奧數(shù)專題：分類枚舉

1、分類枚舉小芳為了給災(zāi)區(qū)兒童捐款，把儲(chǔ)蓄罐里的錢(qián)全拿了出來(lái)。她想數(shù)數(shù)有多少錢(qián)。小朋友，你知道小芳是怎么數(shù)的嗎？小芳是個(gè)聰明的孩子，她把錢(qián)按1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元等分類去數(shù)。所以很快就數(shù)好了。小芳數(shù)錢(qián)，用的就是分類枚舉的方法。這是一種很重要的數(shù)學(xué)思考方法，在很多問(wèn)題的思考過(guò)程中都發(fā)揮了很大的作用。下面就讓我們一起來(lái)看看它的本領(lǐng)吧！典型例題例1 下圖中有多少個(gè)三角形？分析 我們可以根據(jù)圖形特征將它分成3類：第一類： 有6個(gè)；第2類： 有6個(gè)；第3類： 有3個(gè)；解 6+6+3=15（個(gè)）圖中有15個(gè)三角形。例2 下圖中有多少個(gè)正方形？ 分析 根據(jù)正方形邊長(zhǎng)的大小，我們將它們分成4類。

2、第1類：由1個(gè)小正方形組成的正方形有24個(gè)；第2類：由4個(gè)小正方形組成的正方形有13個(gè)；第3類：由9個(gè)小正方形組成的正方形有 4個(gè)；第4類：由16個(gè)小正方形組成的正方形有1個(gè)。解 24+13+4+1=42。圖中有42個(gè)正方形。例3 在算盤(pán)上，用兩粒珠子可以表示幾個(gè)不同的三位數(shù)：分別是哪幾個(gè)數(shù)？分析 根據(jù)兩粒珠子的位置，我們可將它們分成3類：第1類：兩粒珠子都在上檔，可以組成505，550；第2類：兩粒珠子都在下檔，可以組成101，110，200；第3類：一粒在上檔，另一粒在下檔，可以組成510，501，150，105，600。解 可以表示101，105，110，150，200，501，505，

3、510，550，600共10個(gè)三位數(shù)。例4 用數(shù)字7，8，9可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？分別是哪幾個(gè)數(shù)？分析 根據(jù)百位上數(shù)字的不同，我們可以將它們分成三類：第1類：百位上的數(shù)字為7，有789，798；第2類：百位上的數(shù)字為8，有879，897；第3類：百位上的數(shù)字為9，有978，987。解 可以組成789，798，879，897，978，987共6個(gè)三位數(shù)。例5 往返于南京和上海之間的滬寧高速列車沿途要?？砍Ｖ荨o(wú)錫、蘇州三站。問(wèn)：鐵路部門(mén)要為這趟車準(zhǔn)備多少種車票？分析 我們可以根據(jù)列車的往與反把它們分成兩大類（注：為了方便，我們將上述地點(diǎn)簡(jiǎn)稱為寧、常、錫、蘇、滬）：在第一大類中，我們又可以根

4、據(jù)乘客乘車時(shí)所在起點(diǎn)站的不同分成4類。第1類：從寧出發(fā)：寧 常，寧 錫，寧 蘇，寧 滬，4種；第2類：從常出發(fā)：常 錫，常 蘇，常 滬，3種；第3類：從錫出發(fā)：錫 蘇，錫 滬，2種；第4類：從蘇出發(fā)：蘇 滬，1種。我們同樣可用剛才的方法將回來(lái)的車票分類，聰明的小朋友可能已經(jīng)想到了，它的種數(shù)與第一大類完全相同。解 （4+3+2=1）×2=20（種）鐵路部門(mén)要準(zhǔn)備20種車票。小結(jié) 分類枚舉的關(guān)鍵是正確分類，為此，必須注意兩點(diǎn)：一、 分類要全、枚舉要清。分類不全，就會(huì)造成遺漏。如上面例1中，如果一不小心，把第3類丟了，就會(huì)造成差錯(cuò)。當(dāng)分類確定之后，要把每一類中每一個(gè)符合條件的對(duì)象都列舉出來(lái)。二、