第三章導數(shù)的應用教案

1、第三章導數(shù)的應用知識點： 教學目的要求：（1）用數(shù)形結合的思想方法掌握羅爾定理與拉格朗日中值定理的條件與結論。 會判斷是否滿足羅爾定理與拉格朗日中值定理的條件，會求羅爾定理與拉格朗日中值定理結論中的。（2）知道洛必達法則，能運用洛必達法則求不定式的極限，重點掌握“”型和“”型，了解“”、“”型等。（3）掌握用一階導數(shù)的符號判別函數(shù)單調性的方法，會求函數(shù)的單調區(qū)間，并利用函數(shù)的單調性進行簡單不等式的證明；理解函數(shù)極值與極值點的概念，掌握極值存在的必要條件，掌握求函數(shù)極值的方法（極值點的充分條件），搞清極值點與駐點的區(qū)別與聯(lián)系。（4）初步掌握簡單實際問題中最大值和最小值的求法；會利用導數(shù)討論一些簡

2、單的經(jīng)濟問題。教學重點：1函數(shù)單調性的判斷與單調區(qū)間的求法2函數(shù)極值、最值的求法3實際應用教學難點：1微分中值定理2洛必達法則及應用3函數(shù)極值的求法與應用4函數(shù)最值的求法與應用第一節(jié) 微分中值定理【教學內容】羅爾定理，拉格朗日中值定理?！窘虒W目的】理解羅爾定理，拉格朗日中值定理的分析意義和幾何意義; 會判斷是否滿足羅爾定理與拉格朗日中值定理的條件，會求羅爾定理和拉格朗日中值定理結論中的。初步具有應用中值定理論證問題的能力.【教學重點】1羅爾定理；2拉格朗日中值定理?！窘虒W難點】1羅爾定理與拉格朗日中值定理條件的判斷；2羅爾定理與拉格朗日中值定理結論中的求解?！窘虒W時數(shù)】1學時【教學進程】一、

3、羅爾（Rolle）定理羅爾（Rolle 1652-1719）法國數(shù)學家。年輕時因家境貧窮，僅受過初等教育，是靠自學精通了代數(shù)和Diophantus分析理論。這個定理是羅爾在17世紀初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來的。在介紹羅爾定理之前，我們先來看一個幾何事實。閉區(qū)間上的一條連續(xù)曲線，在相應的開區(qū)間內處處光滑無尖點（或者說曲線無打折現(xiàn)象），且區(qū)間端點的函數(shù)值相等如圖1, 則在區(qū)間上至少有一條水平切線。我們說這就是微分中值定理之一羅爾中值定理的幾何解釋。幾何意義： 在上是一條連續(xù)的曲線。（連續(xù)） 在內處處光滑無尖點（或者說曲線無打折現(xiàn)象）。（可導） 兩端點A、B的連線與軸平行。（端點高度相同

4、）結論：至少存在一點，使得其切線平行于軸。 圖1分析意義：定理31 如果函數(shù)滿足下列條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內可導；（3）。則在區(qū)間內至少存在一點，使得例1: 驗證羅爾中值定理對函數(shù)，在區(qū)間上的正確性。并求出羅爾定理結論中的。解：我們從定理中的三個條件來逐一判斷，是否符合。條件：是初等函數(shù)，所以函數(shù)在上連續(xù)，即條件符合。條件：，所以函數(shù)在（3, 0）內可導，條件符合。條件：，條件符合。所以在上滿足羅爾定理的條件。 令，解得，因為不在區(qū)間（3, 0）內，故舍去。所以取，即在（3, 0）內存在一點，使得。所以羅爾中值定理結論中的. 思考：如果羅爾中值定理的條件有一個不成立，結論會

5、如何？例2: 驗證函數(shù)在區(qū)間上是否滿足羅爾定理，若滿足求出羅爾定理結論中的。解：我們從定理中的三個條件來逐一判斷，是否符合。由 的圖象可知： 圖 2條件：在上連續(xù)，即條件符合。條件：，點是一個尖點，即在點不可導，所以條件不符合。所以在上不滿足羅爾定理的條件。 同時我們從圖2也可以看到在內不存在點，使得其切線平行于軸。即不存在點，使得。課堂練習：驗證函數(shù)在區(qū)間上是否滿足羅爾定理，若滿足求出羅爾定理結論中的。（答案：滿足，）強調：1 若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足, 其結論可能不成立; 2 使得定理成立的可能多于一個，也可能只有一個.在羅爾中值定理中條件比較特殊，使他的應用受到限制。若在羅爾中

6、值定理中，其余條件不變，則我們得到：二、拉格朗日中值定理拉格朗日（Lagrange 1736-1813）法國數(shù)學家。普魯士國王腓特烈大帝尊稱他為“歐洲最大之數(shù)學家”，他在數(shù)學、力學和天文學三個學科領域中都有歷史性的貢獻，其中尤以數(shù)學方面的成就最為突出。在介紹拉格朗日中值定理之前先簡單介紹拉格朗日的生平。如圖3, 若，其余條件不變，則在區(qū)間上至少有一條切線平行于弦。我們說這就是微分中值定理之一拉格朗日中值定理的幾何解釋。幾何意義： 圖3 在上是一條連續(xù)的曲線。（連續(xù)） 在內處處光滑無尖點（或者說曲線無打折現(xiàn)象）。（可導）結論：至少存在一點，使得其切線平行于弦AB。分析意義：定理32 設函數(shù)滿足下

7、列條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)，（2）在開區(qū)間內可導，則在區(qū)間內至少存在一點，使得上式也可表示成例3：驗證函數(shù)在閉區(qū)間上是否滿足拉格朗日中值定理的條件，并求出拉格朗日中值定理結論中的。解：我們從定理中的兩個條件來逐一判斷，是否符合。條件1: 是初等函數(shù)，所以函數(shù)在上連續(xù)，即條件1成立。條件2: ，所以函數(shù)在（1, 4）內可導，條件符合。所以在上滿足拉格朗日中值定理的條件。 又，令。所以拉格朗日中值定理結論中的。推論3.1 若函數(shù)在區(qū)間(a, b)上導數(shù)恒為零，則在區(qū)間(a, b)上是一個常數(shù). 即思考：若其余條件不變，在區(qū)間（a, b）內恒有，則拉格朗日中值定理的結論會如何？推論3.2 若在區(qū)間

8、（a, b）內恒有，則在（a, b）內有證明：令則由，得，由推論3.1可知， 即有。例4 證明 ,證明 由于,由推論2知（）取，則；即有（）又當時，；所以（）羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理，這三個定理統(tǒng)稱為微分中值定理在這一節(jié)我們只要求掌握前面兩個定理。課堂練習：驗證函數(shù)在閉區(qū)間上是否滿足拉格朗日中值定理的條件，并求出拉格朗日中值定理結論中的。（答案：）三、柯西定理柯西（Cauchy1789-1857）法國數(shù)學家?？挛魇且晃欢喈a(chǎn)的數(shù)學家。他的全集從1882年開始出版到1974年才出齊最后一卷，一共有28卷?？挛髟跀?shù)學中的各個領域都有貢獻，是數(shù)學彈性理論的奠基人之一。作為拉格朗日中值定理的一個

9、推廣，還可以得到下面的定理，即柯西定理。定理33 設函數(shù)與在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，且，則至少存在一點，使得例5：試對函數(shù)，寫出柯西公式，并求C. 解：因為是初等函數(shù)，所以和在上連續(xù)；又因為，。所以和在內可導；因此和在上滿足柯西定理的條件。 又因為即 小結：主要內容：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西定理重點：1羅爾定理，2拉格朗日中值定理難點：1羅爾定理與拉格朗日中值定理條件的判斷；2羅爾定理與拉格朗日中值定理結論中的求解。第二節(jié) 洛必達法則【教學內容】型未定式，型未定式，其他類型未定式?！窘虒W目的】理解羅必達法則，能正確運用羅必達法則求不定式的極限，重點掌握“”和“型，以及較簡單的“”

10、、“”型；了解“”、“”、“”型等?！窘虒W重點】1型未定式；2型未定式?！窘虒W難點】型未定式和型未定式的運用，簡單的“”、“”型的變形。【教學時數(shù)】2學時【教學進程】 復習：1. 羅爾中值定理2. 拉格朗日中值定理新課我們把兩個無窮小量與兩個無窮大量之比的極限，與稱為未定式極限。根據(jù)微分中值定理可以得到計算這兩類極限的洛必達法則。洛必達（LHospital 1661-1704）法國數(shù)學家。他曾受襲侯爵銜，并在軍隊中擔任騎兵軍官，后來因為視力不佳而退出軍隊，轉向學術方面加以研究。首先，我們來介紹型未定式。一、型未定式。定理 （羅必達法則I）如果函數(shù)與滿足條件：（1），（2）在的某鄰域內（除外）都

11、存在，且，（3）存在（或為），則 說明：對于的其他變化趨勢（，, ）時的型未定式的極限，上述定理仍然成立定理3.4告訴我們：如果為型未定式，在符合定理條件的情況下，可通過對分子、分母分別求導再求極限來確定極限。例1 利用洛必達法則求極限。解 驗證了我們之前學過的重要極限公式。提問：重要極限一中的一個重要結論能否利用洛必達法則來驗證，怎么驗證？例2 求極限解 這是型未定式，根據(jù)羅必達法則，得例3 求極限解 這是型未定式，根據(jù)羅必達法則，得=例4 求極限解 這是型未定式，根據(jù)羅必達法則，得=說明：在求極限過程中，如果仍是未定式，且仍滿足羅必達法則的條件，那么=也就是說，羅必達法則可累次使用下去如：

12、例5求極限解 課堂練習：1. 求極限_（答案： 1）.2. 求極限_（答案：）.3. 求極限_（答案：）.二、型未定式定理35（羅必達法則II）如果函數(shù)與滿足條件：（1），（2）在的某鄰域內（除外）都存在，且，（3）存在（或為），則=說明：對于的其他變化趨勢（，, ）時的型未定式的極限，上述定理仍然成立定理3.5告訴我們：如果為型未定式，在符合定理條件的情況下，可通過對分子、分母分別求導再求極限來確定極限。例6 求極限解 這是型未定式，根據(jù)羅必達法則，得例7 求極限解 這是型未定式，根據(jù)羅必達法則，得=例8 求解 這是型未定式，根據(jù)羅必達法則，得 說明： 洛必達法則對型或型未定式可直接使用，每

13、次使用前要首先進行檢驗，如果不是未定式，就不能使用洛必達法則例8中已不是不定式了，如果繼續(xù)利用洛必達法則則會出錯。思考：能否利用洛必達法則？羅必達法則的條件是充分的，并非是必要的，因此羅必達法則有時失效，但羅必達法則失效時極限仍可能存在如在求極限中，雖然初看是型，但若使用羅必達法則，將會出現(xiàn)死循環(huán)，羅必達法則使用失效如：但此極限是存在的，我們可用以下方法求得例9 求極限解 本題應當這樣求解：或這也說明羅必達法則雖然能解決一些極限問題，但不是萬能的課堂練習：1. 求_.（答案： 0）2.求 _.(答案：1 注意洛必達法則結本題時失效)三、其它類型的未定式未定式除型與型外，還有、等類型對于這幾種未

14、定式，可先化成型或型未定式后用羅必達法則求極限例10 求極限解 所求極限為型未定式，我們將其轉化為型計算例11 求極限解 所求極限為型未定式，我們將其轉化為型計算說明：將型未定式轉化為型或型未定式的過程中，往往將一部分變量拉到分母里，轉化為分式，一般的原則是分子分母求導簡單，比較方便使用羅必達法則例12 求極限解 這是型未定式，作通分變形，將其化為型未定式說明：將型未定式轉化為型未定式時，往往采用通分思考： 、型等未定式如何轉化為型或型未定式？（答案：一般采用對數(shù)的恒等變形，先將它轉化為型未定式，然后再化成型）課堂練習：1.求_.（答案：0 這是型，轉化為。）2求_.（答案： 這是，采用對數(shù)恒

15、等變形。）3.求_. (答案：)本堂課小結：1. 型未定式2. 型未定式3. 、型未定式先轉化為型或未定式第三節(jié) 函數(shù)單調性與極值【教學內容】函數(shù)的單調性，函數(shù)的極值【教學目的】掌握用一階導數(shù)的符號判別函數(shù)單調性的方法，會求函數(shù)的單調區(qū)間，并利用函數(shù)的單調性進行簡單不等式的證明；理解函數(shù)極值與極值點的概念，掌握極值存在的必要條件，熟練掌握求函數(shù)極值的方法（極值點的充分條件），搞清極值點和駐點的區(qū)別與聯(lián)系。【教學重點】1函數(shù)單調性的判斷；2.函數(shù)單調區(qū)間的求法；3.函數(shù)極值的求法?！窘虒W難點】1. 函數(shù)單調區(qū)間的求法；2. 函數(shù)極值的求法。【教學時數(shù)】3學時【教學進程】 復習：1. 型與型未定式

16、 2. 洛必達法則新課一、函數(shù)的單調性判斷提問：若函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，試考慮在區(qū)間內符號？ 若函數(shù)在區(qū)間內單調遞減，試考慮在區(qū)間內符號？ 從函數(shù)的幾何圖形來看，如果當函數(shù)是單調增加的，那么這條曲線沿軸正向是上升的，函數(shù)在區(qū)間內每一點的切線斜率都是正的（即），如圖1所示；如果當函數(shù)在內是單調減少的，如圖2所示，曲線在區(qū)間內沿軸正向是下降的，函數(shù)在區(qū)間內每一點的切線斜率都是負的（即）圖1 圖2可見，函數(shù)的單調性與它的導數(shù)的符號有著密切的聯(lián)系，反過來，能否用導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調性呢？下面我們給出函數(shù)單調性的判定法： 定理1 設函數(shù)在內可導（1）如果在內，則函數(shù)在內單調增加，（2）如果在內，則

17、函數(shù)在內單調減少證明 （1）在區(qū)間內任取兩點、，不妨設，顯然在，上滿足拉格朗日定理條件，則一定存在一點，使由已知條件，且，所以，這就是說在內是單調增加的同理可證（2）提問：1. 定理36中的開區(qū)間換成等其他各種區(qū)間，定理3.6的結論如何變化？2. 與換成與（等號只在個別點成立），定理3.6的結論是否仍然成立？例1 1. 討論函數(shù)在區(qū)間內的單調性 2. 討論函數(shù)在定義域內的單調性解 1. 因為，所以區(qū)間內，由定理36知，在上是單調增加的2. 從函數(shù)的解析中可以看出在上是單調增加的。同時我們也可以看到，在上，。結論：定理1中的開區(qū)間換成等其他各種區(qū)間，定理1的結論仍成立。例2 討論函數(shù)的單調性。解

18、 因為，當時，函數(shù)是單調減少的；當時，函數(shù)是單調增加的；例3 求函數(shù)的單調性解 因為的定義域為，當時，；當時，由定理1知，是函數(shù)的單調增區(qū)間，是函數(shù)的單調減區(qū)間由定理1可知，討論函數(shù)，需要根據(jù)函數(shù)的一階導數(shù)的符號來進行判定。當連續(xù)時，的正負值的分界點是使或不存在的點（如例2與例3）.我們把的點稱為函數(shù)的駐點或穩(wěn)定點。例4求函數(shù)的單調區(qū)間解 因為函數(shù)的定義域為，又，令，解得駐點用它們將定義域分成三個區(qū)間：，。列表討論如下：1500所以函數(shù)的單調增加區(qū)間是、；單調減少區(qū)間是 課堂練習：1. 結合以上分析，總結利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，可分為哪幾步進行？答案：1. 求函數(shù)的定義域； 2. 求導數(shù)，并

19、進一步求出的不可導點與駐點； 3. 用2中的點對定義域進行劃分； 4. 在每個開區(qū)間內判定的符號，由定理1得出相應的結果。例5 證明：當時，證明 令，則又（），所以函數(shù)在區(qū)間上單調增加因此，當時，即課堂練習：2. 討論函數(shù)的單調性解 因為函數(shù)的定義域為，又令，解得駐點為；又當時，無意義，所以是函數(shù)的不可導點；列表考察函數(shù)的單調區(qū)間不存在0所以函數(shù)的單調增加區(qū)間是、；單調減少區(qū)間是3. 討論函數(shù)的單調區(qū)間 答案：函數(shù)在與上單調增加；在上單調減少。二、函數(shù)的極值定義1 設函數(shù)在的某鄰域內有定義，如果在該鄰域內任取一點（），均有，則稱是函數(shù)的一個極大值，稱為的極大值點；同樣，如果在該鄰域內任取一點（

20、），均有，則稱是函數(shù)的一個極小值，稱為的極小值點函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點提問：函數(shù)的極值與函數(shù)的最大值、最小值有何關系？這是兩個不同的概念。極值是一種局部性的概念，它只限于與的某鄰域的函數(shù)值比較；而最大值、最小值是一個整體概念，它是就整個區(qū)間的函數(shù)值比較來說的函數(shù)的極大值不一定是函數(shù)的最大值，函數(shù)的極小值也不一定就是函數(shù)的最小值；一個函數(shù)在某個區(qū)間上可能有若干個極值點，在這些點上，有些極小值可能要大于極大值。圖3提問：在圖3中哪些是函數(shù)在區(qū)間內的極值點，哪些是函數(shù)在區(qū)間內最值點？函數(shù)在區(qū)間內有兩個極大值：，三個極小值：，其中極大值比極小值還小對整個區(qū)間來說

21、，只有一個極小值是最小值，而沒有一個極大值是最大值從幾何圖形上看，在函數(shù)可導的前提下，取得極值處，曲線的切線是水平的但曲線有水平切線的地方，函數(shù)不一定取得極值，圖35中的點處曲線的切線都是水平的，但不是極值圖3直觀告訴我們求函數(shù)極值的基本思想，我們先介紹下面的定理。定理2 （極值存在的必要條件） 如果函數(shù)在點可導，且在點處取得極值，則必有提問：定理2說明可導函數(shù)的極值點一定是函數(shù)的駐點，反過來駐點是不是一定是函數(shù)的極值點呢？駐點不一定是函數(shù)的極值點例如點是函數(shù)、的駐點，它也是函數(shù)的極小值點，但它卻不是函數(shù)的極值點提問：出了函數(shù)的駐點可能是函數(shù)的極值點之外，還有哪些點也可能是函數(shù)的極值點呢？連續(xù)

22、而不可導的點也可能是極值點例如，函數(shù)，在點連續(xù)而不可導，但是函數(shù)的極小值點不過由定理2可以肯定，如果是函數(shù)的極值點且存在，則一定是駐點因此函數(shù)的駐點和導數(shù)不存在的點都有可能是極值點，這樣尋求函數(shù)的極值點的范圍就大大的縮小了，只須對駐點和導數(shù)不存在的點逐個進行判斷即可提問：試考慮如何判斷哪些駐點和導數(shù)不存在的點是極值點呢？定理3（極值的第一充分條件） 設函數(shù)在點的某個鄰域內可導，且（1）如果當時，；當時， ，則函數(shù)在處取得極大值；（2）如果當時，；當時， ，則函數(shù)在處取得極小值；（3）如果在的兩側，具有相同的符號，則函數(shù)在處不取得極值綜上所述，求函數(shù)的極值點和極值的一般步驟為：(1)確定函數(shù)的定

23、義域；(2)求，解方程，求出駐點，找出使不存在的點；(3)用上述諸點按從小到大的順序將定義區(qū)間分為若干子區(qū)間；列表考察在各個子區(qū)間內的符號，判定出函數(shù)在子區(qū)間上的單調性，也就得到了極值點；(4)求出各極值點處的函數(shù)值，就得到函數(shù)的全部極值例6 求函數(shù)的極值解 因為函數(shù)的定義域為，；又令，解得 ，；列表得， ， 1，+00+極大值極小值所以函數(shù)在 處取得極大值，極大值；函數(shù)在處取得極小值，極小值為例7 求函數(shù)的極值解 因為函數(shù)的定義域為，；又；當時，不存在；列表得，2，+不存在極大值所以函數(shù)在處取得極大值，極大值為課堂練習：1. 求函數(shù)的極值。（答案：極小值）2. 求函數(shù)的極值。（答案：極大值，

24、極小值）定理4 （極值的第二充分條件） 設函數(shù)在點處具有二階導數(shù)，且，則（1）當時，函數(shù)在點處取得極大值；（2）當時，函數(shù)在點處取得極小值例8 求函數(shù)的極值解 因為，令，得駐點由于，所以為極大值，為極大值說明：看起來，第二充分條件比第一充分條件要簡單，但當時，第二充分條件定理失效例如，有，但不是極值點；，有，而是極小值點，在這種情況下，要利用第一充分條件來判斷函數(shù)的極值對于不可導點是否為極值點，只能用第一充分條件定理來判斷。課堂練習：1. 求函數(shù)的極值。（答案：極小值，極大值） 2. 求函數(shù)的極值。（答案：極大值） 3. 求函數(shù)的極值。（答案：極小值）本堂課小結：1. 函數(shù)的單調性判斷： 1.

25、 求函數(shù)的定義域；2. 求導數(shù)，并進一步求出的不可導點與駐點； 3. 用2中的點對定義域進行劃分； 4. 在每個開區(qū)間內判定的符號，如果，則函數(shù)單調增加；如果，則函數(shù)單調減少2. 函數(shù)極值的判斷(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求，解方程，求出駐點，找出使不存在的點；(3)用上述諸點按從小到大的順序將定義區(qū)間分為若干子區(qū)間；列表考察在各個子區(qū)間內的符號，判定出函數(shù)在子區(qū)間上的單調性，也就得到了極值點；(4)求出各極值點處的函數(shù)值，就得到函數(shù)的全部極值第四節(jié) 函數(shù)的最值與導數(shù)在經(jīng)濟中的應用【教學內容】函數(shù)的最值，最值在經(jīng)濟問題中的應用舉例，導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用【教學目的】初步掌握簡單的實際問題中最

26、大值和最小值的求法；會利用導數(shù)討論一些簡單的問題?！窘虒W重點】函數(shù)最值的求法及應用；【教學難點】函數(shù)最值的求法及應用【教學時數(shù)】2學時【教學進程】 復習：1. 函數(shù)的單調性判斷： 1. 求函數(shù)的定義域；2. 求導數(shù)，并進一步求出的不可導點與駐點； 3. 用2中的點對定義域進行劃分； 4. 在每個開區(qū)間內判定的符號，如果，則函數(shù)單調增加；如果，則函數(shù)單調減少2. 函數(shù)極值的判斷：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求，解方程，求出駐點，找出使不存在的點；(3)用上述諸點按從小到大的順序將定義區(qū)間分為若干子區(qū)間；列表考察在各個子區(qū)間內的符號，判定出函數(shù)在子區(qū)間上的單調性，也就得到了極值點；(4)求出各極

27、值點處的函數(shù)值，就得到函數(shù)的全部極值新課一、函數(shù)的最值提問：什么是函數(shù)的最大值、最小值？如果函數(shù)在其定義域上的函數(shù)值滿足，其中，則稱為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值下面我們討論函數(shù)在某些特定條件下的最大值和最小值的問題我們知道，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最大值和最小值，（思考：為什么？）且最大值和最小值只可能在區(qū)間內的極值點和端點處得到因此可直接求出一切可能的極值點（駐點及個別不可導點）和端點處的函數(shù)值，比較這些數(shù)值的大小，即可得出函數(shù)的最大值和最小值提問：如果函數(shù)在上單調增加，則函數(shù)的最大值和最小值分別是？如果函數(shù)在上單調增加，是函數(shù)在上的最小值，是函數(shù)在上的最大值，如圖1所示；提問：如果函數(shù)

28、在上單調減少，則函數(shù)的最大值和最小值分別是？如果函數(shù)在上單調減少，則是函數(shù)在上的最大值；是函數(shù)在上的最小值，如圖2所示圖1 圖2提問：在什么情況下函數(shù)的極大值一定是最大值，什么情況下函數(shù)的極小值一定是最小值？如果連續(xù)函數(shù)在上有且僅有一個極大值，而沒有極小值，則此極大值就是函數(shù)在上的最大值，如圖3所示；如果連續(xù)函數(shù)在上有且僅有一個極小值，而沒有極大值，則此極小值就是函數(shù)在上的最小值，如圖4所示圖3 圖4例1 求函數(shù)在上的最大值和最小值解 因為，令，得駐點為，（不合題意，舍去），由于，比較各值，得函數(shù)的最大值為，最小值為例2 求函數(shù)在上的最大值和最小值解 因為，顯然，與是函數(shù)的不可導點令，得駐點為

29、由于，比較各值，得函數(shù)的最大值為，最小值為課堂練習：1. 求函數(shù)在上的最大值和最小值（答案：最大值，最小值）二、最值在經(jīng)濟問題中的應用舉例對于求最大值和最小值的應用問題，首先要根據(jù)問題的具體意義，建立函數(shù)關系式，并確定函數(shù)的定義域，再應用前面所學的方法求函數(shù)的最大值和最小值若問題的最大值或最小值的客觀存在是明顯的，且在所限定的區(qū)間內，只有唯一的駐點，那么，這個唯一駐點的函數(shù)值，一定是所求的最大值或最小值例3 設某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為（元）（為產(chǎn)品的產(chǎn)量），求當產(chǎn)量為多少時，該產(chǎn)品的平均成本最小，并求最小平均成本解 該產(chǎn)品的平均成本函數(shù)為（）令，即，求得唯一駐點又因為，所以在處取得最小值，其最小值

30、為（元）例4 一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去，當租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的維修費，問房租定為多少時可獲得最大收入？解 設租金每月元，租出去的公寓有，總收入為又，令，則得，由于，因此是函數(shù)的唯一極大值點，所以是函數(shù)的最大值點，即房租定為每月350元可獲得最大收入，最大收入為（元） 課堂練習：1. 設某產(chǎn)品的價格與需求的關系為，總成本函數(shù)（元），求當產(chǎn)量和價格分別是多少時，該產(chǎn)品的利潤最大，并求最大利潤（答案：當產(chǎn)品為單位，價格為175元/單位時，最大利潤為16950元）本堂課小結： 函數(shù)最值第3章小結、復

31、習課【教學內容】基本定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西定理；基本計算：函數(shù)極限的計算、函數(shù)單調性及極值的計算、最值等?！窘虒W目的】使學生理解本章內容中的基本定理；基本概念；掌握相關的計算?！窘虒W重點】1洛必達法則；2函數(shù)的單調性與極值 ?！窘虒W難點】1利用中值定理證明等式與不等式；2利用函數(shù)的單調性證明不等式；3最值問題。【教學時數(shù)】2學時【教學進程】一、微分中值定理1羅爾定理：如果函數(shù)滿足下列條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內可導；（3）。則在區(qū)間內至少存在一點，使得2拉格朗日中值定理：設函數(shù)滿足下列條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)，（2）在開區(qū)間內可導，則在區(qū)間內至少存在一點，使得3柯西定理：設函數(shù)與在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，且，則至少存在一點，使得例1：判斷函數(shù)在閉區(qū)間1,e上是否滿足拉格朗日中值定理？如果滿足，找出使定理結論成立的的值。解：因為是初等函數(shù)