)橛蓷l件可得 M點(diǎn)到定點(diǎn)A (0, 2)的距離等于它到定 直線(xiàn)y= -2的距離，所以M點(diǎn)的軌跡方程為X2 =8y。沒(méi)想到列出方程X2 (y -2)2 - I y F 2后求解，得出了下面的結(jié)果：X2 =8y (y>0)或x =0 (yvO)。這個(gè)結(jié)果與我事先的設(shè)想出現(xiàn)了矛盾，引起了我對(duì)該題的興趣。(2)問(wèn)題的研究與探索研究的一開(kāi)始，可能是受到已有思維定勢(shì)的影響，沒(méi)能找到問(wèn)題的癥結(jié)，與同事商量了一下，也沒(méi)有一個(gè)好的結(jié)果，后來(lái)將這個(gè)問(wèn)題 公示給學(xué)生，讓學(xué)生進(jìn)行思考并展開(kāi)討論，經(jīng)過(guò)師生的共同探討，得出了以下結(jié) 論。(3)問(wèn)題的解決與延伸當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在x軸的上方(或x軸上

4、)時(shí)，有動(dòng)點(diǎn)2 M到定點(diǎn)A (0, 2)的距離等于它到定直線(xiàn)y= -2的距離，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為X =8y ;當(dāng)M點(diǎn)在x軸的下方時(shí)，點(diǎn)M到定點(diǎn)A (0, 2)的距離等于它到定直線(xiàn)y= 2的距離，此時(shí)定點(diǎn)A (0, 2)在定直線(xiàn)y= 2上，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為X=0 (yv 0)。因此我發(fā)現(xiàn)，教材中拋物線(xiàn)的定義有缺陷，在定義中應(yīng)補(bǔ)充說(shuō)明“定點(diǎn) F 不在定直線(xiàn)L上”。有學(xué)生提出，當(dāng)定點(diǎn)F在定直線(xiàn)L上時(shí)，有p=0，拋物線(xiàn)方程 就變成X2 =0,仍可理解為拋物線(xiàn)。然而教材中對(duì)拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程中的p明確了 p> 0。在教材第100頁(yè)例4和第112頁(yè)例3分別給出橢圓、雙曲線(xiàn)的第二定義時(shí)，a其中是明確了定

5、點(diǎn)F(c,0)不在定直線(xiàn)x -上。而教材第115頁(yè)第一段c“與一個(gè)定點(diǎn)的距離和一條定直線(xiàn)的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)0vev 1時(shí)是橢圓。當(dāng)e> 1時(shí)是雙曲線(xiàn)?！蔽艺J(rèn)為同樣是不準(zhǔn)確的。與上面內(nèi)容相關(guān)的，是教材第118頁(yè)上的練習(xí)第2題，應(yīng)該指明定點(diǎn)F不 在定直線(xiàn)上，否則這個(gè)題目無(wú)法作答。有了以上的研究發(fā)現(xiàn)，在后來(lái)全區(qū)進(jìn)行的青年教師基本功大賽中，我將此 題：已知?jiǎng)狱c(diǎn) M 到定點(diǎn) A （0, 2）的距離比它到 x 軸的距離大 2，則點(diǎn) M 的軌跡方 程是 。作為一個(gè)測(cè)試題，結(jié)果正確率僅有 30%。由此教師對(duì)教材的研究、再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造刻不容緩。二 教材第 106頁(yè)上例 3中（ 1）的解答存在

6、問(wèn)題。例 3 一炮彈在某處爆炸，在 A 處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間比在 B 處晚 2s 爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線(xiàn)上？（2）已知A、B兩地相距800m并且此時(shí)聲速為 340m/s ,求曲線(xiàn)方程。教材中對(duì)（ 1）的解答是：由聲速及 A、 B 兩處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間差，可 知 A、 B 兩處與爆炸點(diǎn)的距離差，因此爆炸點(diǎn)應(yīng)位于以 A、 B 兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲 線(xiàn)上。因?yàn)楸c(diǎn)離 A 處比離 B 處更遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近 B 處的一支上。學(xué)生對(duì)這個(gè)解答提出疑問(wèn)，因?yàn)樵陔p曲線(xiàn)的定義中，明確指出，把平面 內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于.|Fi F2|）的點(diǎn)的軌跡叫 做雙曲線(xiàn)。該題中爆炸點(diǎn)與A、B

7、兩處的距離差可能等于 A、B兩點(diǎn)之間的距離， 那么爆炸點(diǎn)就不是在以 A、 B 兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的一支上，而應(yīng)該在以 B 為端 點(diǎn)， AB 方向上的一條射 線(xiàn)上。而老師在講解雙曲線(xiàn)定義時(shí)，是特別強(qiáng)調(diào)了2av2c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線(xiàn)；當(dāng)2a=2c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡是兩條射線(xiàn)。所以學(xué)生認(rèn)為該題的解答是不正確的。新課程改革提出，教師在學(xué)生面前不再是知識(shí)的權(quán)威，不再是教材的忠 實(shí)的執(zhí)行者， 而是教材的創(chuàng)造性的利用者， 學(xué)生思維活動(dòng)的激發(fā)者。 教師在教學(xué) 過(guò)程中允許和倡導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑， 鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生善于去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、 提出問(wèn)題、 分析 問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題，通過(guò)師生互動(dòng)， 生成教材文本中沒(méi)有展示出來(lái)的 “新 知識(shí)”。教師要以“研究者”的心態(tài)置身于教學(xué)情境中，以研究者的眼光審視和 分析教學(xué)理論與教學(xué)實(shí)踐中的各種問(wèn)題， 不斷反思自身的行為。 教師必須以積極 的心態(tài)投入到教學(xué)過(guò)程中， 建立教學(xué)過(guò)程是教師和學(xué)